1. 探究并證明勾股定理逆定理，體會(huì)“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系；
2. 會(huì)應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形；
3. 知道“勾股數(shù)”的意義.
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
如果一個(gè)三角形的兩邊平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？
活動(dòng)一 畫(huà)出邊長(zhǎng)分別是下列各組數(shù)的三角形（單位：厘米）.
(2) a=5，b=12，c=13；
(3) a=8，b=15，c=17.
(1) a=3，b=4，c=5；
判斷一下上述你所畫(huà)的三角形的形狀．你有什么發(fā)現(xiàn)？
思考1 這三組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點(diǎn)？
思考2 根據(jù)上述結(jié)論你有什么猜想呢？
猜想：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.
已知：在△ABC中，AB=c , BC=a, CA=b, 且a2+b2=c2.
求證：△ ABC是直角三角形.
證明：畫(huà)一個(gè)△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a， A′C′=b（如圖）.
由勾股定理，可得 A′B′ 2= a2+b2.
因?yàn)?AB2= a2+b2，
根據(jù)“SSS”，可證△ABC ≌△A′ B′ C′ .
于是，∠C=∠C′=90°，△ABC是直角三角形.
如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.
∵a2+b2=c2，∴△ABC為直角三角形.
作用：判定一個(gè)三角形是否是直角三角形.
這個(gè)結(jié)論與勾股定理有什么關(guān)系呢？
最長(zhǎng)邊所對(duì)應(yīng)的角為直角，∠C=90°.
勾股定理與其逆定理對(duì)比：
在Rt△ABC中，∠C=90°
a2 + b2 = c2
“直角三角形”為條件，數(shù)量關(guān)系a2 + b2 = c2為結(jié)論. 是直角三角形的性質(zhì).
都與直角三角形有關(guān)，都與三邊數(shù)量關(guān)系a2 + b2 = c2有關(guān)
在△ABC中，a2 + b2 = c2
數(shù)量關(guān)系a2 + b2 = c2為條件，“直角三角形”為結(jié)論. 是直角三角形的判定.
(1) a=8，b=15，c=17；
(2) a=13，b=14，c=15.
下面以a、b、c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？若是，請(qǐng)指出哪個(gè)角是直角.
解：(1) ∵82＋152＝64＋225＝289，172＝289，∴ 82＋152＝172.∴根據(jù)勾股定理的逆定理得這個(gè)三角形是直角三角形，∠C是直角.
(2) ∵132＋142＝365，152＝225，∴ 132＋142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴ 這個(gè)三角形不是直角三角形.
(1) a=7，b=25，c=24；
判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形，若是，請(qǐng)指出哪個(gè)角是直角.
(2) a:b:c=3:4:5.
解：(1) ∵72＋242＝49＋576＝625，252＝625，∴ 72＋242＝252.∴根據(jù)勾股定理的逆定理得這個(gè)三角形是直角三角形，∠B是直角.
(2)設(shè)a=3k、b=4k、c=5k，∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，∴(3k)2+(4k)2=(5k)2，根據(jù)勾股定理的逆定理得這個(gè)三角形是直角三角形，∠C是直角.
運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷直角三角形的一般步驟：1.找：確定三角形的最長(zhǎng)邊; 2.算：分別計(jì)算出最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和; 3.比：通過(guò)比較來(lái)判斷最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和是否相等; 4.判：作出結(jié)論，若相等，則說(shuō)明這個(gè)三角形是直角三角形，否則不 是直角三角形.
例1 像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等滿(mǎn)足a2＋b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，通常稱(chēng)為勾股數(shù)，請(qǐng)你填表并探索規(guī)律．
①?gòu)纳厦?個(gè)表中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？②你能根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出更多的勾股數(shù)嗎？試試看 ．
解：①規(guī)律：一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)n(n為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).
②答案不唯一，如：15，20，25；13，84，85等．
利用勾股數(shù)可以構(gòu)造直角三角形.
美國(guó)哥倫比亞大學(xué)圖書(shū)館收藏著一塊編號(hào)為“普林頓322”(plimptn322)的古巴比倫泥板. 泥板上的一些神秘符號(hào)揭示了什么奧秘呢？
經(jīng)過(guò)專(zhuān)家的潛心研究，發(fā)現(xiàn)其中兩列數(shù)字竟然是直角三角形的勾和弦的長(zhǎng)，只要再添加一列數(shù)(如圖左邊的一列)，那么每行的三個(gè)數(shù)就是一個(gè)直角三角形三邊的邊長(zhǎng)．這些數(shù)組都是勾股數(shù)組. 人們經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：勾股數(shù)有無(wú)數(shù)多組.
