如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形， 為了美觀，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量．你能幫工作人員想個辦法嗎？
　 （1）如果用直尺和量角器兩種工具，你能解決這個問題嗎？
　 （2）如果只用直尺，你能解決這個問題嗎？
學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1．探究直角三角形全等的判定方法. 2．能運(yùn)用三角形全等的判定方法判斷兩個直角 三角形全等.
任意畫一個Rt△ABC，使∠C =90°. 再畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB .然后把畫好的Rt△A′B′C′剪下來放到Rt△ABC上，你發(fā)現(xiàn)了什么？
探索“HL”判定方法
（1） 畫∠MC′N =90°；（2）在射線C′M上取B′C′=BC；（3） 以B′為圓心，AB為半徑畫弧， 交射線C′N于點(diǎn)A′；（4）連接A′B′．
現(xiàn)象：兩個直角三角形能重合．說明：這兩個直角三角形全等．
歸納概括“HL”判定方法
　　斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫為“斜邊、直角邊”或“HL”）．
幾何語言：∵　在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， 　 AB =A′B′， BC =B′C′(或AC=A′C′)，∴　Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′（HL）．
證明：∵　AC⊥BC，BD⊥AD，∴　∠C 和∠D 都是直角．在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， AB = BA， AC = BD，∴　Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）．∴　BC =AD（全等三角形對應(yīng)邊相等）．
例1　如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC =BD．求證 BC =AD．
“HL”判定方法的運(yùn)用
變式1　如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，要明證△ABC ≌△BAD，需要添加一個什么條件？請說明理由．（1） （ ）；（2） （ ）；（3） （ ）；（4） （ ）．
∠DAB = ∠CBA
∠DBA = ∠CAB
例2　如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC 與右邊滑梯水平方向的長度DF 相等，兩個滑梯的傾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么關(guān)系？為什么？
∠ABC +∠DFE = 90°
證明：∵AC⊥AB，DE⊥DF，∴∠CAB =∠FDE =90°．在Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）．　　　
證明：∴∠ABC =∠DEF （全等三角形對應(yīng)角相等）．∵ ∠DEF +∠DFE =90°， ∴ ∠ABC +∠DFE =90°．
　　練習(xí)1　如圖，C 是路段AB 的中點(diǎn)，兩人從C 同時出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達(dá)D，E 兩地．DA⊥AB，EB⊥AB．D，E 與路段AB的距離相等嗎？為什么？
【課本P43 練習(xí) 第1題】
解：D、E與路段AB的距離相等.理由：∵C是路段AB的中點(diǎn)，∴AC = BC，又∵兩人同時同速度出發(fā)，并同時到達(dá)D，E兩地.∴CD = CE，
又DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B =90°，在Rt△ACD與Rt△BCE中，∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL).∴DA = EB，即D、E與路段AB的距離相等.
練習(xí)2　如圖，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，CE = BF．求證：AE = DF．
【課本P43 練習(xí) 第2題】
證明：∵CE = BF，∴CE - EF = BF–EF，即CF = BE.又∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC =∠AEB =90°.
在Rt△DFC與Rt△AEB中，∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL).∴AE = DF.
練習(xí)3　如圖，B、E、F、C 在同一直線上，AF⊥BC 于F，DE⊥BC與E，AB = DC，BE = CF，你認(rèn)為 AB 平行于 CD 嗎？說說你的理由.
解：平行.理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC，∴∠AFB 和∠DEC 都是直角，又 BE = CF，∴BE+EF=CF+EF，即 BF = CE.
在 Rt△ABF 和 Rt△DCE 中，AB=CD，BF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，∴∠B =∠C，AB∥CD.
1. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C′=∠C=90°，∠B′=∠A，AB = B′A′，則下列結(jié)論正確的是（ ）A.AC = A′C′B.BC = B′C′C.AC = B′C′D.∠A′=∠A
2.如圖，∠DCE = 90°，CD = CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分別為A、B，試說明AD + AB = BE.
解：∵AD⊥AC，BE⊥AC，∴∠A =∠CBE =90°，∴∠D +∠ACD =90°.又∵∠DCE = 90°，∴∠ACD +∠BCE = 90°，∴∠D =∠BCE.
在△ACD和△BEC中，∴△ACD≌△BEC(AAS).∴AD = BC，AC = BE，∴AD+AB = BC+AB = AC = BE.
3.如圖，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB=AC，EF是過點(diǎn)A的直線，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，試探求線段BE、CF、EF之間的關(guān)系，并加以證明.
解：BE + CF = EF，證明如下：∵BE⊥EF，CF⊥EF，∴∠BEA =∠AFC =90°.又∠BAC = 90°，∴∠EAB +∠CAF =180°-∠BAC = 90°，
∴∠EAB =∠FCA，在△ABE和△CAF中，∴△ABE≌△CAF(AAS).∴BE = AF，AE = CF，∴BE+CF = AF+AE = EF.

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級上冊電子課本

12.2 三角形全等的判定

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