第4章 圖形的相似單元提升卷 【北師大版】 考試時間：60分鐘；滿分：100分 姓名：___________班級：___________考號：___________ 考卷信息： 本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！ 一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分） 1．（3分）（23-24九年級·湖南衡陽·期末）已知四條線段a，b，c，d滿足ab=cd，則下列等式一定成立的是（　?。?A．a(chǎn)d=cb B．a(chǎn)+cb+d=ab C．a(chǎn)2b=c2b D．2a+c2d+b=ad 2．（3分）（23-24九年級·湖南婁底·期末）如圖，在△ABC中， D是AB邊上一點， 添加下列條件， 不能判定△ACD∽△ABC的是（ ） A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACB C．ADAC=ACAB D．ADAC=CDBC 3．（3分）（23-24·安徽阜陽·二模）如圖，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且CE⊥DB．若AB=2，AD=72，則CE的長是（???） A．76565 B．72 C．146565 D．286565 4．（3分）（23-24·湖南長沙·二模）如圖，課后服務(wù)課上，劉老師讓王剛同學(xué)站在B點處去觀測8m外的位于D點處的一棵大樹（CD），所用工具為一個平面鏡P和必要的長度測量工具（B、P、D在一直線上）．已知王剛身高（AB）1.6m，大樹高4.8m，將平面鏡P放置在離王剛（????）m處才能觀測到大樹的頂端． ?? A．1 B．2 C．3 D．4 5．（3分）（23-24九年級·四川宜賓·期末）如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別是3和4，則點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（????） A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 6．（3分）（23-24·陜西渭南·二模）如圖，△ABC與△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若點A、A′的坐標分別為(?1,0)、(?2.0)，△ABC的面積是6，則△A′B′C′的面積為（????） ?? A．18 B．12 C．24 D．9 7．（3分）（23-24·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步驟作圖： 第一步，分別以點A、D為圓心，以大于12AD的長為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點M、N； 第二步，連接MN分別交AB、AC于點E、F； 第三步，連接DE、DF． 若BD=6，AF=4，CD=3，則BE的長是（??） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（3分）（23-24九年級·山東威?！て谀┰谘芯肯嗨茊栴}時，甲、乙同學(xué)的觀點如下： 甲：將三角形按圖①的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間距為1，則新三角形與原三角形相似． 乙：將矩形按圖②的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形相似． 丙：將菱形按圖③的方式向外擴張，得到新的菱形，他們的對應(yīng)邊間距均為1，則新菱形與原菱形相似． 對于三人的觀點，下列說法正確的是（????） ?? A．甲對，丙、乙不對 B．甲、乙都對，丙不對 C．甲、丙都對，乙不對 D．甲、乙、丙都對 9．（3分）（23-24九年級·四川達州·期末）如圖，△ABC≌△DEF，AB=AC=5，BC=EF=6，點E在BC邊上運動（不與端點重合），邊DE始終過點A，EF交AC于點G，當△AEG是等腰三角形時，△AEG的面積是（???）． A．8或 625108 B．8 C．625108 D．6或 625107 10．（3分）（23-24·上?！つM預(yù)測）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=1，BC=2，對角線AC、BD交于點E．當邊AB的長度發(fā)生變化時，下列說法中正確的是（???） A．點E到邊AB的距離不變 B．點E到邊BC的距離不變 C．點E到邊CD的距離不變 D．點E到邊DA的距離不變 二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分） 11．（3分）（23-24·江蘇蘇州·一模）如圖，將⊙O的圓周分成五等份，依次隔一個分點相連，即成一個正五角星形．此時點M是線段AD，BE的黃金分割點，也是線段NE，AH的黃金分割點，則MNAM= ． 12．（3分）（23-24·山東菏澤·一模）如圖，等邊△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，線段AB被截成三等份．若△ABC的面積為12cm2，圖中陰影部分的面積為 cm2． 13．（3分）（23-24·河南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）如圖，已知點P是邊長為10的正方形ABCD內(nèi)的一點，且PB=8，BF⊥BP，若在射線BF上有一點M，使以點B，M，C為頂點的三角形與△ABP相似，那么BM= ． 14．（3分）（23-24·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點O，將?ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)至?EOCF的位置，點B的對應(yīng)點恰好落在點O處，B，O，D，E四點共線，請完成下列問題： ?? （1）已知∠COB=α，則∠FCD= （用含α的代數(shù)式表示）； （2）若BO=2，則BC的長為 ． 15．