數(shù)學(xué)第六章反比例函數(shù)1 反比例函數(shù)當(dāng)堂達標(biāo)檢測題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc11746" 【題型1 由反比例函數(shù)的k的幾何意義求三角形的面積】 PAGEREF _Tc11746 \h 1
\l "_Tc27320" 【題型2 由反比例函數(shù)的k的幾何意義求四邊形的面積】 PAGEREF _Tc27320 \h 3
\l "_Tc8999" 【題型3 由反比例函數(shù)的k的幾何意義判斷面積的大小關(guān)系】 PAGEREF _Tc8999 \h 4
\l "_Tc4535" 【題型4 由反比例函數(shù)的k的幾何意義求陰影部分圖形的面積】 PAGEREF _Tc4535 \h 6
\l "_Tc4194" 【題型5 由三角形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 PAGEREF _Tc4194 \h 7
\l "_Tc16250" 【題型6 由四邊形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 PAGEREF _Tc16250 \h 8
\l "_Tc21079" 【題型7 由陰影部分圖形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 PAGEREF _Tc21079 \h 9
\l "_Tc5383" 【題型8 由面積之間的關(guān)系求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 PAGEREF _Tc5383 \h 11
\l "_Tc2067" 【題型9 由反比例函數(shù)k的幾何意義求坐標(biāo)】 PAGEREF _Tc2067 \h 13
\l "_Tc14025" 【題型10 由直線分面積求參數(shù)的值】 PAGEREF _Tc14025 \h 14
知識點：反比例函數(shù)的k的幾何意義
由y＝eq \f(k,x)(k≠0)的圖象上任意一點向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|.
如圖①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq \f(1,2)|xy|＝eq \f(1,2)|k|.

【題型1 由反比例函數(shù)的k的幾何意義求三角形的面積】
【例1】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段OA與反比例函數(shù)y=6x(x>0)相交于點A，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到線段OB，點B恰好落在雙曲線y=6x(x>0)上，則△ABO的面積為（）
A．3B．32C．62D．6
【變式1-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知點 A ，B分別在反比例函數(shù)y=?1x(x0的圖象上，且OA⊥OB．若AB=6，則△AOB的面積為．
【變式1-2】（23-24九年級·浙江寧波·期末）如圖， △OAC 和 △BAD 都是等腰直角三角形， ∠ACO=∠ADB=90° ，反比例函數(shù) y=4x 在第一象限的圖象經(jīng)過點 B ，則 △OAC 與 △BAD 的面積之差為．
【變式1-3】（23-24九年級·黑龍江哈爾濱·期中）如圖所示：已知直線y=12x 與雙曲線y=kx(k>0)交于A、B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為4．
(1)求k的值；
(2)若雙曲線y=kx(k>0)上的一點C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積？
(3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點M使得MA+MC的值最小，若存在，請求出M點坐標(biāo)．不存在，請說明理由．
【題型2 由反比例函數(shù)的k的幾何意義求四邊形的面積】
【例2】（2024·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測）如圖，點A在函數(shù)y=2x(x>0)的圖像上，點B在函數(shù)y=3x(x>0)的圖像上，且AB∥x軸，BC∥y軸于點C，則四邊形ABCO的面積為（）
A．1B．2C．3D．4
【變式2-1】（23-24九年級·北京·開學(xué)考試）如圖，點A、B是函數(shù)y=x與y=1x的圖象的兩個交點，作AC⊥x軸于C，作BD⊥x軸于D，則四邊形ACBD的面積為（）
A．S>2B．S>1C．S0)的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線OB的中點P，與AB、BC交于E、F兩點，則四邊形OEBF的面積是．

【題型3 由反比例函數(shù)的k的幾何意義判斷面積的大小關(guān)系】
【例3】（2024九年級·河南·專題練習(xí)）小明在研究矩形面積S與矩形的邊長x，y之間的關(guān)系時，得到下表數(shù)據(jù)：
結(jié)果發(fā)現(xiàn)一個數(shù)據(jù)被墨水涂黑了．
（1）被墨水涂黑的數(shù)據(jù)為．
（2）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（其中x＞0），且y隨x的增大而．
（3）如圖是小明畫出的y關(guān)于x的函數(shù)圖象，點B、E均在該函數(shù)的圖象上，其中矩形OABC的面積記為S1，矩形ODEF的面積記為S2，請判斷S1和S2的大小關(guān)系，并說明理由．
（4）在（3）的條件下，DE交BC于點G，反比例函數(shù)y＝2x的圖象經(jīng)過點G交AB于點H，連接OG、OH，則四邊形OGBH的面積為．
【變式3-1】（23-24九年級·湖南株洲·期中）如圖：點P、Q是反比例函數(shù)y=kx圖象上的兩點，PA⊥y軸于點A，QN⊥x軸于點N，作PM⊥x軸于點M，QB⊥y軸于點B，連接PB、QM，△ABP的面積記為S1，△QMN的面積記為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是（）
A．S1S2D．S1=2S2
【變式3-2】（2024·四川成都·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=kx的圖象上有三點A，B，C，過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，連接OA，OB，OC，記△OAD，△OBE，△OCF的面積分別為S1，S2，S3，則S1，S2和S3的大小關(guān)系為（）
A．S1>S2>S3B．S1S2
【變式3-3】（2024·吉林長春·二模）已知點A在反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象上，點B、C在反比例函數(shù)y=1x(x>0)的圖象上，點P、Q為x、y軸上任意一點，則△PAC和△QAB面積的大小關(guān)系為（）．
A．S△PAC>S△QABB．S△PAC0的圖象經(jīng)過點A和點D，若菱形OABC的面積為6，則k為（）
A．2B．1C．3D．6
【變式6-1】（23-24九年級·江蘇常州·期末）如圖，直線y=2x與反比例函數(shù)y=kxk≠0交于A、B兩點，過點B作x軸的平行線，點C是該平行線上的一點，連接AC，使得AC=AB，過點C作x軸的垂線交y=kxk≠0于點D，以BC、CD為邊作矩形BCDE，若S矩形BCDE=32，則k= ．
【變式6-2】（23-24九年級·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形OABC的頂點O在坐標(biāo)原點上，點B在y軸上，點A在反比例函數(shù)y=kxx0的圖象上．若平行四邊形OABC的面積為10，則k= ．
【變式6-3】（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）平面直角坐標(biāo)系xy中，已知點Aa，?4a、B2a，?2b、C?a，4a、D?2a，2b是函數(shù)y=kxk≠0圖象上的四點．若四邊形ABCD 的面積為4，則k的值為．
【題型7 由陰影部分圖形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】
【例7】（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖，點A、B在x軸上，分別以O(shè)A，AB為邊，在x軸上方作正方形OACD，ABEF．反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象分別交邊CD，BE于點P，Q．作PM⊥x軸于點M，QN⊥y軸于點N．若OA=2AB，Q為BE的中點，且陰影部分面積等于6，則k的值為（）
A．6B．12C．24D．48
【變式7-1】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）如圖，點A，B在反比例函數(shù)y=kxx0，k為常數(shù)，k≠0）的圖像恰好經(jīng)過點M、P，若陰影部分面積為8，則k的值為．
【變式7-3】（2024九年級·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，矩形DEFG的邊DE在BC上，AB=EF．反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過點B，若陰影部分面積為6，則k的值為（）
A．2B．3C．6D．12
【題型8 由面積之間的關(guān)系求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】
【例8】（2024·吉林長春·一模）如圖，平行四邊形ABCD中A點的坐標(biāo)為(0,?2)，B在x軸的負半軸上，C、D兩點落在反比例函數(shù)y=kx?1上，且D點的橫坐標(biāo)為3，四邊形AECD的面積是△ABE面積的3倍，則k的值為（）
A．3B．4C．5D．6
【變式8-1】（23-24九年級·浙江杭州·期末）如圖，過y=kxk≠0,x>0的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交y=?2x的圖象于B，D兩點，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標(biāo)軸分割成四個小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，S4，若S2+S3+S4=112，則k的值為（）
A．52B．53C．4D．83
【變式8-2】（23-24九年級·浙江金華·期中）如圖，四邊形OABC、BDEF是面積分別為S1、S2的正方形，點A在x軸上，點F在BC上，點E在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，若S1?S2=4，則k值為．
【變式8-3】（2024·山東濟寧·一模）如圖，點A3,6，B6,a是反比例函數(shù)y=mx的圖象上的兩點，連接OA、OB．
(1)求a的值；
(2)求△AOB的面積；
(3)若點C的坐標(biāo)為9,0，點P是反比例函數(shù)圖象上的點，若△POC的面積等于△AOB面積的3倍，求點P的坐標(biāo)．
【題型9 由反比例函數(shù)k的幾何意義求坐標(biāo)】
【例9】（23-24九年級·浙江紹興·期末）如圖，平行于y軸的直尺（部分）與反比例函數(shù)y=mx(x>0)的圖像交于A，C兩點與x軸交于B，D兩點，連接AC，點A，B對應(yīng)直尺上的刻度分別為5，2，直尺的寬度BD=2，S△AOC=5，則點C的坐標(biāo)是．
【變式9-1】（23-24九年級·河南南陽·期末）如圖，A、B兩點的坐標(biāo)分別為(?2,0)，(0,3)，將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC，過點C作CD⊥OB，垂足為D，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點C．

