第2章小結(jié)與思考蘇科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)1. 整理本章所學(xué)知識(shí)，構(gòu)建本章知識(shí)框架 ；2. 理解并掌握軸對(duì)稱性質(zhì)和簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形—線段、角、等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)定義軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形，這條直線叫對(duì)稱軸.軸對(duì)稱的性質(zhì)1.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；2.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分.簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形線段角等腰三角形線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上知識(shí)框架頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸“等邊對(duì)等角”、“三線合一”“等角對(duì)等邊”直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等腰三角形等邊三角形角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸三邊相等、各角都等于60°三角相等的三角形是等邊三角形，有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形直角三角形尺規(guī)作圖畫已知圖形的對(duì)稱圖形用尺規(guī)作線段的垂直平分線已知底邊及底邊上的高作等腰三角形問題1 軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形區(qū)別與聯(lián)系？名 稱關(guān) 系本質(zhì)不同一個(gè)具有特殊形狀的圖形兩個(gè)圖形之間的對(duì)稱關(guān)系對(duì)象不同一個(gè)圖形兩個(gè)圖形對(duì)稱軸的位置不同過圖形的某條直線在兩個(gè)圖形之間對(duì)稱軸的數(shù)量不同不一定只有一條只有一條對(duì)稱軸(1)沿對(duì)稱軸折疊，圖形的兩部分重合(2)如果把軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸兩邊的部分看作兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱 (1)沿對(duì)稱軸折疊，兩個(gè)圖形重合(2)如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形討論交流問題2 比較線段、角、等腰三角形、等邊三角形的對(duì)稱性.軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸（1條）軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸（3條）軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸（2條）軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸（1條）問題3 比較線段的垂直平分線和角平分線的性質(zhì).已知條件點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上PA=PBOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PE問題4 比較等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì).每一邊上的中線、高和這一邊所對(duì)的角的平分線互相重合(三條)三個(gè)角都相等，軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸（3條）等邊三角形軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸（1條）兩個(gè)底角相等底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合(1條)且都是60°兩條邊相等三條邊都相等問題5 證明線段相等、角相等的常用方法有哪些？ 證明線段相等的方法:(1)證明兩個(gè)三角形全等;(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證明;(3)根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明;(4)根據(jù)“等角對(duì)等邊”證明;(5)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)證明. 證明角相等的方法:(1)對(duì)頂角相等；(2)證明兩個(gè)三角形全等；(3)兩直線平行，同位角(內(nèi)錯(cuò)角)相等;(4)同角或等角的余角(補(bǔ)角)相等；(5)根據(jù)角平分線的判定證明;(6)根據(jù)“等邊對(duì)等角”證明.例1 如圖，陰影部分是由5個(gè)大小相同的小正方形組成的圖形，請(qǐng)分別在圖中方格內(nèi)涂?jī)蓚€(gè)小正方形，使涂后所得陰影部分圖形是軸對(duì)稱圖形．考點(diǎn)一 軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形考點(diǎn)分析例2 如圖，如下圖均為2×2的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.請(qǐng)分別在四個(gè)圖中各畫出一個(gè)與△ABC成軸對(duì)稱、頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且位置不同的三角形．ABCABCABCABC1. 在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“節(jié)水”這四個(gè)標(biāo)志中，屬于軸對(duì)稱圖形的是(　　)B2. 在線段、角、圓、等腰三角形、平行四邊形、正方形中不是軸對(duì)稱圖形的是______________．平行四邊形鞏固練習(xí)3.如圖，方格紙上畫有AB、CD兩條線段，按下列要求作圖(不要求寫出作法)：(1)請(qǐng)你在圖①中畫出線段AB關(guān)于線段CD所在直線成軸對(duì)稱的圖形；(2)請(qǐng)你在圖②中畫一條線段，使圖中的三條線段組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)畫出所有情形.解:(1)如圖①所示.①②ABCDABCD(2)如圖②所示.4.用四塊如圖①所示的瓷磚拼成一個(gè)正方形，使拼成的圖案成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)你分別在圖②、圖③中各畫一種拼法（要求兩種拼法各不相同，可平移和旋轉(zhuǎn)瓷磚）解：拼法如下：①②③考點(diǎn)二 軸對(duì)稱的性質(zhì)例 如圖所示, 已知△ABC和直線l .求作：△A'B'C', 使△A'B'C'和△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱.(不要求寫作法, 只保留作圖痕跡)l ABCl ABC考點(diǎn)分析1. 如圖是一個(gè)風(fēng)箏的圖案，它是以直線AF為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，下列結(jié)論中不一定成立的是(　　　)A．△ABD≌△ACD B．AF垂直平分EGC．直線BG，CE的交點(diǎn)在直線AF上 D．△DEG是等邊三角形 D 鞏固練習(xí)2. 如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD按如圖方式折疊，使得∠A′EB′=80°,其中EF，EG為折痕，則∠AEF＋∠BEG＝________．