（3分）（23-24·四川成都·一模）如圖，已知△ABC為等腰三角形，且AB=AC，延長AB至D，使得AB：BD=m：n，連接CD，E是BC邊上的中點，連接AE，并延長AE交CD與點F，連接FB，則BF：FD= ． ?? 16．（3分）（23-24九年級·浙江紹興·期末）如圖，在小正方形邊長均為1的4×4的網(wǎng)格中，△ABC是一個格點三角形．如果△DEF，△GHI是該網(wǎng)格中與△ABC相似的格點三角形，且△DEF的面積S1最大；△GHI的面積S2最小，那么S1S2的值等于 ． 三．解答題（共7小題，滿分52分） 17．（6分）（23-24·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G，F(xiàn)為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF=∠CBG．求證： (1)AF=CG； (2)CF=2DE． 18．（6分）（23-24九年級·安徽六安·期末）已知線段a，b，c滿足a:b:c=1:3:5，且a?b+c=6． (1)求線段a，b，c的長； (2)若線段m是線段a，b的比例中項，求線段m的長． 19．（8分）（23-24九年級·山東煙臺·期末）如圖，點D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，點M是DF的中點，連接CM并延長交AB于點N，求MNCM的值． 20．（8分）（23-24九年級·江蘇·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE⊥BD，交AB于點E， (1)求證：△ADE∽△ABD； (2)若AB=10，BE=3AE，求線段AD長． 21．（8分）（23-24·吉林長春·模擬預(yù)測）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求作圖． (1)在圖①中，在邊AB上找一點D，使BD=BC． (2)在圖②中，在邊AC上找一點E，在BC上找一點F，使EF∥AB，且AB=3EF． (3)在圖③中，在△ABC內(nèi)找一點M，分別連結(jié)AM，CM，使△ABM、△ACM、△BCM的面積相等． 22．（8分）（23-24九年級·河南鄭州·期中）如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AB=4cm，AC=3cm，點D沿AB從A向B運動，速度是1cm/秒，同時，點E沿BC從B向C運動，速度為2cm/秒．動點E到達點C時運動終止．連接DE、CD、AE． (1)當動點運動時間t= 秒時，△BDE與△ABC相似． (2)在運動過程中，當CD⊥DE時，t為何值？請說明理由． 23．（8分）（23-24·陜西榆林·二模）問題探究： (1)如圖1，AB∥CD，AC與BD交于點E，若△ABE的面積為16，AE＝2CE，則△CDE的面積為 　 　 (2)如圖2，在矩形ABCD中，連接AC，BE⊥AC于點E，已知BE＝3，求矩形ABCD面積的最小值； 問題解決： 某地方政府欲將一塊如圖3所示的平行四邊形ABCD空地改建為健身娛樂廣場，已知AB＝3003米，∠A＝60°，廣場入口P在AB上，且BP＝2AP．根據(jù)規(guī)劃，過點P鋪設(shè)兩條夾角為120°的筆直小路PM、PN（即∠MPN＝120°），點M、N分別在邊AD、BC上（包含端點）△PAM區(qū)域擬建為健身廣場，△PBN區(qū)域擬建為兒童樂園，其他區(qū)域鋪設(shè)綠化草坪．已知建健身廣場每平方米需0.8萬元，建兒童樂園每平方米需0.2萬元，按規(guī)劃要求，建成健身廣場和兒童樂園至少需要總費用多少萬元？（結(jié)果保留根號） 第4章 圖形的相似單元提升卷 【北師大版】 參考答案與試題解析 選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分） 1．（3分）（23-24九年級·湖南衡陽·期末）已知四條線段a，b，c，d滿足ab=cd，則下列等式一定成立的是（　　） A．a(chǎn)d=cb B．a(chǎn)+cb+d=ab C．a(chǎn)2b=c2b D．2a+c2d+b=ad 【答案】B 【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到ad＝bc，可判斷A，根據(jù)分式的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)分式的和比性質(zhì)可判斷B，D． 【詳解】解：A、由已知ab=cd得ad＝bc，故選項不符合題意； B、根據(jù)分式的合比性質(zhì)，等式一定成立，故選項符合題意； C、根據(jù)分式的性質(zhì)可知該等式不成立，故選項不符合題意； D、根據(jù)分式的合比性質(zhì)，等式不一定成立，故選項不符合題意． 故選：B． 【點睛】本題考查了比例線段，比例的性質(zhì)，熟練掌握比例線段的定義是解題的關(guān)鍵． 2．（3分）（23-24九年級·湖南婁底·期末）如圖，在△ABC中， D是AB邊上一點， 添加下列條件， 不能判定△ACD∽△ABC的是（ ） A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACB C．ADAC=ACAB D．ADAC=CDBC 【答案】D 【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定定理逐一判斷即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解：A、根據(jù)題意可知，∠CAD=∠BAC，∠ACD＝∠B，由兩角對應(yīng)相等兩三角形相似可得△ACD∽△ABC，故本選項不符合題意； B、根據(jù)題意可知，∠CAD=∠BAC，∠ADC=∠ACB，由兩角對應(yīng)相等兩三角形相似可得△ACD∽△ABC，故本選項不符合題意； C、根據(jù)題意可知，∠CAD=∠BAC，ADAC=ACAB，根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似可得△ACD∽△ABC，故本選項不符合題意； D、由條件無法判斷∠ADC=∠ACB，故不能判定△ACD∽△ABC，該選項符合題意； 故選：D． 3．