1. 能應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；
2. 感受“轉(zhuǎn)化”“建?！钡臄?shù)學(xué)思想，提高分析問題、解決問題的能力.
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ a2 + b2 = c2.
在△ABC中，a2 + b2 = c2，
∴△ABC為直角三角形，∠C=90°.
如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.
直角三角形兩直角邊分別為a、b的平方和等于斜邊c的平方.
從遠(yuǎn)處看斜拉橋，可以發(fā)現(xiàn)有許多直角三角形.
已知橋面上以上的索塔AB的高，怎樣計(jì)算拉索AC、AD、AE、AF、AG的長(zhǎng)？
例1 九章算術(shù)中的“折竹”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？
解：如圖，竹子在點(diǎn)AC處折斷，竹梢點(diǎn)B著地，△ABC是直角三角形．設(shè)OA＝x尺，則AB＝(10－x)尺．
由勾股定理，得，∴OA2＋OB2＝AB2，∴x2＋32＝(10－x)2．∴OA＝x=4.55(尺)
3.用勾股定理列出方程
∴折斷處離地面4.55尺.
例2 如圖, 在△ABC中, AB＝26, BC＝20, BC邊上的中線AD＝24, 求AC.
∵AD2＋BD2＝576＋100＝676， AB 2＝262＝676，
∴AD2＋BD2＝AB2，∴ ∠ADB＝90°，AD垂直平分BC．∴AC＝AB＝26.
還有其他方法求AC嗎？
能求出△ABC的周長(zhǎng)和面積嗎?
變式 如圖，在△ABC中，AB＝AC=26，BC＝20，求?BC邊上的高；
提示：作AD⊥BC，垂足為D.
1. 計(jì)算圖中四邊形ABCD的面積.
解：在Rt△ADB中，由勾股定理得：
BD2=AD2+AB2=122+162=400 ，∴BD=20，
∵CD2＝152=225，
∴ CD2+BD2＝BC2.
∴ 由勾股定理的逆定理得：∠BDC＝90°. ∴ BD⊥CD
S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC
BC2＝252=625，
2. 一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)的比為3:4:5，它的周長(zhǎng)是60cm. 求這個(gè)三角形的面積.
例3 如圖，四邊形ABCD是學(xué)校的一塊空地，經(jīng)數(shù)學(xué)興趣小組的測(cè)量可知，∠B=90°，BC=3米，AB=4米，CD=13米，AD=12米．為了提高校園的綠化面積，現(xiàn)學(xué)校決定在空地內(nèi)鋪草坪，若鋪設(shè)每平方米草坪需要30元，則將這塊空地全部鋪滿一層草坪的費(fèi)用是多少？
例4 如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE，若已知AC=10cm，BC=6cm，你能求出CE的長(zhǎng)嗎？
關(guān)于折疊問題，要緊扣折疊前后的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等.
解：如圖，連接BE.∵A與B折疊后重合，∴直線DE是線段AB的垂直平分線.∴BE=AE.設(shè)CE=x，則BE=AE=10-x，在Rt△EBC中，由勾股定理得： BE2＝CE2＋BC2，∴(10-x)2＝x2＋62，x=3.2.∴CE=3.2cm.
1. 有一塊空白地，如圖，∠ADC=90°，CD=6 m，AD=8 m，AB=26 m，BC=24 m．試求這塊空白地的面積．
解：連接AC.在Rt△ADC中，
∵AC2=AD2+CD2（勾股定理） =82+62=100，
∵AC2+BC2=102+242=676=262=AB2，
∴△ACB為直角三角形(勾股定理的逆定理).
∴S空白部分=S△ACB-S△ACD
2. 如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將三角形紙片沿直線AD折疊，使點(diǎn)B落在AC上，與點(diǎn)E重合，求DE的長(zhǎng)度.
勾股定理與它的逆定理在應(yīng)用上有什么區(qū)別？
勾股定理主要應(yīng)用于求線段的長(zhǎng)度、圖形的周長(zhǎng)、面積； 　
勾股定理的逆定理用于判斷三角形的形狀．
勾股定理的前提必須是直角三角形;
求三角形的邊長(zhǎng)、求圖形的面積等
求長(zhǎng)度、距離、寬度、高度等
關(guān)鍵：構(gòu)造直角三角形
1.如圖，將一根長(zhǎng)13厘米的筷子置于底面直徑為6厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度至少為（　?。├迕祝? A．1 B．2 C．3 D．4
2.如圖，由于臺(tái)風(fēng)影響，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹干底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是　　　　米.?
3.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問：水深，葭長(zhǎng)各幾何.”意思是：如示意圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為1丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度和蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？備注：1丈=10尺.設(shè)蘆葦長(zhǎng)x尺，則可列方程__________________.