50° 3. 如圖，在△ABC中，D點(diǎn)在BC邊上，將D點(diǎn)分別以AB，AC邊所在直線為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)E，F(xiàn)，并連接AE，AF.根據(jù)圖中標(biāo)示的角度，則∠EAF的度數(shù)為___________.ABC60°50°140°4. 如圖，已知O是∠APB內(nèi)的一點(diǎn)，M，N分別是點(diǎn)O關(guān)于PA，PB的對(duì)稱點(diǎn)，MN與PA，PB分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知MN＝5 cm.(1)求△OEF的周長(zhǎng)；解：(1)∵點(diǎn)M，N分別是O點(diǎn)關(guān)于PA，PB的對(duì)稱點(diǎn)，∴ME＝EO，F(xiàn)N＝FO.∴△OEF的周長(zhǎng)為 OE＋EF＋OF＝ME＋EF＋FN ＝MN ＝5(cm)．當(dāng)堂檢測(cè)4. 如圖，已知O是∠APB內(nèi)的一點(diǎn)，M，N分別是點(diǎn)O關(guān)于PA，PB的對(duì)稱點(diǎn)，MN與PA，PB分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知MN＝5 cm.(2)連接PM、PN，判斷△PMN的形狀，并說明理由；解：(2)連接PO.∵點(diǎn)M，N分別是O點(diǎn)關(guān)于PA，PB的對(duì)稱點(diǎn)，∴PM＝PO，PO＝PN，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形． 解：(3)∵點(diǎn)M，N分別是O點(diǎn)關(guān)于PA，PB的對(duì)稱點(diǎn)，∴∠APO＝∠APM，∠BPO＝∠BPN，∵∠APO＋∠BPO＝∠APB＝α，∴∠APM＋∠BPN＝∠APO＋∠BPO ＝∠APB＝α，∴∠MPN＝∠MPA＋∠APO＋∠BPO＋∠BPN ＝α＋α＝2α.4. 如圖，已知O是∠APB內(nèi)的一點(diǎn)，M，N分別是點(diǎn)O關(guān)于PA，PB的對(duì)稱點(diǎn)，MN與PA，PB分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知MN＝5 cm.(3)若∠APB＝α，求∠MPN的度數(shù)．(用含α的代數(shù)式表示)考點(diǎn)三 線段的軸對(duì)稱性例1 已知：如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線l1，l2相交于點(diǎn)O． 求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上．BACOl1l2證明：連接OA、OB、OC.∵ 點(diǎn)O在AB的垂直平分線上， ∴ OA＝OB，（線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端距離相等）同理 OA＝OC.∴ OB＝OC.∴ 點(diǎn)O在BC的垂直平分線上（與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上) . 考點(diǎn)分析例2 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于點(diǎn)E，DE垂直平分AB于點(diǎn)D．求證：BE＋DE＝AC． 證明：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE. ∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DE＝CE，∴BE＋DE＝AE＋EC＝AC. 例3 用直尺和圓規(guī)作圖:如圖，已知∠AOB和C、D兩點(diǎn)，在OB上求作一點(diǎn)P，使PC=PD.解：連接CD，作CD的垂直平分線與OB相交，交點(diǎn)即為所求.1. 如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分AC和BC，且分別交AB于M，N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)F.(1)若△CMN的周長(zhǎng)為15 cm，則AB＝________cm；(2)若∠MFN＝65°，則∠MCN＝________． 15　 50° 鞏固練習(xí)證明：∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AD是BC的垂直平分線， ∴AB＝AC.∵AB＋BD＝DE， ∴AB＋BD＝DC＋CE，∴AC＝CE， ∴點(diǎn)C在AE的垂直平分線上．2. 如圖，已知AD⊥BC，BD＝DC，AB＋BD＝DE， 求證：點(diǎn)C在AE的垂直平分線上．a(chǎn)ＡＢ3.如圖，已知直線a和直線a同側(cè)的兩點(diǎn)A、B， (1)在直線a上求作一點(diǎn)，使得PA=PB;aＡＢ (2)在直線a上求作一點(diǎn)，使得PA+PB最?。键c(diǎn)四 角的軸對(duì)稱性例1 已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：DE=DF.證明： ∵AB=AC，BD=CD， ∴ AD是∠BAC的平分線.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE=DF.考點(diǎn)分析例2 已知：如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P. 求證：點(diǎn)P在∠C的平分線上.PABDEC證明：分別過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，PM⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N.∵AD平分∠BAC，點(diǎn)P在AD上，∴PF=PN（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）.同理PF=PM.∴ PM=PN，∴點(diǎn)P在∠C的平分線上（角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）.解：當(dāng)DE⊥AB時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度最?。ǜ鶕?jù)垂線段最短），∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3，即線段DE 的長(zhǎng)度的最小值是3，1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，CD＝3，DB＝5，點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最小值為　　．3鞏固練習(xí) 2. 如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分線交AD于E，交AB于F，F(xiàn)G⊥BC于G，請(qǐng)猜測(cè)AE與FG之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由．證明：∵CF是∠ACB的平分線， ∠BAC＝90°，F(xiàn)G⊥BC，∴AF＝FG，∠AFC＝∠CED，∵∠AEF＝∠CED，∴∠AEF＝∠AFC，∴AE＝AF，∴AE＝FG，∵AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∴AE∥FG，∴AE＝FG，AE∥FG．3.已知：如圖，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，F(xiàn)、G分別是OA、OB上的點(diǎn)，且PF=PG，DF=EG.求證：OC是∠AOB的平分線.?4. 如圖，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N.求證：PM=PN.PMBCNAD?考點(diǎn)五 等腰三角形的軸對(duì)稱性例1 如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C．