(1)直接寫出點C的坐標(biāo)，并求反比例函數(shù)的解析式；
(2)點P在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，當(dāng)△PCD的面積為9時，求點P的坐標(biāo)．
【變式9-2】（23-24九年級·四川成都·期末）如圖，點A在反比例函數(shù)y=6x的圖象上，點B在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，連接AB，且AB∥x．點P(23,0)是x軸上一點，連接PA，PB，若PA=PB，S△PAB=4，則PB與y軸交點C的坐標(biāo)為．

【變式9-3】（23-24九年級·山東煙臺·期末）如圖，平行四邊形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，點D2,1在對角線OB上，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經(jīng)過C、D兩點．已知平行四邊形OABC的面積是6，則點B的坐標(biāo)為（）
A．4,83B．4,2C．5,2.5D．245,125
【題型10 由直線分面積求參數(shù)的值】
【例10】（23-24九年級·浙江寧波·期中）如圖，經(jīng)過原點O的直線與反比例函數(shù)y=kx的圖像交于A，B兩點（點A在第一象限），點C，D在反比例函數(shù)y=k?16x的圖像上，AC∥y軸，BD∥x軸，OD將四邊形ABDC的面積分成7：5的兩部分，則△OCD的面積為，k的值為．
【變式10-1】（23-24九年級·江蘇蘇州·期中）如圖，直線y=12x+m與反比例函數(shù)y=kxx>0交于點A2,4，與y軸交于點B，過雙曲線上的一點C作x軸的垂線，垂足為點D，交直線y=12x+m于點E．若OE將四邊形BOCE分成兩個面積相等的三角形，則點C坐標(biāo)為．
【變式10-2】（23-24九年級·浙江紹興·期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一個由12個邊長為1的正方形所組成的圖形，反比例函數(shù)y=kxk≠0,x>0的圖象與圖形外側(cè)兩個交點記為A點，B點，若線段AB把該圖形分成面積為5:7的兩部分，則k的值為．
【變式10-3】（2024·山東聊城·中考真題）如圖，直線y=px+3p≠0與反比例函數(shù)y=kxk>0在第一象限內(nèi)的圖象交于點A2,q，與y軸交于點B，過雙曲線上的一點C作x軸的垂線，垂足為點D，交直線y=px+3于點E，且S△AOB:S△COD=3:4．

(1)求k，p的值；
(2)若OE將四邊形BOCE分成兩個面積相等的三角形，求點C的坐標(biāo)．
專題6.3 反比例函數(shù)k的幾何意義與面積之間的關(guān)系【十大題型】
【北師大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11746" 【題型1 由反比例函數(shù)的k的幾何意義求三角形的面積】 PAGEREF _Tc11746 \h 1
\l "_Tc27320" 【題型2 由反比例函數(shù)的k的幾何意義求四邊形的面積】 PAGEREF _Tc27320 \h 8
\l "_Tc8999" 【題型3 由反比例函數(shù)的k的幾何意義判斷面積的大小關(guān)系】 PAGEREF _Tc8999 \h 11
\l "_Tc4535" 【題型4 由反比例函數(shù)的k的幾何意義求陰影部分圖形的面積】 PAGEREF _Tc4535 \h 15
\l "_Tc4194" 【題型5 由三角形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 PAGEREF _Tc4194 \h 20
\l "_Tc16250" 【題型6 由四邊形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 PAGEREF _Tc16250 \h 24
\l "_Tc21079" 【題型7 由陰影部分圖形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 PAGEREF _Tc21079 \h 29
\l "_Tc5383" 【題型8 由面積之間的關(guān)系求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 PAGEREF _Tc5383 \h 34
\l "_Tc2067" 【題型9 由反比例函數(shù)k的幾何意義求坐標(biāo)】 PAGEREF _Tc2067 \h 39
\l "_Tc14025" 【題型10 由直線分面積求參數(shù)的值】 PAGEREF _Tc14025 \h 45
知識點：反比例函數(shù)的k的幾何意義
由y＝eq \f(k,x)(k≠0)的圖象上任意一點向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|.
如圖①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq \f(1,2)|xy|＝eq \f(1,2)|k|.