(x-1)2+52=x2
4.如圖，有兩棵樹，一棵高8m，另一棵高2m，兩樹相距8m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了________m.
5.某八（2）班的學(xué)生想知道學(xué)校旗桿的高度，如圖（1），他們發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1米，如圖（2），當(dāng)他們把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你們知道，他們是用什么方法求出旗桿的高度和繩子的長(zhǎng)度的嗎？
6. 用一張長(zhǎng)方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知紙片寬AB＝8cm，長(zhǎng)BC＝10cm，折疊時(shí)，頂點(diǎn)D落在BC邊上點(diǎn)F處，想一想此時(shí)EC有多長(zhǎng)？
7. 如圖，一架竹梯長(zhǎng)13 m，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻5 m.(1)求這個(gè)梯子頂端距地面的高度；(2)如果梯子的頂端下滑7 m，那么梯子的底部在水平方向也滑動(dòng)了7 m嗎？為什么？
解：(1)∵AO⊥BO，AB＝13 m，OB＝5 m，∴AO＝12 m，即梯子頂端距地面的高度為12 m. (2)梯子底部在水平方向也滑動(dòng)了7 m．理由如下：∵AC＝7 m，∴OC＝AO－AC＝5 m．又CD＝AB＝13 m，∴OD＝12 m，∴BD＝OD－OB＝12－5＝7(cm)，∴梯子的底部在水平方向也滑動(dòng)了7 m.
8. 如圖，甲、乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以16海里/時(shí)的速度向南偏東40°的方向航行，乙船以12海里/時(shí)的速度向另一方向航行，3小時(shí)后，甲船到達(dá)B島，乙船到達(dá)C島,若B,C兩島相距60海里，通過計(jì)算說明乙船航行的方向.
解：如圖，由已知可得AB=16×3=48(海里)，AC=12×3=36(海里)，BC=60海里.∵482+362=602,∴AB2+AC2=BC2.∴△ABC為直角三角形,且∠BAC=90°.∵∠EAB=40°,∴∠FAC=180°-40°-90°=50°.∴乙船是沿北偏東50°方向航行的.
1.如圖，圓柱形無(wú)蓋玻璃容器，高18cm，底面周長(zhǎng)為60cm，在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口1cm的F處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長(zhǎng)度.
兩點(diǎn)的距離最短問題—轉(zhuǎn)化成平面展開圖中兩點(diǎn)之間的連線段最短.
變式1 如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是3，高是8的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱表面爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是多少？
解：如圖①，AB2=AC2+BC2=32+(3+8)2=130.如圖②，AB2=AC2+BC2=62+82=100.∵130>100，∴AB=10.答：它所行的最短路線的長(zhǎng)是10.
變式2 如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為4 cm，寬為2 cm，高為5 cm. 若一只螞蟻從點(diǎn)P開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)Q，求螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng).
解:將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開如圖所示:∵長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為4 cm,寬為2 cm,高為5 cm,∴PA=4+2+4+2=12(cm),QA=5 cm.∴PQ2=PA2+AQ2=169.∴PQ=13(cm).答:螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為13 cm.
變式3 如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為2m、0.3m、0.2m，A和B是臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，問螞蟻沿著臺(tái)階爬行到B點(diǎn)的最短路程是多少？
(0.2×3＋0.3×3)m
2.做一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為50厘米、40厘米、30厘米的木箱，一根長(zhǎng)為70厘米的木棒能否放入，為什么？試用今天學(xué)過的知識(shí)說明．

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3.3 勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

版本： 蘇科版（2024）

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