求證：AB＝BC．證明：如圖，連接AC.∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC. 考點(diǎn)分析例2 在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)，∠B=30°，∠DAB=45°.求證：△ADC是等腰三角形.證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°.∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.∵∠DAB=45°，∠B=30°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°.∴∠DAC=∠ADC.∴DC=AC.∴△ADC是等腰三角形.2.如圖，AOB是一鋼架，且∠AOB=10°，為使鋼架更加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添一些鋼管EF、FM、MH……，添加的 鋼管長(zhǎng)度都與OE相等，添加這樣的鋼管4根時(shí)，則∠AHB 的度數(shù)為__________.EOFHMBA10°50°1.等腰三角形一個(gè)角為36°,它的另外兩個(gè)角為____________________.72°,72°或36°,108°鞏固練習(xí)3. 在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交得的銳角為50°，則底角的大小為___________．70°或20°注意：當(dāng)題目未給定三角形的形狀時(shí)，一般需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論.4.如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N經(jīng)過點(diǎn)O，且MN∥BC，若AB＝5，△AMN的周長(zhǎng)等于12，則AC的長(zhǎng)為( )A．7 B．6 C．5 D．4解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，△AMN的周長(zhǎng)等于12，∴△AMN的周長(zhǎng)＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，∴AC＝7.A5. 已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.如圖，若AD＝AE， 求證：BD＝CE；證明：如圖①，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE.6. 如圖，在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D在AB邊上，DE∥AC交BC邊于點(diǎn)E，DF⊥AB，垂足是D，交直線BC于點(diǎn)F.求證：△DEF是等腰三角形．證明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A， ∴∠B＝∠BDE.∵FD⊥AB， ∴∠BDF＝90°，∴∠BDE＋∠EDF＝90°.∵∠B＋∠F＋∠BDF＝180°，∴∠B＋∠F＝90°， ∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF，即△DEF是等腰三角形． 7. 如圖，在△ABC中，AB=AC，角平分線BD、CE相交于點(diǎn)O. OB與OC相等嗎？請(qǐng)說明理由.?8. (1) 操作實(shí)踐：如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，請(qǐng)畫一條直線，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形.(請(qǐng)?jiān)趫D①、圖②中用兩種不同的分割方法畫出來.只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù).)解：(1) 如圖所示:45°45°22.5°22.5°①②22.5°22.5°67.5°67.5°(2) 分類探究：在△ABC中，最小內(nèi)角∠B=24°，若△ABC被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)畫出相應(yīng)示意圖并寫出最大內(nèi)角的所有可能值；BACDBACDBACDBACD24°24°24°24°78°78°39°39°24°48°48°66°66°24°48°48°84°解：(2) 如圖所示:24°(3) 猜想發(fā)現(xiàn)：若一個(gè)三角形能被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，需滿足什么條件？(請(qǐng)你至少寫出兩個(gè)條件，無需證明)解：(3) 若一個(gè)三角形能被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，需滿足的條件如下：該三角形是直角三角形；該三角形有一個(gè)角是最小角的倍；該三角形有一個(gè)角是最小角的倍．?例 如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM與△CBN都是等邊三角形．(1) 線段AN與線段BM是否相等？請(qǐng)說明理由；解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.考點(diǎn)六 等邊三角形的軸對(duì)稱性考點(diǎn)分析(2) AN與MC交于點(diǎn)E，BM與CN交于點(diǎn)F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．(2)△CEF是等邊三角形．證明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等邊三角形．1. 如圖，等邊三角形ABC的三條角平分線交于點(diǎn)O，DE∥BC，則這個(gè)圖形中的等腰三角形共有 ( )A. 4個(gè) B. 5個(gè) C. 6個(gè) D. 7個(gè)D鞏固練習(xí)2.如圖，在等邊△ABC的AC邊上取中點(diǎn)D，BC的延長(zhǎng)線取一點(diǎn)E，使CE＝CD，連接BD，DE.求證：∠ABD＝∠E. ?3.如圖，O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD.(1)求證：△COD是等邊三角形；解：(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等邊三角形.(2)當(dāng)α=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；解：(2)△AOD是直角三角形.理由:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得△BOC≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC=150°.∵△COD是等邊三角形，∴∠ODC=60°.∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形.考點(diǎn)七 直角三角形斜邊的中線性質(zhì)??考點(diǎn)分析1. 如圖所示，等腰直角三角尺ABC斜邊緊貼木板邊緣，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AB=5，則點(diǎn)O與直角頂點(diǎn)C之間的距離為_______.4鞏固練習(xí) 2. 如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，則∠COE＝　　度．?753. 如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)．求證：MN⊥BD．ABCDMN?談?wù)勀惚竟?jié)課的收獲是什么？課堂小結(jié)課程結(jié)束蘇科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)

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