【題型1 由反比例函數(shù)的k的幾何意義求三角形的面積】
【例1】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段OA與反比例函數(shù)y=6x(x>0)相交于點A，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到線段OB，點B恰好落在雙曲線y=6x(x>0)上，則△ABO的面積為（）
A．3B．32C．62D．6
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，全等三角形的判定和性質(zhì)．
過點A作AC⊥x軸于點C，過帶你B作BD⊥y軸于點D，過點O作OE⊥AB于點E，推出OE為反比例函數(shù)y=6x(x>0)圖象的對稱軸，通過證明△AOC≌△AOE，得出△BOD≌△BOE，△ABO的面積=S△AOE+S△BOE=S△AOC+S△BOD=k2+k2，即可解答．
【詳解】解：過點A作AC⊥x軸于點C，過帶你B作BD⊥y軸于點D，過點O作OE⊥AB于點E，
由旋轉(zhuǎn)可知OA=OB,∠AOB=45°，
∵OE⊥AB，
∴點A和點B關(guān)于OE對稱，∠AOE=∠BOE=22.5°，
∴OE為反比例函數(shù)y=6x(x>0)圖象的對稱軸，
∴∠COE=∠DOE=45°，
∴∠AOC=∠COE?∠AOE=22.5°，
∵∠ACO=∠AEO=90°,OA=OA,∠AOC=∠AOE=22.5°，
∴△AOC≌△AOE，
同理可得：△BOD≌△BOE，
∴△ABO的面積=S△AOE+S△BOE=S△AOC+S△BOD=k2+k2=6，
故選：D．
【變式1-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知點 A ，B分別在反比例函數(shù)y=?1x(x0的圖象上，且OA⊥OB．若AB=6，則△AOB的面積為．
【答案】932
【分析】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)k的幾何意義，勾股定理，利用了方程的思想，熟練掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是解本題的關(guān)鍵．過點A作AC⊥x軸，過B作BD⊥x軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形ACO與三角形ODB相似，由A、B分別在反比例函數(shù)y=?1x(x0的圖象上，利用反比例函數(shù)k的幾何意義求出三角形ACO與三角形ODB面積，進而得到面積之比，利用面積比等于相似比的平方確定出相似比，即為OA與OB之比，設(shè)出OA=x，OB=3x，在直角三角形AOB中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OA與OB的長，即可求出三角形AOB的面積．
【詳解】解：過點A作AC⊥x軸，過B作BD⊥x軸，
又∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°,∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△ACO∽△ODB，
∵點A，B分別在反比例函數(shù)y=?1x(x0圖象上，
∴S△AOC=12×?1=12，S△BOD=12×3=32，即S△AOC:S△BOD=1:3，
∴OA:OB=1:3，
在Rt△AOB中，設(shè)OA=x，則OB=3x，
∵ AB=6，
根據(jù)勾股定理得：AB2=OA2+OB2，即36=x2+3x2，
解得：x=3（負值舍去），
∴OA=3,OB=33，
則S△AOB=12OA?OB=932．
故答案為：932．
【變式1-2】（23-24九年級·浙江寧波·期末）如圖， △OAC 和 △BAD 都是等腰直角三角形， ∠ACO=∠ADB=90° ，反比例函數(shù) y=4x 在第一象限的圖象經(jīng)過點 B ，則 △OAC 與 △BAD 的面積之差為．
【答案】2
【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，等腰三角形的性質(zhì)，面積公式，平方差公式，根據(jù)△OAC和△BAD都是等腰直角三角形可得出OC=AC、AD=BD，設(shè)OC=a，BD=b，則點B的坐標(biāo)為a+b,a?b，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出a2?b2=4，再根據(jù)三角形的面積即可得出△OAC與△BAD的面積之差，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OC=AC，AD=BD，
設(shè)OC=a，BD=b，
則點B的坐標(biāo)為a+b,a?b，
∵反比例函數(shù)y=4x在第一象限的圖象經(jīng)過點B，
∴a+ba?b=a2?b2=4，
∴S△OAC?S△BAD=12a2?12b2=12×4=2，
故答案為：2．
【變式1-3】（23-24九年級·黑龍江哈爾濱·期中）如圖所示：已知直線y=12x 與雙曲線y=kx(k>0)交于A、B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為4．
(1)求k的值；
(2)若雙曲線y=kx(k>0)上的一點C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積？
(3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點M使得MA+MC的值最小，若存在，請求出M點坐標(biāo)．不存在，請說明理由．
【答案】(1)k=8
(2)S△OAC=15
(3)存在，M點坐標(biāo)為0,345，理由見解析
【分析】（1）利用一次函數(shù)求出A點坐標(biāo)，再將其代入雙曲線y=kx(k>0)中求解，即可解題；
（2）利用反比例函數(shù)求出點C，過點C作CE⊥y軸于點E，過點A作AF⊥x軸于點F，F(xiàn)A，EC的延長線相加于點D，連接OC，AC，結(jié)合k的幾何意義根據(jù)S△OAC=S矩形OEDF?S△OAF?S△OCE?S△ACD求解，即可解題；
（3）根據(jù)點M在坐標(biāo)軸上使得MA+MC的值最小分以下兩種情況討論，①當(dāng)M點在x軸上時，②當(dāng)M點在y軸上時，根據(jù)以上兩種情況結(jié)合軸對稱性質(zhì)，兩點之間線段最短，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點情況分析求解，即可解題．
【詳解】（1）解：∵直線y=12x 與雙曲線y=kx(k>0)交于A、B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為4，
將點A的橫坐標(biāo)代入y=12x得y=12×4=2，
∴點A的坐標(biāo)為4,2，
將點A的坐標(biāo)代入y=kx(k>0)得：2=k4，
解得：k=8，
故k的值為8；
（2）解：由（1）可知：雙曲線解析式為y=8x，
∵點C在雙曲線y=8x上，點C的縱坐標(biāo)為8，
將點C的縱坐標(biāo)代入y=8x得：8=8x，
解得：x=1，點C的坐標(biāo)為1,8，
如圖，過點C作CE⊥y軸于點E，過點A作AF⊥x軸于點F，F(xiàn)A，EC的延長線相加于點D，連接OC，AC，
∴S△OAC=S矩形OEDF?S△OAF?S△OCE?S△ACD
=4×8?82?82?12×4?1×2?8
=32?4?4?9
=15；
（3）解：存在，理由如下：
①當(dāng)M點在x軸上時，
如圖，作C點關(guān)于x軸的對稱點C′，連接AC′，交x軸于點M，連接CM，

根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，CM=C′M，
∴ MA+MC=MA+MC′=AC′，
根據(jù)兩點之間線段最短可知AC′即為MA+MC的最小值，與x軸的交點即為M點，
∵點C的坐標(biāo)為1,8，
∴點C′的坐標(biāo)為1,?8，
設(shè)直線AC′的解析式為y=k1x+b，
將A、C′坐標(biāo)代入得：?8=k1+b2=4k1+b，解得：k1=103b=?343，
∴直線AC′的解析式為y=103x?343，
令y=0，代入y=103x?343得：0=103x?343，
解得：x=175，
∴M點坐標(biāo)為175,0．
此時最小值為=4?12+2+82=109.
②當(dāng)M點在y軸上時，
如圖，作C點關(guān)于y軸的對稱點C″，連接AC″，交y軸于點M，連接CM，

根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，CM=C″M，
∴ MA+MC=MA+MC″=AC″，
根據(jù)兩點之間線段最短可知AC″即為MA+MC的最小值，與y軸的交點即為M點，
∵點C的坐標(biāo)為1,8，
∴點C″的坐標(biāo)為?1,8，
設(shè)直線AC″的解析式為y=mx+n，
將A、C″坐標(biāo)代入得：8=?m+n2=4m+n，解得：m=?65n=345，
∴直線AC″的解析式為y=?65x+345，
令x=0，代入y=?65x+345得：y=345，
∴M點坐標(biāo)為0,345，
此時最小值為4+12+8?22=61，且610)的圖像上，點B在函數(shù)y=3x(x>0)的圖像上，且AB∥x軸，BC∥y軸于點C，則四邊形ABCO的面積為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用．熟練掌握反比例函數(shù)中k的幾何意義，是解題的關(guān)鍵．
延長BA交y軸于點D，根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義得到S△ADO=12×2=1，S矩形OCBD=3，根據(jù)四邊形ABCO的面積等于S矩形OCBD?S△ADO，即可得解．
【詳解】解：延長BA交y軸于點D，