（3分）（23-24·安徽阜陽·二模）如圖，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且CE⊥DB．若AB=2，AD=72，則CE的長是（???） A．76565 B．72 C．146565 D．286565 【答案】D 【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵．先運用勾股定理計算出DB的長度，由AB∥DC，易證△DAB∽△CED，最后列出比例式求解即可． 【詳解】由勾股定理得DB=AD2+AB2=722+22=652， ∵ AB∥DC，CE⊥DB，∠A=90° ∴ ∠ABD=∠CDE，∠CED=90°=∠A， ∴ △DAB∽△CED， ∴ CEAD=CDDB， ∴ CE72=4652， 解得CE=286565， 故選：D． 4．（3分）（23-24·湖南長沙·二模）如圖，課后服務(wù)課上，劉老師讓王剛同學(xué)站在B點處去觀測8m外的位于D點處的一棵大樹（CD），所用工具為一個平面鏡P和必要的長度測量工具（B、P、D在一直線上）．已知王剛身高（AB）1.6m，大樹高4.8m，將平面鏡P放置在離王剛（????）m處才能觀測到大樹的頂端． ?? A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，證明△ABP∽△CDP，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解：由題意得：∠APB=∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB，BD=8，AB=1.6，CD=4.8， ∴∠ABP=∠CDP=90°， ∴△ABP∽△CDP， ∴BPDP=ABCD， ∴BP8?BP=1.64.8， 解得：BP=2， 經(jīng)檢驗，BP=2是原方程的解且符合題意， ∴將平面鏡P放置在離王剛2m處才能觀測到大樹的頂端． 故選：B． 5．（3分）（23-24九年級·四川宜賓·期末）如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別是3和4，則點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（????） A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 【答案】D 【分析】此題主要考查了矩形的性質(zhì)與相似三角形的綜合運用，利用三角形的相似求線段長度是初中階段重點知識，熟練掌握是解此題的關(guān)鍵．過P點作PE⊥AC，PF⊥BD，由矩形的性質(zhì)可證△PEA～△CDA和△PFD～△BAD，根據(jù)PECD=PACA和PFAB=PDBD，即PE3=PA5和PF3=PD5，兩式相加得PE+PF=125，即為點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和． 【詳解】解：過P點作PE⊥AC，PF⊥BD， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD⊥CD， ∴△PEA～△CDA， ∴PECD=PACA， ∵AC=BD=32+42=5， ∴PE3=PA5， 同理：△PFD～△BAD， ∴PFAB=PDBD， ∴PF3=PD5， ∴PE+PF3=PA+PD5=AD5=45， ∴PE+PF=125， 即為點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是：125． 故選：D． 6．（3分）（23-24·陜西渭南·二模）如圖，△ABC與△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若點A、A′的坐標分別為(?1,0)、(?2.0)，△ABC的面積是6，則△A′B′C′的面積為（????） ?? A．18 B．12 C．24 D．9 【答案】C 【分析】本題考查了位似變換的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，由題意可知，△ABC與△A′B′C′是位似比為1：2的位似圖形，則根據(jù)面積比等于位似比的平方即可求解． 【詳解】解：∵△ABC與△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，點A、A′的坐標分別為(?1，0)、(?2，0)， ∴△ABC ∽ △A′B′C′且相似比為1：2， ∴△ABC的面積：△A′B′C′的面積=1:4， ∵△ABC的面積是6，， ∴△A′B′C′的面積為24， 故選：C 7．（3分）（23-24·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步驟作圖： 第一步，分別以點A、D為圓心，以大于12AD的長為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點M、N； 第二步，連接MN分別交AB、AC于點E、F； 第三步，連接DE、DF． 若BD=6，AF=4，CD=3，則BE的長是（??） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，證明出四邊形AEDF的形狀是解題關(guān)鍵．根據(jù)作法可知：MN是線段AD的垂直平分線，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，得出DE∥AC，DF∥AE，證明四邊形AEDF是菱形，得到AE=DE=DF=AF=4，然后由平行線分線段成比例定理，得到BDCD=BEAE，即可求出BE的長． 【詳解】解：∵根據(jù)作法可知：MN是線段AD的垂直平分線， ∴AE=DE，AF=DF， ∴∠EAD=∠EDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠EDA=∠CAD， ∴DE∥AC， 同理可得DF∥AE， ∴四邊形AEDF是菱形， ∴AE=DE=DF=AF， ∵AF=4， ∴AE=DE=DF=AF=4， ∵DE∥AC， ∴ BDCD=BEAE， ∵BD=6，AE=4，CD=3， ∴ 63=BE4， ∴BE=8， 故選：D． 8．（3分）（23-24九年級·山東威?！