例2 如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格. (1) 你能判斷AD與CD的位置關(guān)系嗎？說(shuō)出你的理由. (2) 求四邊形ABCD的面積.
∵ AD2=1+4=5，CD2=4+16=20 ，AC= 5
∴ AD2+CD2＝25，AC2＝25
∴ AD2+CD2＝AC2
∴ 由勾股定理的逆定理得：∠CAD＝90°. ∴ AD⊥CD
(2) S四邊形ABCD=S△ADC+S△ABC
1. 下列是直角三角形的有（?? ? ）個(gè)①△ABC中a2=c2-b2；②△ABC的三內(nèi)角之比為3：4：7；③ △ABC的三邊平方之比為1：2：3；④ 三角形三邊之比為3：4：5 A．１　 B．2　　 C．3　　 D．4
用角判斷： 1.兩個(gè)銳角互余 的三角形是直角三角形； 2.有一個(gè)角是90°的三角形是直角三角形； 用邊判斷：如果已知條件與邊有關(guān)，則可通過(guò)勾股定理的逆定理(a2+b2=c2)進(jìn)行判斷.
判斷三角形是直角三角形的方法：
判斷三個(gè)數(shù)是不是勾股數(shù)的“三步法”:(1)判斷三個(gè)數(shù)是否都為正整數(shù);(2)確定最大數(shù);(3)計(jì)算較小兩數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方.
3. △ABC的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1．問(wèn)：△ABC是直角三角形嗎？證明你的結(jié)論.
解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2 =n4 -2n2+1+4n2 =n4 +2n2+1 =(n2+1)2 =AC2，∴ 由勾股定理的逆定理得△ABC直角三角形，邊AC所對(duì)的角是直角.
4.如圖，AD⊥BC，垂足為D. 如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°.∴ 在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2=22+12=5. 在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=22+42=20.∵AC2+AB2=20+5=25，BC2=52=25.∴AC2+AB2=BC2.∴△ABC直角三角形，∠BAC=90°.
判定一個(gè)三角形為直角三角形
滿(mǎn)足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)
注意：最長(zhǎng)邊不一定是c， ∠C也不一定是直角.
1.下列各數(shù)組中，不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（　 ） A．3，4，5 　 B．10，6，8 C．4，5，6 　 D．12，13，5
2.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是 （　 ） A. 6，8，10 B. 7，8，9C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
4.如圖所示正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方的格邊長(zhǎng)為1，則△ABC的形狀為 （　?。〢. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D. 以上答案都不對(duì)
5. △ABC的三邊分別是a、b、c且滿(mǎn)足|a-8 |+(b-6)2=0，則當(dāng)c2=_______時(shí)，△ABC是直角三角形.
4．若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)滿(mǎn)足a2－b2＝c2，則這個(gè)三角形一定是 ________三角形．
∴ 根據(jù)勾股定理的逆定理得該三角形是直角三角形.
∵152+82＝289，
6．若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為8 cm，15 cm，17 cm，求該三角形的面積及最長(zhǎng)邊上的高．
7. 在△ABC中，D為BC邊上的點(diǎn).已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的長(zhǎng).
解：∵AB=13，AD=12，BD=5，∴ AB2=AD2+BD2.∴ 由勾股定理的逆定理得：△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°.∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2. ∵AD=12，AC=15,∴DC2=AC2-AD2=152-122=92.∴ DC=9.
8．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出：(1)當(dāng)a＝19時(shí)，b＝________，c＝________； (2)當(dāng)a＝2n＋1時(shí)，求b，c的值；
解：通過(guò)觀察知c－b＝1，∵(2n＋1)2＋b2＝c2，∴c2－b2＝(2n＋1)2，(b＋c)(c－b)＝(2n＋1)2，∴b＋c＝(2n＋1)2.又∵c＝b＋1， ∴2b＋1＝(2n＋1)2，∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1.
(3)用(2)的結(jié)論判斷15，111，112是否為一組勾股數(shù)，并說(shuō)明理由．
解：不是．理由如下：由(2)知，2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1為一組勾股數(shù)，當(dāng)n＝7時(shí)，2n＋1＝15，112－111＝1，但2n2＋2n＝112≠111，∴15，111，112不是一組勾股數(shù)．

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3.2 勾股定理的逆定理

版本： 蘇科版（2024）

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