∵AB∥x軸，
∴DA⊥y軸，
∵點A在函數(shù)y=2x(x>0)的圖象上，
∴S△ADO=12×2=1，
∵BC⊥x軸于點C，DB⊥y軸，點B在函數(shù)y=3x(x>0)的圖象上，
∴S矩形OCBD=3，
∴四邊形ABCO的面積等于S矩形OCBD?S△ADO=3?1=2；
故選：B．
【變式2-1】（23-24九年級·北京·開學(xué)考試）如圖，點A、B是函數(shù)y=x與y=1x的圖象的兩個交點，作AC⊥x軸于C，作BD⊥x軸于D，則四邊形ACBD的面積為（）
A．S>2B．S>1C．S0)的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線OB的中點P，與AB、BC交于E、F兩點，則四邊形OEBF的面積是．

【答案】6
【分析】設(shè)P點的坐標(biāo)為m，n，根據(jù)矩形性質(zhì)求得A，B的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得S△OCF=S△OAE=1，根據(jù)S四邊形OEBF=S矩形OABC?S△OCE?S△OAD，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形OABC是矩形，
∴BC⊥y軸，BA⊥x軸，
∵E,F在反比例函數(shù)圖象上，
∴S△OCF=S△OAE=22=1，
設(shè)P點的坐標(biāo)為m，n，而點P在反比例函數(shù)圖像上，則mn=2，
又∵矩形OABC對角線OB的中點為P，
∴ B2m，2n，A2m，0，C0，2n，
∵S矩形OABC=AB?OA=2n?2m=4mn=8，
∴ S四邊形OEBF=S矩形OABC?S△OCF?S△OAE=8?1?1=6，
故答案為：6．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，矩形的性質(zhì)，中點坐標(biāo)公式，設(shè)點的坐標(biāo)求解是解題的關(guān)鍵．
【題型3 由反比例函數(shù)的k的幾何意義判斷面積的大小關(guān)系】
【例3】（2024九年級·河南·專題練習(xí)）小明在研究矩形面積S與矩形的邊長x，y之間的關(guān)系時，得到下表數(shù)據(jù)：
結(jié)果發(fā)現(xiàn)一個數(shù)據(jù)被墨水涂黑了．
（1）被墨水涂黑的數(shù)據(jù)為．
（2）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（其中x＞0），且y隨x的增大而．
（3）如圖是小明畫出的y關(guān)于x的函數(shù)圖象，點B、E均在該函數(shù)的圖象上，其中矩形OABC的面積記為S1，矩形ODEF的面積記為S2，請判斷S1和S2的大小關(guān)系，并說明理由．
（4）在（3）的條件下，DE交BC于點G，反比例函數(shù)y＝2x的圖象經(jīng)過點G交AB于點H，連接OG、OH，則四邊形OGBH的面積為．
【答案】（1）1.5；（2）y＝6x；減少；（3）S1＝S2，理由詳見解析；（4）4
【分析】（1）由表格直接可得；
（2）在表格中發(fā)現(xiàn)xy=6，故得到y(tǒng)=6x；
（3）由反比例函數(shù)k的幾何意義可知S1=OA?OC=k=6，S2=OD?OF=k=6；
（4）根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，得到S四邊形OCBA=6，S△OCG=1，S△OAH=1；
【詳解】（1）從表格可以看出s=6，
∴墨水蓋住的數(shù)據(jù)是6÷4=1.5；
故答案為1.5；
（2）由xy=6，得到y(tǒng)＝6x，
∴y是x的反比例函數(shù)，k=6＞0，當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減少；
故答案為y=6x；減少；
（3）S1＝S2．
S1＝OA?OC＝k＝6，S2＝OD?OF＝k＝6，
∴S1＝S2；
（4）∵點B在y＝6x上，
∴S四邊形OCBA= 6，
∵點G、H在y＝2x上，
S△OCG=1，S△OAH=1，
∴S四邊形OGBH=S四邊形OCBA-S△OCG-S△OAH=6-1-1=4；
故答案為4．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，k的幾何意義；理解反比例函數(shù)|k|與面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（23-24九年級·湖南株洲·期中）如圖：點P、Q是反比例函數(shù)y=kx圖象上的兩點，PA⊥y軸于點A，QN⊥x軸于點N，作PM⊥x軸于點M，QB⊥y軸于點B，連接PB、QM，△ABP的面積記為S1，△QMN的面積記為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是（）
A．S1S2D．S1=2S2
【答案】B
【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|，這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．
設(shè)P(a,b)，Q(m,n)，根據(jù)三角形的面積公式和k的幾何意義，即可求出結(jié)果．
【詳解】解：設(shè)P(a,b)，Q(m,n)，
則S1=S△ABP=12AP?AB=12a(b?n)=12ab?12an，
S2=S△QMN=12MN?QN=12(m?a)n=12mn?12an，
∵點P，Q在反比例函數(shù)的圖象上，
∴ab=mn=k，
∴S1=S2．
故選：B．
【變式3-2】（2024·四川成都·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=kx的圖象上有三點A，B，C，過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，連接OA，OB，OC，記△OAD，△OBE，△OCF的面積分別為S1，S2，S3，則S1，S2和S3的大小關(guān)系為（）
A．S1>S2>S3B．S1S2
【答案】C
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求解．
【詳解】解：由函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得，S1，S2，S3均為|k|2，
∴S1=S2=S3，
故選：C．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)和系數(shù)k的幾何意義．
【變式3-3】（2024·吉林長春·二模）已知點A在反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象上，點B、C在反比例函數(shù)y=1x(x>0)的圖象上，點P、Q為x、y軸上任意一點，則△PAC和△QAB面積的大小關(guān)系為（）．
A．S△PAC>S△QABB．S△PAC0)上取點C1、C2，點P不變，發(fā)現(xiàn)△ACP的面積是在變化的，同理分析可得△ABQ的面積也是變化的，從而得出選項．
【詳解】如下圖，在反比例函數(shù)y=1x(x>0)上取點C1、C2，點P不變
則由圖形可知：S△APC1＞S△APC＞S△APC2
∵點C、P可任意選取，則△APC的面積可任意變化
同理，△ABQ的面積可任意變化
故選：D
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是判斷出三角形的面積是始終變化的．
【題型4 由反比例函數(shù)的k的幾何意義求陰影部分圖形的面積】
【例4】（23-24九年級·江蘇南京·期末）如圖，點P，Q，R為反比例函數(shù)圖象上從左到右的三個點，分別過這三個點作x軸，y軸的垂線，與y軸的交點分別為點C，B，A，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次記為S1，S2，S3，其中OA:AB:BC=1:2:3，若S2=2，則S1+S3=（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．
由OA:AB:BC=1:2:3，得S1=k6，S4=26k=13k，S1+S4=12k，所以S2=S4=2，S5=S1=k6，根據(jù)13k=2，解得k=6，即得S5=1，進而即可求得S1+S3=k?S5=6?1=5．
【詳解】解：如圖所示，
∵OA:AB:BC=1:2:3，S2=2，
∴S1=k6，S4=26k=13k，
∴S1+S4=12k，
∴S2+S5=12k，
∴MN平分矩形OBQE，
∴S2=S4=2，S5=S1=k6，
∴ 13k=2，
∴k=6，
∴S5=S1=1，
∵S1+S5+S3=k，
∴S1+S3=k?S5=6?1=5．
故選：B．
【變式4-1】（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A、B、C在雙曲線y=8x上，BD⊥x軸于點D，CE⊥y軸于點E，點F在x軸上，且AO=AF，則圖中陰影部分的面積之和為．