て谀┰谘芯肯嗨茊栴}時，甲、乙同學(xué)的觀點如下： 甲：將三角形按圖①的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間距為1，則新三角形與原三角形相似． 乙：將矩形按圖②的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形相似． 丙：將菱形按圖③的方式向外擴張，得到新的菱形，他們的對應(yīng)邊間距均為1，則新菱形與原菱形相似． 對于三人的觀點，下列說法正確的是（????） ?? A．甲對，丙、乙不對 B．甲、乙都對，丙不對 C．甲、丙都對，乙不對 D．甲、乙、丙都對 【答案】C 【分析】根據(jù)邊數(shù)相同的兩個多邊形，如果對應(yīng)角相等，且對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形相似即可判斷． 【詳解】解：如圖所示， ?? 據(jù)題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′， ∴∠A=∠A′，∠B=∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴新三角形與原三角形相似，甲說法正確． 乙：設(shè)原矩形邊長為a，b． 向外擴張一個單位后邊長變?yōu)閍+2，b+2． 則A'B'AB=a+2aA'D'AD=b+2b,A'B'AB≠A'D'AD ∴新矩形與原矩形不相似，乙說法不正確； 丙：將邊長為a的菱形按圖③的方式向外擴張，得到新菱形，各邊與原菱形邊平行，因此各角與原菱形角對應(yīng)相等，擴張后四條邊依然相等，即新菱形與原菱形相似， 故丙正確， 故選：C． 【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，相似多邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的判定是解題的關(guān)鍵． 9．（3分）（23-24九年級·四川達州·期末）如圖，△ABC≌△DEF，AB=AC=5，BC=EF=6，點E在BC邊上運動（不與端點重合），邊DE始終過點A，EF交AC于點G，當△AEG是等腰三角形時，△AEG的面積是（???）． A．8或 625108 B．8 C．625108 D．6或 625107 【答案】A 【分析】首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE>∠C，可得AE≠AG，當AE=EG與AG=EG去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案． 【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，AB=AC， ∴∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE>∠C， ∴∠AGE>∠AEF， ∴AE≠AG； ∵∠AEF=∠B， ∴180°?∠AEB?∠AEF=180°?∠AEB?∠B， 即：∠CEG=∠BAE， 當AE=EG時， 在△ABE與△ECG中， ∠B=∠C∠CEG=∠BAEAE=EG ∴△ABE≌△ECGAAS， ∴CE=AB=5， ∴BE=BC?EC=6?5=1， 作AM⊥BC于點M， ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BM=3， ∴AM=AB2?BM2=52?32=4， ∴S△ABE=S△CEG=12×1×4=2， ∴S△AEG=S△ABC?2S△ABE =12×6×4?2×2 =8， 當AG=EG時，則∠GAE=∠GEA， ∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG， 即∠CAB=∠CEA， 又∵∠C=∠C， ∴△CAE∽△CBA， ∴CEAC=ACCB， ∴CE=AC2CB=256， ∴BE=6?256=116， ∵∠CEG=∠BAE， ∴△ABE∽△ECG， ∴ABCE=BECG， ∴CG=CE?BEAB=256×1165=5536， ∴AG=5?5536=12536， ∵∠EAG=∠AEG=∠B=∠C， ∴△GAE∽△ABC， ∴S△EAGS△ABC=(AGAB)2=252362， ∴S△EAG=62536×36×12=625108． 故選：A． 【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 10．（3分）（23-24·上?！つM預(yù)測）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=1，BC=2，對角線AC、BD交于點E．當邊AB的長度發(fā)生變化時，下列說法中正確的是（???） A．點E到邊AB的距離不變 B．點E到邊BC的距離不變 C．點E到邊CD的距離不變 D．點E到邊DA的距離不變 【答案】A 【分析】先證△EAD∽△ECB得EC=2EA，EB=2ED，則AC=3AE，DB=3DE，過點E作EF⊥AB于點F，過點E作EH⊥BC，HE的延長線交AD于K，EP⊥CD于P，過點D作DQ⊥BC于Q，證明△BEF∽△BAD得EF=23，由此可對選項A進行判斷；證明△CEH∽△CAB得EH=23AB，由此可對選項B進行判斷；根據(jù)KH=AB，EH=23AB得EK=13AB，由此可對選項D進行判斷；設(shè)AB=a，則EH=2a3，EK=a3，則DQ=AB=a，CQ=1，進而得CD=a2+1，根據(jù)S△EAB+S△EAD+S△EBC+S△ECD=S梯形ABCD可得EP=2aa2+13a2+3，由此可對選項C進行判斷． 