我們知道,角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,反過來,到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在這個(gè)角的平分線上呢?這節(jié)課我們來對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行探究.
學(xué)習(xí)目標(biāo): 1.能說出角平分線的性質(zhì)的逆定理,并能給 予證明. 2.能夠熟練地運(yùn)用角平分線的性質(zhì)的逆定理 解決一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.
  如圖,要在S 區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng),使它到公路、鐵路的距離相等,并且離公路和鐵路的交叉處500 m. 這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處(在圖上標(biāo)出它的位置,比例尺為1:20 000)?
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
  交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論,你能得到什么結(jié)論,這個(gè)新結(jié)論正確嗎?
角平分線的性質(zhì)定理的逆定理的證明
∵PD⊥OA,PE⊥OB, PD = PE,∴點(diǎn) P 在∠AOB的平分線上(OP 平分 ∠AOB).
你能證明這個(gè)結(jié)論的正確性嗎?
這個(gè)結(jié)論可以用來判定角的平分線,而角的平分線的性質(zhì)可用來證明線段相等.
  這個(gè)結(jié)論與角的平分線的性質(zhì)在應(yīng)用上有 什么不同?
角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理,揭示了“角相等”和“線段相等”之間的一種特殊關(guān)系.
角平分線性質(zhì)定理的逆定理
這為今后我們證明角相等,線段相等提供了一種解題思路.
角平分線的性質(zhì)定理的逆定理的應(yīng)用
例 如圖,△ABC 的角平分線 BM,CN 相交于點(diǎn) P.求證:點(diǎn) P 到三邊 AB,BC,CA 的距離相等.
證明:過P 點(diǎn)作 PD,PE,PF分別垂直于 AB,BC,CA,垂足分別為 D,E,F(xiàn).∵BM 是△ABC的角平分線,點(diǎn)P 在BM 上,∴PD = PE .同理 PE = PF .∴ PD = PE = PF .即點(diǎn)P 到三邊AB,BC,CA 的距離相等.
練習(xí)1 判斷題:(1)如圖,若QM =QN,則OQ 平分∠AOB;( )
判斷題:(2)如圖,若QM⊥OA 于M,QN⊥OB 于N,則OQ是∠AOB 的平分線; ( )
判斷題:(3)已知:Q 到OA 的距離等于2 cm, 且Q 到OB 距離等于2 cm,則Q 在∠AOB 的平分線上.( )
∴圖上距離 = 0.025m = 2.5cm.
如圖所示:P點(diǎn)即為所求 ;理由:P點(diǎn)在這個(gè)交叉口的角平分線上,所以P點(diǎn)到公路與鐵路的距離相等.
作其中任意兩角的平分線,交點(diǎn)即為所要找的點(diǎn).
練習(xí)2 要在三角形的內(nèi)部找到一點(diǎn),使這一點(diǎn)到三角形的三邊的距離都相等,這個(gè)點(diǎn)應(yīng)如何確定?
練習(xí)3 如圖,△ABC 的∠ABC 的外角的平分線 BD 與∠ACB 的外角的平分線 CE 相交于點(diǎn) P . 求證:點(diǎn) P 到三邊 AB,BC,CA 所在直線的距離相等.
【課本P50 練習(xí) 第2題】
證明:過P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N,PQ⊥AB于Q.∵CE為∠MCN的平分線,∴PM = PN,同理PN = PQ,∴點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等.
1. 如圖所示,表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有( )A.1處B.2處C.3處D.4處
2.如圖,點(diǎn)P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分線的交點(diǎn),求證:AP平分∠BAC.
證明:作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分別為Q,M,N.∵P點(diǎn)在∠CBE和∠BCF的平分線上,∴PM = PQ,PN = PQ,∴PM = PN.
又PM⊥AE,PN⊥AF, ∴ AP平分∠BAC.
3.如圖,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E、F.連接EF,EF與AD交于G,AD 垂直平分EF嗎?證明你的結(jié)論.
解:AD垂直平分EF .證明如下:∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠1=∠2,∠AED =∠AFD =90°,DE = DF.∴△AED≌△AFD(AAS).
∴AE = AF,在△AEG和△AFG中,∴△AEG≌△AFG(SAS).∴∠AGE =∠AGF=90°,EG = FG.∴AD⊥EF.∴AD垂直平分EF.
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
1.從課后習(xí)題中選取;2.完成練習(xí)冊(cè)本課時(shí)的習(xí)題。

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12.3 角的平分線的性質(zhì)

版本: 人教版(2024)

年級(jí): 八年級(jí)上冊(cè)

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