【答案】16
【分析】過A作AG垂直于x軸，交x軸于點G，由AO=AF，利用三線合一得到G為OF的中點，根據(jù)等底同高得到三角形AOG的面積等于三角形AFG的面積，再由A，B及C三點都在反比例函數(shù)圖象上，根據(jù)反比例的性質(zhì)得到△BOD，△COE及△AOG的面積都相等，都為k2，由反比例解析式中的k值代入，求出三個三角形的面積，問題隨之得解．
【詳解】解：過A作AG⊥x軸，交x軸于點G，如圖所示：

∵AO=AF，AG⊥OF，
∴G為OF的中點，即OG=FG，
∴S△OAG=S△FAG，
又∵A，B及C點都在反比例函數(shù)y=8x上，BD⊥x軸，CE⊥y軸，
∴S△OAG=S△BOD=S△COE=k2=4，
∴S△OAG=S△BOD=S△COE=S△FAG=4，
則S陰影=S△OAG+S△BOD+S△COE+S△FAG=16，
故答案為：16．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，運用反比例函數(shù)的性質(zhì)來解答本題關(guān)鍵．
【變式4-2】（2024九年級·全國·競賽）如圖，點A、B在第一象限，且為反比例函數(shù)y=4x圖象上的兩點，點A、B關(guān)于原點對稱的對應(yīng)點分別為點C、D，若點B的橫坐標(biāo)是點A橫坐標(biāo)的4倍，則圖中陰影部分的面積為．
【答案】15
【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，設(shè)點A的橫坐標(biāo)為a，則點B的橫坐標(biāo)為4a，根據(jù)S△AOB=S△AOE+S四邊形AEFB?S△OBF求出S△AOB=152，再根據(jù)點A、B關(guān)于原點對稱的對應(yīng)點分別為點C、D，得到S△COD=S△AOB=152，即可得到圖中陰影部分的面積．
【詳解】解：過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，
設(shè)點A的橫坐標(biāo)為a，則點B的橫坐標(biāo)為4a，
∵點A、B在第一象限，且為反比例函數(shù)y=4x圖象上的兩點，
∴點A的坐標(biāo)為a,4a，點B的坐標(biāo)為4a,1a，
∴AE=4a,BF=1a，
∴S△AOB=S△AOE+S四邊形AEFB?S△OBF
=12×4+124a+1a×4a?a?12×4
=152
∵點A、B關(guān)于原點對稱的對應(yīng)點分別為點C、D，
∴S△COD=S△AOB=152，
∴圖中陰影部分的面積為S△COD+S△AOB=152+152=15，
故答案為：15．
【變式4-3】（2024·山東濟寧·二模）如圖，在反比例函數(shù)y=1x的圖象上有P1,P2,P3,…，P2024等點，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，…，2024，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S1,S2,S3…,S2023，則S1+S2+S3+...+S2023的值為（）
A．1B．2024C．12024D．20232024
【答案】D
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
將面積為S2,S3…,S2023的矩形向左平移到面積為S1的矩形的下方，然后再利用S矩形ABP1D=S矩形OCP1D?S矩形OABC求解即可．
【詳解】解：∵P1,P2,P3,…，P2024的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，…，2024，，
∴陰影矩形的一邊長都為1，
如圖：記P1D⊥y軸于點D，P1C⊥x軸于點C，P2024A⊥x軸于點A，且交P1C于點B，
將面積為S2,S3…,S2023的矩形向左平移到面積為S1的矩形的下方，則S1+S2+S3+…+S2024=S矩形ABP1D，
把x=2024代入y=1x得：y=12024，即OA=12024，
∴S矩形OABC=OA?OC=12024，
根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義，可得：S矩形OCP1D=1，S矩形ABP1D=S矩形OCP1D?S矩形OABC=1?12024=20232024．
故選D．
【題型5 由三角形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】
【例5】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，反比例函數(shù)y=kx的圖象與正比例函數(shù)y=x的圖象交于A，B兩點，點C在反比例函數(shù)第一象限的圖象上且坐標(biāo)為(m,4m)，若△BOC的面積為12，則k的值為．
【答案】16
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，連接AC, 作AE⊥x軸于E, CD⊥x軸于F,則S△COD=S△AOE=12|k|，根據(jù)題意求得A(2m,2m),由S△AOC=S△COD+S梯形AEDC?S△AOE=S梯形AEDC，即可得出 124m+2m2m?m=12，解方程求得m的值，從而求得 k=16．
【詳解】連接AC, 作AE⊥x軸于E, CD⊥x軸于F,則S△COD=S△AOE=12|k|，
∴S△AOC=S△COD+S梯形AEDC?S△AOE=S梯形AEDC，
∵反比例函數(shù)y=kx的圖象與正比例函數(shù)y=x的圖象交于A,B兩點,
∴A、B關(guān)于原點對稱，
∴OA=OB，
∴S△AOC=S△BOC=12，
設(shè)A(a,a),
∴k=4m?m=a?a，
∴a=2m，
∴A(2m,2m)，
∴S梯形AEDC=12CD+AE?DE=12，即 124m+2m2m?m=12，
解得m=2，m=?2（舍去）
∴k=4m?m=16，
故答案為:16．
【變式5-1】（23-24九年級·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，點A、B分別是x軸、y軸上的點，過點A、B分別作x軸、y軸的垂線交于點C，反比例函數(shù)y=kxk0)上，
∴2a=?6，
∴a=?3，
∴A(2,?3)
設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，
則：2m+n=?3?2m+n=0，
∴m=?34n=?32，
∴y=?34x?32，
設(shè)Bn,?34n?32，
∵S△ACB=12AC?xB?xA=1，
∴12×3×n?2=1，
∴n=83，
∴?34n?32=?72，
∴B83,?72，
∴k=?72×83=?283．
故答案為：?283．
【題型6 由四邊形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】
【例6】（23-24九年級·江蘇揚州·期末）如圖，點O為坐標(biāo)原點，菱形OABC的邊OC在x軸的正半軸上，對角線AC、OB交于點D，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過點A和點D，若菱形OABC的面積為6，則k為（）
A．2B．1C．3D．6
【答案】A
【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用，設(shè)Am,km，Cn,0，中點坐標(biāo)公式求出Dm+n2,k2m，根據(jù)點D在反比例函數(shù)圖象上，以及菱形的面積公式進行求解即可．
【詳解】解：設(shè)Am,km，Cn,0，
∵菱形OABC，
∴AD=CD，S△AOC=12S菱形OABC=3，
∴Dm+n2,k2m，
∵點D在反比例函數(shù)圖象上，
∴m+n2?k2m=k，
∴n=3m，
∴C3m,0，
∴S△AOC=12?3m?km=3，
∴k=2；
故選：A．
【變式6-1】（23-24九年級·江蘇常州·期末）如圖，直線y=2x與反比例函數(shù)y=kxk≠0交于A、B兩點，過點B作x軸的平行線，點C是該平行線上的一點，連接AC，使得AC=AB，過點C作x軸的垂線交y=kxk≠0于點D，以BC、CD為邊作矩形BCDE，若S矩形BCDE=32，則k= ．
【答案】6
【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，求得S矩形QOKD=6是解題的關(guān)鍵．
作AM⊥BC于M，交ED于點N，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BM=CM，即可求得S矩形BENM=16，由反比例函數(shù)的對稱性得出OA=OB， BJ=JM，求得S矩形EBJQ=8,EQ=QN，進而求得k=S矩形QOKD=6．
【詳解】解：作AM⊥BC于M，交ED于點N，
∵AB=AC，
∴BM=CM，
∵S矩形BCDE=32，
∴S矩形BENM=16，
∵直線y=2x與反比例函數(shù)y=kx(k≠0)交于A、B兩點，AM∥y軸，
∴OA=OB，BJ=JM，
∴S矩形EBJQ=8,EQ=QN，
∴EQ=14ED，
∵S矩形BPOJ=S矩形OKDQ=k，
∴S矩形EPOQ=2，
∴S矩形QOKD=6，
∴k=S矩形QOKD=6，
故答案為：6．
