專題8.2 圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積  TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"   HYPERLINK \l "_Toc9733" 【考點(diǎn)1：圓柱的表面積與體積】  PAGEREF _Toc9733 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc17982" 【考點(diǎn)2：圓錐的表面積與體積】  PAGEREF _Toc17982 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc1313" 【考點(diǎn)3：圓臺的表面積與體積】  PAGEREF _Toc1313 \h 10  【基礎(chǔ)知識】 1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積間的關(guān)系：S圓柱側(cè)＝2πrleq \o(――→,\s\up7(r′＝r))S圓臺側(cè)＝π(r＋r′)leq \o(――→,\s\up7(r′＝0))S圓錐側(cè)＝πrl. 2．空間幾何體的表面積與體積公式 [方法技巧]　求空間幾何體表面積的常見類型及思路 [方法技巧]　求空間幾何體體積的常見類型及思路 【考點(diǎn)1：圓柱的表面積與體積】 【知識點(diǎn)：圓柱的表面積與體積】 1．（2024·陜西銅川·二模）已知一個圓柱的高不變，它的體積擴(kuò)大為原來的倍，則它的側(cè)面積擴(kuò)大為原來的（????） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】根據(jù)圓柱體積公式可求得，代入圓柱側(cè)面積公式即可求得結(jié)果. 【詳解】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，則其體積，側(cè)面積為； 設(shè)體積擴(kuò)大倍后的底面半徑為，則，， 其側(cè)面積變?yōu)?，，即?cè)面積擴(kuò)大為原來的倍. 故選：B. 2．（23-24高一下·全國·期末）若甲、乙兩個圓柱的體積相等，底面積分別為和，側(cè)面積分別為和.若，則（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】設(shè)甲圓柱底面圓半徑為，高為，乙圓柱底面圓半徑為，高為，由等面積之比得到，再由體積相同得到，最后由側(cè)面積公式計(jì)算可得. 【詳解】設(shè)甲圓柱底面圓半徑為，高為，乙圓柱底面圓半徑為，高為， 則，∴. 又，則， ∴. 故選：B. 3．（23-24高二上·浙江麗水·期末）如圖，將一個圓柱等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，n越大，組合成的新幾何體就越接近一個“長方體”.若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積是（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高分析可得新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加的為軸截面的面積，由此可得，由圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算可得答案. 【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓柱的底面半徑為，高，其軸截面的面積為， 新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加的為軸截面的面積， 若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了，即， 所以圓柱的側(cè)面積為. 故選：A. 4．（2024·山東·二模）已知圓柱的底面半徑為4，側(cè)面面積為，則該圓柱的母線長等于 ． 【答案】2 【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式求解即可. 【詳解】由題意可知圓柱的底面周長， 所以根據(jù)圓柱的側(cè)面面積公式可知，該圓柱的母線長， 故答案為： 5．（23-24高一上·廣西賀州·期末）已知矩形的周長為，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大為 (結(jié)果保留)； 【答案】 【分析】結(jié)合已知條件首先表示出圓柱的側(cè)面積，再利用均值不等式求解即可. 【詳解】不妨設(shè)矩形的一條邊為，則矩形的另一條邊為， 則旋轉(zhuǎn)后的圓柱的底面圓半徑為，高為， 從而圓柱的側(cè)面積為， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，圓柱的側(cè)面積取得最大值. 故答案為：. 6．（2024高三下·貴州貴陽·階段練習(xí)）某學(xué)生到某工廠進(jìn)行勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為一個大圓柱中挖去一個小圓柱后的剩余部分（兩個圓柱底面圓的圓心重合），大圓柱的軸截面是邊長為40cm的正方形，小圓柱的側(cè)面積是大圓柱側(cè)面積的一半，打印所用原料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為 g．（取） 【答案】36000 【分析】利用小圓柱的側(cè)面積是大圓柱側(cè)面積的一半,建立等式,求出小圓柱底面圓，借助該模型體積為大圓柱體積減去小圓柱體積，進(jìn)而求解. 【詳解】根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，設(shè)小圓柱的底面圓的半徑為， 則有，即，解得， 所以該模型的體積為， 所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為. 故答案為：36000. 7．