一.重要不等式
對于任意實(shí)數(shù)a，b，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立.
二．基本不等式
1.定義：如果a>0，b>0，則eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，其中eq \f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq \r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．
2．常用變形
(1)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．
(2)a＋b≥2eq \r(ab)，a，b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．
3.利用基本不等式求最值必須滿足三個(gè)條件才可以進(jìn)行，即“一正、二定、三相等”.
①一正：各項(xiàng)必須為正.
②二定：各項(xiàng)之和或各項(xiàng)之積為定值.
③三相等：必須驗(yàn)證取等號(hào)時(shí)條件是否具備.
三.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq \f(1,4)S2.
利用基本不等式求條件最值的常用方法
1.配湊法求最值：主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.
2.常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)的最值”的問題，先將eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)轉(zhuǎn)化為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq \f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.
3.當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.
二．利用基本不等式比較實(shí)數(shù)大小
(1)利用基本不等式比較大小，常常要注意觀察其形式(和與積).
(2)利用基本不等式時(shí)，一定要注意條件是否滿足a>0，b>0.
三．利用基本不等式解決實(shí)際問題的步驟
1.先理解題意，設(shè)變量.設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù).
2.建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.
3.在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值.
4.正確寫出答案.
四．利用基本不等式證明不等式
1.無附加條件的不等式的證明，其解題思路是：觀察要證不等式的結(jié)構(gòu)特征，若不能直接使用基本不等式，則要結(jié)合左、右兩邊的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊(加減項(xiàng)或乘除某個(gè)實(shí)系數(shù))等，使之滿足使用基本不等式的條件．
2.有附加條件的不等式的證明，其解題思路是：觀察已知條件與要證不等式之間的關(guān)系，條件的巧妙代換是一種較為重要的變形．另外，解題過程中要時(shí)刻注意等號(hào)能否取到．
考點(diǎn)一 直接型
【例1-1】（2023春·陜西榆林）已知，則的最大值為（ ）
A．B．C．1D．2
【例1-2】（2023·陜西）已知，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·湖南邵陽）已知，，則的最大值為（ ）
A．6B．9C．12D．36
2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，那么c的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
3．（2023福建?。┮阎?，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2023安徽）已知，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)二 替換型
【例2-1】（2023·江西景德鎮(zhèn)）已知x，，x＋2y＝1，則的最小值（ ）
A．8B．9C．10D．11
【例2-2】（2023春·浙江溫州）已知正數(shù)a，b滿足，則最小值為（ ）
A．25B．C．26D．19
【例2-3】（2023·浙江）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【例2-4】（2023春·河南周口·高一校聯(lián)考期末）已知，，，則的最小值為（ ）
A．8B．16C．24D．32
【一隅三反】
1．（2023西藏）已知，，，則的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
2．（2023春·福建福州）若正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．2D．
3．（2023春·江蘇南京）已知非負(fù)數(shù)滿足，則的最小值是___________.
4．（2023·重慶）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為__________.
考點(diǎn)三 配湊型
【例3-1】（2023·廣西）函數(shù) 的最大值為________.
【例3-2】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（ ）
A．B．
C．D．4
【一隅三反】
1.（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為_________．
2．（2023·福建）已知，則函數(shù)的最小值是______．
3．（2022秋·上海浦東新·高一?？计谥校┖瘮?shù)的值域是__________．
考點(diǎn)四 消元型
【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（ ）．
A．4B．6C．8D．12
【一隅三反】
1．（2023·北京）設(shè) ,則的最小值為（ ）
A．0B．1C．2D．4
2．（2023·重慶沙坪壩）已知，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，若，則的最小值為______.
考點(diǎn)五 基本不等式解決恒成立問題
【例5-1】（2023·江蘇）若對，，有恒成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【例5-2】（2023浙江）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2022秋·黑龍江哈爾濱）已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重慶沙坪壩）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·北京）已知，，且，若不等式恒成立，則的最大值為______．
考點(diǎn)六 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
【例6】（2023春·湖南）某社區(qū)計(jì)劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面積為1800平方米的矩形，為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為2米的人行通道，則種植花卉區(qū)域的面積的最大值是（ ）
A．1208平方米B．1448平方米C．1568平方米D．1698平方米
【一隅三反】
1．（2023·湖南）近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員流動(dòng)，減少疫情發(fā)生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動(dòng)，鼓勵(lì)企業(yè)在國慶期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn)，為此，高郵政府決定為波司登制衣有限公司在國慶期間加班追產(chǎn)提供（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼．波司登制衣有限公司在收到高郵政府（萬元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）．同時(shí)波司登制衣有限公司生產(chǎn)（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷售金額政府專項(xiàng)補(bǔ)貼成本．
(1)求波司登制衣有限公司國慶期間，加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）關(guān)于政府補(bǔ)貼（萬元）的表達(dá)式；
(2)高郵政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬元時(shí)，波司登制衣有限公司國慶期間加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）最大？
2（2023春·廣西南寧·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）某游泳館擬建一座占地面積為200平方米的矩形泳池，其平面圖形如圖所示，池深1米，四周的池壁造價(jià)為400元/米，泳池中間設(shè)置一條隔離墻，其造價(jià)為100元/米，泳池底面造價(jià)為60元/平方米（池壁厚忽略不計(jì)），設(shè)泳池的長為x米，寫出泳池的總造價(jià)，問泳池的長為多少米時(shí)，可使總造價(jià)最低，并求出泳池的最低造價(jià)．
考點(diǎn)七 利用基本不等式比較大小
【例7-1】（2023·甘肅）已知a、b為正實(shí)數(shù)，，則（ ）
A．B．
C．D．
【例7-2】（2022秋·湖南張家界·高一張家界市民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023·云南）若，，，則，，2ab，中最大的一個(gè)是______．
2．（2023·河北邯鄲·高一?？计谀ǘ噙x）若，且，則（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·河北唐山·）（多選）已知，則下列不等式正確的是（ ）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)八 基本不等式證明不等式
【例8-1】（2023·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）若，則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【例8-2】（2023·江蘇）已知，，，且．求證：．
【例8-3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知，，，求證：.
【一隅三反】
1．（2023·吉林長春）下列不等式恒成立的是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知，，且，求證：.
3．（2023·貴州黔南）設(shè)，，均為正數(shù)，且，證明：
(1)；
(2).

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