【變式6-2】（23-24九年級·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形OABC的頂點O在坐標(biāo)原點上，點B在y軸上，點A在反比例函數(shù)y=kxx0的圖象上．若平行四邊形OABC的面積為10，則k= ．
【答案】?2
【分析】過點A作AE⊥y軸于點E，過點C作CD⊥y軸于點D，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)得出△ABE與△COD的面積相等，△AOE與△CBD的面積相等，再由反比例函數(shù)k的幾何意義得出S△ABE=S△COD=82=4，確定S△AOE=S△CBD=5?4=1，再次利用反比例函數(shù)k的幾何意義即可得出結(jié)果．
【詳解】解：過點A作AE⊥y軸于點E，過點C作CD⊥y軸于點D，
∴∠AEB=∠CDO=90°，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠ABE=∠COD，AB=CO，
∴△ABE≌△COD(AAS)，
∴△ABE與△COD的面積相等，
同理可得△AOE與△CBD的面積相等，
∵若?OABC的面積為10，
∴S△ABE+S△AOE=S△CBD+S△COD=12×10=5，
∵點C在反比例函數(shù)y=8x(x>0)的圖象上，
∴S△ABE=S△COD=82=4，
∴S△AOE=S△CBD=5?4=1，
∵點A在反比例函數(shù)y=kx(x0的圖象上，
∴k=6a×a=6a2，
∵四邊形OACD是正方形，
∴C4a,4a，
∵P在CD上，
∴P點縱坐標(biāo)為4a，
∵P點在反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象上，
∴P點橫坐標(biāo)為x=k4a，
∴Pk4a,4a，
設(shè)PM、NQ交于點H，
∵∠HMO=∠HNO=∠NOM=90°，
∴四邊形OMHN是矩形，
∴NH=k4a，MH=a，
∴S?OMHN=NH×MH=k4a×a=6，
∴k=24，
故選：C．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)及矩形得判定及其面積公式，讀懂題意，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）如圖，點A，B在反比例函數(shù)y=kxx0的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交y=?2x的圖象于B，D兩點，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標(biāo)軸分割成四個小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，S4，若S2+S3+S4=112，則k的值為（）
A．52B．53C．4D．83
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)Aa,b，則B?2b,b，Da,?2a，C?2b,?2a，根據(jù)坐標(biāo)求得S1=ab=k，S2=S4=1，推得S3=?2b×?2a=32，即可求得．
【詳解】解：依題意，設(shè)Aa,b，則B?2b,b，Da,?2a，C?2b,?2a
∵點A在y=kx(x>0)的圖象上
則S1=ab=k，
同理∵B，D兩點在y=?2x的圖象上，
則S2=S4=2
∵S2+S3+S4=112
∴S3=112?2?2=32，
又∵S3=?2b×?2a=32，
故ab=83，
∴k=83，
故選：D．
【變式8-2】（23-24九年級·浙江金華·期中）如圖，四邊形OABC、BDEF是面積分別為S1、S2的正方形，點A在x軸上，點F在BC上，點E在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，若S1?S2=4，則k值為．
【答案】4
【分析】本題考查的知識點是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，根據(jù)已知條件得出點D、E、F的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．設(shè)正方形OABC、BDEF的邊長分別為a，b，則可表示出D(a,a+b)，F(xiàn)(a?b,a)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出Ea?b,ka?b，利用點E與點D的縱坐標(biāo)相同，求解即可．
【詳解】解：設(shè)正方形OABC、BDEF的邊長分別為a，b，
則Da,a+b，F(xiàn)a?b,a，Ea?b,ka?b，
∵點E與點D的縱坐標(biāo)相同，
∴ka?b=a+b，
∴a2?b2=k，
∵S1?S2=4，
∴k=4．
故答案為：4．
【變式8-3】（2024·山東濟寧·一模）如圖，點A3,6，B6,a是反比例函數(shù)y=mx的圖象上的兩點，連接OA、OB．
(1)求a的值；
(2)求△AOB的面積；
(3)若點C的坐標(biāo)為9,0，點P是反比例函數(shù)圖象上的點，若△POC的面積等于△AOB面積的3倍，求點P的坐標(biāo)．
【答案】(1)a=3
(2)△AOB的面積為272
(3)點P的坐標(biāo)為2,9或?2,?9
【分析】（1）將點A3,6，代入y=mx，求出m，將點B6,a代入y=18x，即可求解，
（2）由反比例函數(shù)的幾何意義得S△AOD=S△BOE，由S四邊形AOEB?S△BOE=S四邊形AOEB?S△AOD，可得S△AOB=S梯形ADEB，即可求解，
（3）設(shè)點P坐標(biāo)為p,18p，作PE⊥x軸，用含p的代數(shù)式表示出PE的長度，代入S△POC=12×OC×PE=3S△AOB=3×272，即可求解，
本題考查了求反比函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的幾何意義，求特殊圖形的面積，解題的關(guān)鍵是：熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想．
【詳解】（1）解：∵點A3,6，B6,a是反比例函數(shù)y=mx的圖象上的兩點，
∴6=m3，解得：m=18，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=18x，
∴a=186，解得：a=3，
故答案為：a=3，
（2）解：過點A，B，作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為D，E，
由（1）可知，點A3,6，B6,3是反比例函數(shù)y=18x的圖象上的兩點，
∴AC=6，OD=3，BD=3,OE=6，S△AOD=S△BOE，
∵S四邊形AOEB?S△BOE=S四邊形AOEB?S△AOD，
∴S△AOB=S梯形ADEB=12AD+BE?DE=12AD+BE?OE?OD=126+36?3=272，
故答案為：△AOB的面積為272，
（3）解：設(shè)點P坐標(biāo)為p,18p，過點P，作PE⊥x軸，垂足為E，
∴PE=18p?0=18p，OC=9，
∴S△POC=12×OC×PE=3S△AOB=3×272，
即：12×9×18p=3×272，解得：p=2或p=?2，
∴P2,9或P?2,?9，
故答案為：點P的坐標(biāo)為2,9或?2,?9．
【題型9 由反比例函數(shù)k的幾何意義求坐標(biāo)】
【例9】（23-24九年級·浙江紹興·期末）如圖，平行于y軸的直尺（部分）與反比例函數(shù)y=mx(x>0)的圖像交于A，C兩點與x軸交于B，D兩點，連接AC，點A，B對應(yīng)直尺上的刻度分別為5，2，直尺的寬度BD=2，S△AOC=5，則點C的坐標(biāo)是．
【答案】(6，2)
【分析】首先根據(jù)點A、B對應(yīng)直尺上的刻度分別為5、2，AB=3．BD=2，即可求得A的坐標(biāo)(m3，3)，C的坐標(biāo)(m3+2，3mm+6)，關(guān)鍵是根據(jù)面積列出關(guān)于m的方程，求出m，即可求得C的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵直尺平行于y軸，A、B對應(yīng)直尺的刻度為5、2，且AB=3，
則B的坐標(biāo)為(m3，0)，則D的坐標(biāo)為(m3+2，0)
∴C(m3+2，3mm+6)，
∵SΔAOC=SΔAOB+S梯形ABDC?SΔOCD=5，
又∵SΔAOB=SΔOCD，
∴S梯形ABDC=5，
∴(3+3mm+6)×2×12=5，
∴m=12，
∴C的坐標(biāo)為(6,2)
故答案為：(6,2)．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義；熟練運用幾何圖形的面積的和差計算不規(guī)則的圖形的面積．
【變式9-1】（23-24九年級·河南南陽·期末）如圖，A、B兩點的坐標(biāo)分別為(?2,0)，(0,3)，將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC，過點C作CD⊥OB，垂足為D，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點C．