【詳解】解：∵四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，AD=1，BC=2， ∴△EAD∽△ECB， ∴EA:EC=DE:EB=AD:BC=1:2， ∴EC=2EA，EB=2ED， ∴AC=EA+EC=3AE，DB=ED+EB=3DE， 過點E作EF⊥AB于點F，過點E作EH⊥BC，HE的延長線交AD于K，EP⊥CD于P，過點D作DQ⊥BC于Q，如圖所示： ∵∠BAD=90°， ∴EF∥AD， ∴△BEF∽△BAD， ∴EF:AD=EB:DB， 即EF:1=2ED:3DE． ∴EF=23， ∴點E到邊AB的距離不變， 故選項A正確，符合題意； ∵∠BAD=90°，AD∥BC， ∴∠ABC=90°， 又∵EH⊥BC，HE的延長線交AD于K， ∴四邊形ABHK為矩形， ∴HK∥AB，HK=AB， ∴△CEH∽△CAB， ∴EH:AB=EC:AC， 即EH:AB=2EA:3AE， ∴EH=23AB， ∴當邊AB的長度發(fā)生變化時，EH隨AB的變化而變化， 故選項B不正確，不符合題意； ∵KH=AB，EH=23AB， ∴EK=HK?EH=AB?23AB=13AB， ∴當邊AB的長度發(fā)生變化時，EK隨AB的變化而變化， 故選項D不正確，不符合題意； 設(shè)AB=a，則EH=2a3，EK=a3， ∵∠BAD=∠ABC=90°，DQ⊥BC， ∴四邊形ABQD為矩形， ∴BQ=AD=1，DQ=AB=a， ∴CQ=BC?BQ=2?1=1， 在Rt△DQC中，由勾股定理得：CD=DQ2+CQ2=a2+1， ∵S△EAB+S△EAD+S△EBC+S△ECD=S梯形ABCD， ∴ 12AB?EF+12AD?EK+12BC?EH+12CD?EP=12(AD+BC)?AB， ∴AB?EF+AD?EK+BC?EH+CD?EP=(AD+BC)?AB， 即a×23+1×a3+2×2a3+EP?a2+1=(1+2)a， 整理得：EP=2aa2+13a2+3， ∴當邊AB的長度發(fā)生變化時，EP隨AB的變化而變化， 故選項C不正確，不符合題意． 故選：A． 【點睛】此題主要考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，點到直線的距離，熟練掌握梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵． 二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分） 11．（3分）（23-24·江蘇蘇州·一模）如圖，將⊙O的圓周分成五等份，依次隔一個分點相連，即成一個正五角星形．此時點M是線段AD，BE的黃金分割點，也是線段NE，AH的黃金分割點，則MNAM= ． 【答案】5?12 【分析】本題考查了黃金分割，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．連接AE，根據(jù)題意可得：AB=DE，從而利用等弧所對的圓周角相等可得∠AEB=∠DAE，進而可得MA=ME，然后利用黃金分割的定義進行計算即可解答． 【詳解】解：連接AE， ∵將⊙O的圓周分成五等份， ∴AB=DE， ∴∠AEB=∠DAE， ∴MA=ME， ∵點M是NE的黃金分割點， ∴MENE=NMME=5?12， ∴NMAM=5?12 故答案為：5?12． 12．（3分）（23-24·山東菏澤·一模）如圖，等邊△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，線段AB被截成三等份．若△ABC的面積為12cm2，圖中陰影部分的面積為 cm2． 【答案】4 【分析】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)EF∥BC，得到△AKN∽△ABC，利用三角形相似的性質(zhì)可求得S△AKN=163，同理求得S△AHM=43，它們的差即為所求答案． 【詳解】∵線段AB被截成三等份， ∴AKAB=23，AHAB=13， ∵EF∥BC， ∴△AKN∽△ABC， ∴S△AKNS△ABC=(AKAB)2=49， ∴S△AKN12==49， ∴S△AKN=163， ∵四邊形DEFG是矩形， ∴EF∥DG， ∴DG∥BC， ∴△AHM∽△ABC， ∴S△AHMS△ABC=(AHAB)2=19， ∴S△AHM12==19， ∴S△AHM=43， ∴陰影部分的面積=S△AKN?S△AHM=163?43=4． 故答案為：4． 13．（3分）（23-24·河南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）如圖，已知點P是邊長為10的正方形ABCD內(nèi)的一點，且PB=8，BF⊥BP，若在射線BF上有一點M，使以點B，M，C為頂點的三角形與△ABP相似，那么BM= ． 【答案】8或252 【分析】本題考查相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．由余角的性質(zhì)推出∠ABP=∠CBM，當AB:BM=PB:BC時，△BAP∽△BMC，當AB:BC=PB:BM時，△BAP∽△BCM，兩種情況下，分別求出MB的長，即可得到答案． 【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，BC=AB=10， ∵BF⊥BP， ∴∠ABP+∠CBP=∠CBM+∠CBP=90°， ∴∠ABP=∠CBM． 當AB:BM=PB:BC時，△BAP∽△BMC， ∴10:MB=8:10， ∴BM=12.5， 當AB:BC=PB:BM時，△BAP∽△BCM， ∴10:10=8:BM， ∴BM=8， ∴以點B，M，C為頂點的三角形與△ABP相似，那么MB的長是8或252． 故答案為：8或252． 14．（3分）（23-24·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點O，將?ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)至?EOCF的位置，點B的對應(yīng)點恰好落在點O處，B，O，D，E四點共線，請完成下列問題： ?? （1）已知∠COB=α，則∠FCD= （用含α的代數(shù)式表示）； （2）若BO=2，則BC的長為 ． 【答案】 180°?2α 22 【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠FCO=∠BCD，推出∠FCD+∠DCO=∠BCO+∠OCD，即可得到答案； （2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABO∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AO?AC=2AO2=AB2=16，即可求出答案． 