勾股定理勾股定理與圖形的面積
相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？
我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦. 圖1稱為“弦圖”，最早是由三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時(shí)給出的. 　　
特別提醒1. 勾股定理揭示的是直角三角形的三邊的平方關(guān)系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.2. 利用勾股定理已知其中任意兩邊可以求出第三邊.3. 運(yùn)用勾股定理，若分不清哪條邊是斜邊時(shí)，則要分類討論，寫出所有可能，以免漏解或錯(cuò)解.
(1)觀察圖2-1 正方形A中含有 個(gè) 小方格，即A的面積 是 個(gè)單位面積.
正方形B的面積是 個(gè)單位面積.
正方形C的面積是 個(gè)單位面積.
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方． 如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊 和斜邊，那么a2＋b2＝c2.數(shù)學(xué)表達(dá)式： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b， BC＝a，則a2＋b2＝c2.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的 對邊分別是a，b，c. (1)已知a＝b＝6，求c； (2)已知c＝3，b＝2，求a； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
分清斜邊和直角邊．因?yàn)樵赗t△ABC中，a，b，c是三邊，所以可以用勾股定理解決問題．
(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6， ∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2， ∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b. 又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52， 解得b＝
利用勾股定理求直角三角形的邊長的方法：一般都要經(jīng)過“一分二代三化簡”這“三步曲”，即一分：分清哪條邊是斜邊，哪些是直角邊；二代：將已知邊長及兩邊之間的關(guān)系式代入a2＋b2＝c2（假設(shè)c是斜邊）；三化簡．
設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b， 斜邊長為c. (1)已知a=6，c=10，求b； (2)已知a=5，b=12，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.
下列說法中正確的是(　　)A．已知a，b，c是三角形的三邊長，則a2＋b2＝c2B．在直角三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的 平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2＋b2＝c2
3 若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長分別為a，b， 斜邊長為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的是(　　) A．b2＝c2－a2 B．a(chǎn)2＝c2－b2 C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
在一張紙上畫4個(gè)與圖所示的全等的直角三邊形，并把它們剪下來．如圖所示，用這四個(gè)直角三角形進(jìn)行拼擺，將得到一個(gè)以a+b為邊長的大正方形和以直角形斜邊c為邊長的小正方形．
觀察圖形，容易得到大正方形的邊長為 a+b，所以大正方形的面積是(a+b)2．又因?yàn)榇笳叫问怯?個(gè)全等的直角三角形和中間的正方形拼成的，所以大正方形的面積又可表示成 ab×4+c2． 因此有(a+b)2= ab×4+c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c為邊的直角三角形滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
觀察如圖所示的圖形，回答問題： (1)如圖①，△DEF為直角三角形，正方形 P的面積 為9，正方形Q的面積為 15，則正方形M的面積 為________； (2)如圖②，分別以直角 三角形ABC的三邊長為直徑向三角形外作三個(gè)半圓， 則這三個(gè)半圓形的面積之間的關(guān)系式是________； (用圖中字母表示) (3)如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長分別為3和 4，分別以直角三角形的三邊長為直徑作半圓，請你 利用(2)中得出的結(jié)論求陰影部分的面積．
(1)根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理可得 DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面積＝9＋15＝24；(2) 另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；(3)陰影部分的面積＝兩個(gè)小半圓形的面積和＋直角三角 形的面積－大半圓形的面積，由(2)可知兩個(gè)小半圓形 的面積和＝大半圓形的面積，所以陰影部分的面積＝ 直角三角形的面積．
(1)24　(2)S1＋S2＝S3(3)設(shè)兩個(gè)小半圓形的面積分別為S1，S2，大半圓 形的面積為S3，三角形的面積為S△， 則S陰影＝S1＋S2＋S△－S3 ＝S△＝ ×3×4＝6.
與直角三角形三邊相連的正方形、半圓及正多邊形、圓都具有相同的結(jié)論：兩直角邊上圖形面積的和等于斜邊上的圖形面積．本例考查了勾股定理及正方形的面積公式，半圓形面積的求法，解答此類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察所給圖形，面積與邊長、直徑有平方關(guān)系，就很容易聯(lián)想到勾股定理．
1 如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊 形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的邊長分 別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.
SE＝(122＋162)＋(92＋122) ＝400＋225 ＝625.
2 (中考·株洲)如圖，以直角三角形的三邊a，b， c為邊或直徑，分別向外作等邊三角形，半圓，等腰 直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足 S1＋S2＝S3的圖形個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4

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初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級上冊電子課本 舊教材

3.1 勾股定理

版本： 蘇科版

年級： 八年級上冊

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