(1)直接寫出點C的坐標(biāo)，并求反比例函數(shù)的解析式；
(2)點P在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，當(dāng)△PCD的面積為9時，求點P的坐標(biāo)．
【答案】(1)C(3,1)，y=3x；
(2)(7,37)或(?5,?35)．
【分析】（1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明△ABO?△BCD(ASA)，進而可推算出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式；
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,3m)，利用S△PCD=12×CD×m?1=9，建立關(guān)于m的方程解出m值即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC可知：AB=BC，∠ABO+∠CBD=∠ABC=90°，
又∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴ ∠ABO=∠OBC
又∵CD⊥OB
∴∠CDB=∠AOB=90°
∴ △ABO?△BCD(ASA)，
∴CD=OB=3，BD=AO=2，
∴OD=OB?BD=1，
∴C(3,1)．
∵C(3,1)在y=kx上，k=3，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=3x．
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,3m)，
∵S△PCD=12×CD×m?1=9，
∴ 32×m?1=9，即：m?1=6，
m1=7，m2=?5，
∴這樣的P點坐標(biāo)為(7,37)或(?5,?35)．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，利用面積求符合條件的點的坐標(biāo)．
【變式9-2】（23-24九年級·四川成都·期末）如圖，點A在反比例函數(shù)y=6x的圖象上，點B在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，連接AB，且AB∥x．點P(23,0)是x軸上一點，連接PA，PB，若PA=PB，S△PAB=4，則PB與y軸交點C的坐標(biāo)為．