【詳解】解：（1）∵點B的對應(yīng)點恰好落在點O處， ∴CO=BO， ∴∠BOC=∠OBC=α， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠FCO=∠BCD， ∴∠FCD+∠DCO=∠BCO+∠OCD， ∴∠FCD=∠BCO=180°?2α； （2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OE=AB， ∵ ?EOCF，B，O，D，E四點共線， ∴CF∥EB， ∴∠COB=∠FCO， ∴∠OBC=∠BCD， ∴CD=BD， ∵?ABCD， ∴CD=AB,AO=CO， ∵BO=2， ∴BD=2BO=4， ∴AB=CD=BD=4， ∵∠DCB+∠ABC=180°， ∠COB+∠AOB=180°， ∴∠AOB=∠ABC， ∵∠OAB=∠BAC， ∴△ABO∽△ACB， ∴AOAB=ABAC， ∵AC=2AO,AO=CO， ∴AO?AC=2AO2=AB2=16， ∴AO=22， ∴BC=CO=AO=22． 故答案為：180°?2α；22． 15．（3分）（23-24·四川成都·一模）如圖，已知△ABC為等腰三角形，且AB=AC，延長AB至D，使得AB：BD=m：n，連接CD，E是BC邊上的中點，連接AE，并延長AE交CD與點F，連接FB，則BF：FD= ． ?? 【答案】m：m+n/m：n+m 【分析】本題主要考查的是平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 如圖：過點B作BH∥AF交CD于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到DHHF=BDAB=nm，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AE⊥BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BF=CF，再根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可． 【詳解】解：過點B作BH∥AF交CD于H， ∴△BDH∽△ADF ∴DHHF=BDAB=nm， ?? ∵AB=AC，E是BC邊上的中點， ∴AE⊥BC， ∴AF是線段BC的垂直平分線， ∴BF=CF， ∵EF∥BH，CE=EB，即BE=12CE ∴△CEF∽△CBH, ∴CFCH=CEBC=CE2CE=12， ∴CF=12HF，即CF=HF， ∴CF：FD=m：m+n， ∴BF：FD=m：m+n． 故答案為：m：m+n． 16．（3分）（23-24九年級·浙江紹興·期末）如圖，在小正方形邊長均為1的4×4的網(wǎng)格中，△ABC是一個格點三角形．如果△DEF，△GHI是該網(wǎng)格中與△ABC相似的格點三角形，且△DEF的面積S1最大；△GHI的面積S2最小，那么S1S2的值等于 ． 【答案】5 【分析】此題先求出已知三角形的三邊關(guān)系，在格點中分別找到對應(yīng)成比例的面積最大和面積最小的三角形，通過相似三角形面積比為相似比的平方直接求解即可． 【詳解】由圖可知AB=12+12=2，BC=2，AC=32+12=10 ∵△DEF，△GHI是該網(wǎng)格中與△ABC相似的格點三角形，且△DEF的面積S1最大；△GHI的面積S2最小，可如圖所示作出△DEF， △GHI， ∴ DE=12+22=5，DF=12+32=10，F(xiàn)E=32+42=5 ∴DEAB=EFBC=DFAC=52=102 ∴△DEF∽△BAC ∴S△DEFS△ABC=DE2AB2=52 同理可得GH=1，HI=2，GI=5 且△HGI∽△BAC ∴S△HGIS△ABC=HG2AB2=12 ∴ S△HGI：S△ABC：S△DEF=1:2:5 綜上所述：S1S2=5 故答案為：5 【點睛】此題考查相似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是在格點圖中畫出三角形，難點是將三角形相似比轉(zhuǎn)化為面積比． 三．解答題（共7小題，滿分52分） 17．（6分）（23-24·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G，F(xiàn)為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF=∠CBG．求證： (1)AF=CG； (2)CF=2DE． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 【分析】（1）證明△AFC≌△CBGASA，進而結(jié)論得證； （2）如圖，延長CG交AB于H，則CH⊥AB，CH平分AB，進而證得CH∥AD，得出DG=BG，證明△ADE與△CGE全等，從而證得CF=2DE． 【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB， ∴∠CAF=∠CBF=45°，∠ACG=∠BCG=45°， ∴∠CAF=∠BCG， ∵∠ACF=∠CBG，AC=BC，∠CAF=∠BCG， ∴△AFC≌△CBGASA， ∴AF=CG； （2）證明，如圖，延長CG交AB于H， ∵CG平分∠ACB，AC=BC， ∴CH⊥AB，CH平分AB， ∵AD⊥AB， ∴AD∥CG， ∴∠D=∠EGC， ∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE=CE， ∴△ADE≌△CGEAAS， ∴DE=GE，即DG=2DE， ∵AD∥CH， ∴BGDG=BHAH=1，即DG=BG， ∵△AFC≌△CBGASA， ∴CF=BG， ∴CF=2DE． 【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例．熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例是解本題的關(guān)鍵． 18．（6分）（23-24九年級·安徽六安·期末）已知線段a，b，c滿足a:b:c=1:3:5，且a?b+c=6． (1)求線段a，b，c的長； (2)若線段m是線段a，b的比例中項，求線段m的長． 【答案】(1)a=2，b=6，c=10 (2)m=23 【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，比例線段，熟記比例中項的概念是解決問題的關(guān)鍵． （1）設(shè)a=k，b=3k，c=5k，再代入求解得到k=2，即可得到a、b、c的值； （2）根據(jù)比例中項的定義列式得到m2=ab，即m2=12，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解．求解即可求出線段m的長． 【詳解】（1）解：設(shè)a=k，b=3k，c=5k， ∴a?b+c=6，即k?3k+5k=6， 解得：k=2， ∴a=2，b=6，c=10； （2）由（1）知a=2，b=6，又因為m是a，b的比例中項， ∴m2=ab，即m2=12， ∴m=±23， ∵m>0， ∴m=23． 19．（8分）（23-24九年級·山東煙臺·期末）如圖，點D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，點M是DF的中點，連接CM并延長交AB于點N，求MNCM的值． 【答案】MNCM=17． 【分析】本題考查了平行線分線段成比例，全等三角形的判定與性質(zhì)．先根據(jù)平行線性質(zhì)和中點性質(zhì)證明△NDM≌△HFMASA，再證明NHCH=AECE=13，從而可得答案． 【詳解】解：如圖，設(shè)EF與CN的交點為H， ∵點M是DF的中點， ∴DM=FM， ∵EF∥AB， ∴∠NDM=∠HFM， ∵∠DMN=∠FMH， ∴△NDM≌△HFMASA， ∴HM=MN， ∵DE∥BC，ADBD=13， ∴AECE=ADBD=13， ∵EF∥AB， ∴NHCH=AECE=13， ∴CH=3NH=3HM+MN=6MN， ∴MNCM=MNCH+MH=MN7MN=17． 20．（8分）（23-24九年級·江蘇·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE⊥BD，交AB于點E， (1)求證：△ADE∽△ABD； (2)若AB=10，BE=3AE，求線段AD長． 【答案】(1)見解析 (2)線段AD長為5 【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵． （1）根據(jù)角平分線的定義、角的和差可得∠ADE=∠ABD，再結(jié)合∠A=∠A即可證明結(jié)論； （2）由線段的和差可得AE=2.5，BE=7.5，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式ADAB=AEAD，代入數(shù)據(jù)即可解答． 【詳解】（1）證明：∵BD是∠ABC的平分線， ∴∠ABD=∠DBC， ∵DE⊥BD， ∴∠BDE=90°， ∵∠C=90°， ∴∠ADE+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°， ∴∠CBD=∠ADE ， ∴∠ADE=∠ABD， 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABD． （2）解：∵AB=10，BE=3AE ， ∴AE=2.5，BE=7.5， 由（1）得△ADE∽△ABD， ∴ADAB=AEAD， ∴AD2=AB·AE=10×2.5=25， ∴AD=5， ∴線段AD長為5． 21．（8分）（23-24·吉林長春·模擬預(yù)測）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求作圖． (1)在圖①中，在邊AB上找一點D，使BD=BC． (2)在圖②中，在邊AC上找一點E，在BC上找一點F，使EF∥AB，且AB=3EF． (3)在圖③中，在△ABC內(nèi)找一點M，分別連結(jié)AM，CM，使△ABM、△ACM、△BCM的面積相等． 【答案】(1)畫圖見解析 (2)畫圖見解析 (3)畫圖見解析 【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖，相似三角形的性質(zhì)，掌握網(wǎng)格線的特點和相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． （1）只需將線段AB分成2:3的兩段且分點D離點A更近，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)作圖，連接EF即可； （2）只需找到AC和BC靠近點C的三等分點，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，找到AC的三等分點E，連接FE即可； （3）先求出直角三角形的面積，根據(jù)三角形的面積求出高，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)作圖. 【詳解】（1）解：點D即為所求； （2）解：點E、F即為所求； （3）解：△ABC的面積為：12×3×4=6， ∵△ABM、△ACM、△BCM的面積相等， ∴△ABM、△ACM、△BCM的面積都為：13×6=2， ∴△ACM的高為：2×2÷4=1，△BCM的高為：2×2÷3=43， ∵EP∥FQ， ∴△EPM∽△FQM，且相似比為2:1， ∴MQ=13， ∴點M即為所求. 22．（8分）（23-24九年級·河南鄭州·期中）如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AB=4cm，AC=3cm，點D沿AB從A向B運動，速度是1cm/秒，同時，點E沿BC從B向C運動，速度為2cm/秒．動點E到達點C時運動終止．連接DE、CD、AE． (1)當動點運動時間t= 秒時，△BDE與△ABC相似． (2)在運動過程中，當CD⊥DE時，t為何值？請說明理由． 【答案】(1)2013或87 (2)當CD⊥DE時，t=213秒．理由見解析． 【分析】（1）本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，判斷何時△BDE與△ABC相似是解決問題的關(guān)鍵．已知△ABC是直角三角形，要△BDE與其相似，圖中已有一個公共角∠B，所以只需△BDE的另外兩個角有一個角是直角，那么△BDE與△ABC相似．由此對應(yīng)兩種情況：∠DEB=90°或∠EDB=90°，需分情況討論分析．然后兩個三角形相似，對應(yīng)邊成比例即可求出運動時間t． （2）本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，構(gòu)造輔助線，找到三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．