【答案】0,32
【分析】
本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
設(shè)點A的坐標(biāo)為t,6t，由AB∥x軸，得點Bkt6，6t，根據(jù)S△PAB=4，得12×6t?kt6×6t=4，由此解出k=?2，進而表示點B的坐標(biāo)，再根據(jù)PA=PB得t?232+6t2=?t3?232+6t2由此解出t=2，進而得點?2，3，然后利用待定系數(shù)法求出直線PB的表達式，據(jù)此可得點C的坐標(biāo)，
【詳解】∵點A在反比例函數(shù)y=6x的圖象上，
∴設(shè)點A的坐標(biāo)為t,6t，
∵ AB∥x軸，
∴點B的縱坐標(biāo)為6t，
∵點B在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，
∴ 6t=kt，
解得：x=kt6，
∴點B的坐標(biāo)為kt6，6t，
∴AB=t?kt6=6t?kt6，
∵ S△PAB=4，
∴ 12×6t?kt6×6t=4，
解得：k=?2，
∴點B的坐標(biāo)為?t3，6t，
∵點P(23,0)，
∴PA2=t?232+6t2，
PB2=?t3?232+6t2，
∵ PA=PB，
∴t?232+6t2=?t3?232+6t2，
整理得：t?232=t3+232，
∴t?23=±t3+23，
由?23=t3+23，解得t=2，
由?23=t3+23，解得t=0，不合題意，舍去
當(dāng)t=2時，點A的坐標(biāo)為2,3，點B的坐標(biāo)為?2，3，
設(shè)直線PB的解析式為y=ax+b，
將B?23,0，P23,0代入得，
23a+b=0?23a+b=3，
解得：a=?94b=32，
∴直線PB的表達式為：y=?94+32，
當(dāng)x=0時，y=32
∴點C的坐標(biāo)為0,32
故答案為：0,32
【變式9-3】（23-24九年級·山東煙臺·期末）如圖，平行四邊形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，點D2,1在對角線OB上，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經(jīng)過C、D兩點．已知平行四邊形OABC的面積是6，則點B的坐標(biāo)為（）
A．4,83B．4,2C．5,2.5D．245,125
【答案】B
【分析】利用點D坐標(biāo)求出反比例函數(shù)和正比例函數(shù)解析式，再設(shè)出點C坐標(biāo)，利用平行四邊形的性質(zhì)和正比例函數(shù)解析式表示出點B的坐標(biāo)，從而可得BC，再用BC與點C的縱坐標(biāo)表示出平行四邊形的面積，求解即可．
【詳解】解：∵點D（2，1）在反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0上，
∴k=2×1=2，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=2x，
設(shè)直線OB的函數(shù)解析式為y=mx，
∵點D（2，1）在對角線OB上，
∴2m=1，即m=12，
∴OB的解析式為：y=12x,
∵點C在反比例函數(shù)圖象上，
∴設(shè)點C坐標(biāo)為（a，2a），
∵四邊形OABC為平行四邊形，
∴BC∥OA，
∴點B的縱坐標(biāo)為2a，
將y=2a代入y=12x，
解得：x=4a，
∴點B坐標(biāo)為（4a，2a），
∴BC=4a?a，
∵平行四邊形OABC的面積是6，
∴（4a?a）×2a=6，
解得：a=1或a=-1（舍去），
∴4a=4，2a=2，
∴點B坐標(biāo)為：4,2，
故選：B．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象等知識點，解題的關(guān)鍵是利用反比例函數(shù)和一次函數(shù)將點C，點B的坐標(biāo)統(tǒng)一表示出來．
【題型10 由直線分面積求參數(shù)的值】
【例10】（23-24九年級·浙江寧波·期中）如圖，經(jīng)過原點O的直線與反比例函數(shù)y=kx的圖像交于A，B兩點（點A在第一象限），點C，D在反比例函數(shù)y=k?16x的圖像上，AC∥y軸，BD∥x軸，OD將四邊形ABDC的面積分成7：5的兩部分，則△OCD的面積為，k的值為．
【答案】 165 265
【分析】首先根據(jù)題意設(shè)出Aa,ka，B?a,?ka，Ca,k?16a，D?a+16ak,?ka，然后表示出AC=16a，BD=16ak，然后利用OD將四邊形ABDC的面積分成7：5的兩部分列方程求出S△OCD=165，延長BD，AC交于點E，根據(jù)S?OFEG?S△OFD?S△OGC?S△CDE=S△ODC代入可求出k的值．
【詳解】∵經(jīng)過原點O的直線與反比例函數(shù)y=kx的圖像交于A，B兩點，
∴設(shè)Aa,ka，B?a,?ka，
∵點C，D在反比例函數(shù)y=k?16x的圖像上，AC∥y軸，BD∥x軸，
∴Ca,k?16a，D?a+16ak,?ka，
∴AC=ka?k?16a=16a，BD=?a+16ak??a=16ak，
∴S△AOC=12×AC×xA=12×16a×a=8，
∴S△BOD=12×BD×yB=12×16ak×ka=8，
∵OD將四邊形ABDC的面積分成7：5的兩部分，
∴S△AOC+S△OCDS△BOD=75，即8+S△OCD8=75，
∴解得S△OCD=165，
如圖所示，延長BD，AC交于點E，
∴S?OFEG?S△OFD?S△OGC?S△CDE=S△ODC，
∴a×?ka?12×?a×?ka?12×a×k?16a?12×2k?16a×2a=165，
∴解得k=265．
故答案為：165，265．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，三角形的面積，解題的關(guān)鍵在于添加常用輔助線，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（23-24九年級·江蘇蘇州·期中）如圖，直線y=12x+m與反比例函數(shù)y=kxx>0交于點A2,4，與y軸交于點B，過雙曲線上的一點C作x軸的垂線，垂足為點D，交直線y=12x+m于點E．若OE將四邊形BOCE分成兩個面積相等的三角形，則點C坐標(biāo)為．
【答案】4,2
【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．先求得直線y=12x+3，反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=8x，設(shè)Cn,8n，根據(jù)OE將四邊形BOCE分成兩個面積相等的三角形，得到CE=OB=3，據(jù)此列出關(guān)于n的方程，解方程即可求解．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=kxx>0經(jīng)過點A2,4，直線y=12x+m經(jīng)過點A2,4，
∴k=2×4=8，4=12×2+m，
∴m=3
∴y=12x+3，y=8x，
令x=0，則y=3，
即OB=3．
設(shè)Cn,8n，且n>0，
∴En,12n+3．
∵OE將四邊形BOCE分成兩個面積相等的三角形，
∴S△BOE=S△COE，
∴CE=OB=3，
∴12n+3?8n=3，
解得n=4或n=?4（不符合題意，舍去），
經(jīng)檢驗n=4是原方程的解，
∴點C的坐標(biāo)為4,2．
故答案為：4,2．
【變式10-2】（23-24九年級·浙江紹興·期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一個由12個邊長為1的正方形所組成的圖形，反比例函數(shù)y=kxk≠0,x>0的圖象與圖形外側(cè)兩個交點記為A點，B點，若線段AB把該圖形分成面積為5:7的兩部分，則k的值為．
【答案】3或92
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)，解一元一次方程等．根據(jù)題意可得線段AB把該圖形分成面積為5和7的兩部分，得出點A的縱坐標(biāo)為1，點B的縱坐標(biāo)為3，代入反比例解析式求出點A和點B的坐標(biāo)，得出BC=k3?1，AD=k?1，CD=2，求出梯形ABCD的面積，再加上3個小正方形的面積，可得出線段AB的左側(cè)部分圖形的面積，據(jù)此列出關(guān)于k的方程，解方程即可．
【詳解】解：如圖：
∵線段AB把該圖形分成面積為5:7的兩部分，且圖形的總面積是12，
∴線段AB把該圖形分成面積為5和7的兩部分，
根據(jù)題意可得點A的縱坐標(biāo)為1，點B的縱坐標(biāo)為3，
∵反比例函數(shù)y=kxk≠0,x>0的圖象與圖形外側(cè)兩個交點記為A點，B點，
故Ak,1，Bk3,3，
則BC=k3?1，AD=k?1，CD=2，
故梯形ABCD的面積為：12×k3?1+k?1×2=43k?2，
即43k?2+3=5或43k?2+3=7，
解得：k=3或k=92．
故答案為：3或92．
【變式10-3】（2024·山東聊城·中考真題）如圖，直線y=px+3p≠0與反比例函數(shù)y=kxk>0在第一象限內(nèi)的圖象交于點A2,q，與y軸交于點B，過雙曲線上的一點C作x軸的垂線，垂足為點D，交直線y=px+3于點E，且S△AOB:S△COD=3:4．

(1)求k，p的值；
(2)若OE將四邊形BOCE分成兩個面積相等的三角形，求點C的坐標(biāo)．
【答案】(1)k=8，p=12
(2)點C的坐標(biāo)為(4，2)
【分析】（1）先求出點B的坐標(biāo)，得到OB=3，結(jié)合點A的橫坐標(biāo)為2，求出△AOB的面積，再利用S△AOB:S△COD=3:4求出S△COD=4，設(shè)Cm,km，代入面積中求出k，得到反比例函數(shù)解析式，再將點A橫坐標(biāo)代入出點A縱坐標(biāo)，最后將點A坐標(biāo)代入直線y=px+3p≠0即可求解；
（2）根據(jù)（1）中點C的坐標(biāo)得到點E的坐標(biāo)，結(jié)合OE將四邊形BOCE分成兩個面積相等的三角形，列出關(guān)于m的方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵直線y=px+3與y軸交點為B，
∴B0,3，
即OB=3．
∵點A的橫坐標(biāo)為2，
∴S△AOB=12×3×2=3．
∵S△AOB:S△COD=3:4，
∴S△COD=4，
設(shè)Cm,km，
∴12m?km=4，
解得k=8．
∵點A2,q在雙曲線y=8x上，
∴q=4，
把點A2,4代入y=px+3，得p=12，
∴k=8，p=12；
（2）解：由（1）得Cm,km，
∴Em,12m+3．
∵OE將四邊形BOCE分成兩個面積相等的三角形，
∴S△BOE=S△COE，
∵S△BOE=32m，S△COE=m212m+3?4，
∴32m=m212m+3?4，
解得m=4或m=?4（不符合題意，舍去），
∴點C的坐標(biāo)為（4，2）．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．x
0.5
1
1.5
2
3
4
6
12
y
12
6
4
3
2
1
0.5
x
0.5
1
1.5
2
3
4
6
12
y
12
6
4
3
2
1
0.5

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