當CD⊥DE時，過點E作EF⊥AB于F，證明Rt△ACD∽Rt△FDE，然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出時間t． 【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過運動時間為t秒時，△BDE與△ABC相似． 則AD=t(cm)，BD=(4?t)(cm)，BE=2t(cm)，CE=(5?2t)(cm) (0≤t≤52)； 1）當∠EDB=90°，即ED⊥AB時， ∵ ∠B=∠B∠EDB=∠CAB=90° ∴ Rt△BDE∽Rt△ABC； ∴ BDBA=BEBC，即4?t4=2t5， ∴ t=2013． ２）當∠DEB=90°，即DE⊥BC時， ∵ ∠B=∠B∠DEB=∠CAB=90° ∴ Rt△BDE∽Rt△ABC， ∴ BDBC=BEBA，即4?t5=2t4， ∴ t=87． ∵ t=2013和t=87都符合0≤t≤52， ∴ 當動點運動t=2013秒或t=87秒時，△BDE與△ABC相似． 故答案為：2013或87． （2）如圖，過點E作EF⊥AB于F， 設(shè)經(jīng)過運動時間為t秒時，CD⊥DE， 則AD=t(cm)，BD=(4?t)(cm)，BE=2t(cm)，CE=(5?2t)(cm) (0≤t≤52)； ∵ ∠B=∠B∠EFB=∠CAB=90° ∴ Rt△BFE∽Rt△BAC ∴ BFBA=BEBC，即BF4=2t5， ∴ BF=8t5，EF=BE2?BF2=(2t)2?(8t5)2=6t5， ∴ DF=AB?AD?BF=4?t?8t5=4?13t5， ∵ CD⊥DE， ∴ ∠CDE=90°， ∴ ∠ADC+∠EDF=90°， ∵ ∠BAC=90°， ∴ ∠ADC+∠ACD=90°， ∴ ∠ACD=∠EDF， ∵ ∠CAD=∠EFD=90°， ∴ Rt△ACD∽Rt△FDE， ∴ ACDF=ADEF，即34?135t=t6t5， ∴ t=213（秒）． 23．（8分）（23-24·陜西榆林·二模）問題探究： (1)如圖1，AB∥CD，AC與BD交于點E，若△ABE的面積為16，AE＝2CE，則△CDE的面積為 　 　 (2)如圖2，在矩形ABCD中，連接AC，BE⊥AC于點E，已知BE＝3，求矩形ABCD面積的最小值； 問題解決： (3)某地方政府欲將一塊如圖3所示的平行四邊形ABCD空地改建為健身娛樂廣場，已知AB＝3003米，∠A＝60°，廣場入口P在AB上，且BP＝2AP．根據(jù)規(guī)劃，過點P鋪設(shè)兩條夾角為120°的筆直小路PM、PN（即∠MPN＝120°），點M、N分別在邊AD、BC上（包含端點）△PAM區(qū)域擬建為健身廣場，△PBN區(qū)域擬建為兒童樂園，其他區(qū)域鋪設(shè)綠化草坪．已知建健身廣場每平方米需0.8萬元，建兒童樂園每平方米需0.2萬元，按規(guī)劃要求，建成健身廣場和兒童樂園至少需要總費用多少萬元？（結(jié)果保留根號） 【答案】(1)4 (2)18 (3)60003萬元 【分析】（1）利用相似三角形面積比等于相似比平方的性質(zhì)求解即可． （2）如圖2中，設(shè)AE＝x，EC＝y(tǒng)．S矩形ABCD＝2S△ABC＝AC ?BE＝3AC＝3（x+y），求出x+y的最小值，可得結(jié)論． （3）如圖3中，延長CB到T，使得BT＝BP，連接PT，設(shè)AM＝x．證明△PAM∽△NTP，推出PANT=AMPT，可得BN=60000x?2003，設(shè)總費用W萬元，則W=0.8×12x×1003×32+0.2×12(60000x?2003)2003×32 =60x+1800000x?60003，求出W的最小值，可得結(jié)論． 【詳解】（1）如圖1中， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴S△ABES△CDE=AEEC2=4， ∵S△ABE＝16， ∴S△CDE＝4． 故答案為：4． （2）如圖2中，設(shè)AE＝x，EC＝y(tǒng)． ∵四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC， ∴S矩形ABCD＝2S△ABC＝AC?BE＝3AC＝3（x+y）， ∴x+y的值最小時，矩形的面積最小， ∵∠AEB＝∠BEC＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ABE＝∠BCE， ∴△AEB∽△BEC， ∴AEBE=EBEC， ∴BE2＝AE?EC， ∴xy＝9， ∵（x﹣y）2≥0， ∴x2+y2≥2xy， ∴x2+2xy+y2≥4xy ∴（x+y）2≥4xy， ∴（x+y）2≥36， ∴x+y≥6， 當x+y=6時，S矩形ABCD有最小值，最小值為3×6=18 （3）如圖3中，延長CB到T，使得BT＝BP，連接PT，設(shè)AM＝x． ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝120°， ∵BP＝BT，∠PBT＝60°， ∴△PBT是等邊三角形， ∴PB＝BT＝PT， ∵AB＝3003米， ∴PA＝1003（米），PB＝2003（米）， ∴PT＝BT＝2003（米）， ∵∠APN＝∠APM+∠MPN＝∠PBN+∠PNB，∠MPN＝∠PBN＝120°， ∴∠APM＝∠PNB， ∵∠A＝∠T＝60°， ∴△PAM∽△NTP， ∴PANT=AMPT， ∴10032003+BN=x2003， ∴BN=60000x?2003， 設(shè)總費用W萬元， 則W=0.8×12x×1003×32+0.2×12(60000x?2003)2003×32 =60x+1800000x?60003， ∵60x+1800000x≥260x×1800000x， ∴60x+1800000x≥120003， ∴W≥60003，最小值為W=60003, 故建成健身廣場和兒童樂園至少需要總費用60003萬元． 【點睛】本題主要考查了相似三角形的面積，三角形面積，面積造價問題，解決問題的關(guān)鍵是熟練運用面積比與相似比平方的關(guān)系，三角形面積等于底邊乘高的一半，總價=單價×面積的關(guān)系．

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