（2024高二上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）定義如圖所示的幾何體為斜截圓柱（由不平行圓柱底面的平面截圓柱得到），已知斜截圓柱底面的直徑為，母線長最短為、最長為，則斜截圓柱側(cè)面展開圖的面積 ． ?? 【答案】 【分析】將兩個相同的斜截圓柱拼接成圓柱，則圓柱的高為，底面半徑為，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式可求得斜截圓柱的側(cè)面積. 【詳解】如下圖所示： ???? 將兩個相同的斜截圓柱拼接成圓柱，則圓柱的高為，底面半徑為， 因此，斜截圓柱的側(cè)面積為. 故答案為：. 8．（23-24高一下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）如圖所示，從底面半徑為，高為的圓柱中，挖去一個底面半徑為且與圓柱等高的圓柱，求原圓柱的表面積與挖去圓柱后的幾何體的表面積的比值. ?? 【答案】 【分析】 利用圓柱表面積公式求出兩個幾何體的表面積，作比即可解答. 【詳解】由題意，知原圓柱的表面積 ， 挖去圓柱后所得幾何體的表面積 ， 所以. 【考點(diǎn)2：圓錐的表面積與體積】 【知識點(diǎn)：圓錐的表面積與體積】 1．（2024·云南貴州·二模）底面積是，側(cè)面積是的圓錐的體積是（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用圓錐的側(cè)面積公式求出母線長，進(jìn)而求出高，再利用圓錐的體積公式求解． 【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，高為，半徑為， 則且，故 ， 圓錐的體積為． 故選：D． 2．（23-24高一下·浙江金華·期中）側(cè)面積為的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面半徑為（????） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式及圓的面積求解. 【詳解】設(shè)底面半徑為，母線長為， 則，解得， 又，解得， 故選：D 3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知圓錐的母線長為，為底面的圓心，其側(cè)面積等于，則該圓錐的體積為（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積等于，可求得圓錐的底面圓半徑為，再由體積公式求解即可. 【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，由母線長為2，側(cè)面積等于， 得，解得， 因此圓錐的高， 所以該圓錐的體積為． 故選：C． 4．（23-24高三上·湖南·階段練習(xí)）已知圓錐的體積為，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則此圓錐的側(cè)面積為（　?。?A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)展開圖為半圓求出母線與底面圓半徑的關(guān)系，再由體積公式求出底面圓半徑，即可由側(cè)面積公式得解. 【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐的母線長為， 由，得，所以圓錐的高為， 所以圓錐的體積為．解得 又， 故選：C． 5．（23-24高二下·廣東揭陽·階段練習(xí)）如圖，為圓錐面圓的一條直徑，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)沿將圓錐的側(cè)面展開，所得的平面圖形中為直角三角形，若．則圓錐的表面積為（????） ?? A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出展開圖，結(jié)合題意可得為等邊三角形，從而可求出，圓錐的側(cè)面積、圓錐的底面積，即可得答案. 【詳解】解：如圖所示，作出展開圖，可得，為銳角，故， ?? 由，可得，即為等邊三角形，所以， 則圓錐的側(cè)面積為，， 又因?yàn)椋?，所以底面積， 所以圓錐的表面積為． 故選：B． 6．（多選）（23-24高二下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動，當(dāng)這個圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動了3周，則（???） ?? A．圓錐的母線長為3 B．圓錐的表面積為 C．圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為 D．若一螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A，則爬行的最短距離為 【答案】BD 【分析】由題意可求出圓錐的母線長判斷A；由此可求得圓錐的表面積判斷B；由側(cè)面展開圖扇形的形狀可判斷C；由側(cè)面展開圖的扇形求最短距離判斷D. 【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，則以S為圓心，SA為半徑的圓的面積為，圓錐的側(cè)面積， 因?yàn)閳A錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)到原位置時(shí)，圓錐本身滾動了3周， 所以圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，故C錯誤； ，解得，所以圓錐的母線長為9，故A錯誤； 圓錐的表面積，故B正確； 如圖為圓錐沿SA的側(cè)面展開圖，連接，則為等腰三角形， 所以螞蟻爬行的最短距離為，故D正確. ?? 故選：BD. 7．（2024·上海長寧·二模）用鐵皮制作一個有底無蓋的圓柱形容器，若該容器的容積為立方米，則至少需要 平方米鐵皮 【答案】 【分析】由柱體的體積公式可得，再求出圓柱形容器的表面積，由基本不等式求解即可. 【詳解】設(shè)圓柱形容器的底面半徑為，高為， 所以圓柱形容器的體積為，所以， 所以圓柱形容器的表面積為：, 當(dāng)且僅當(dāng)，又，即時(shí)等號成立， 故至少需要平方米鐵皮. 故答案為：. 8．（23-24高三下·上海浦東新·期中）如圖，有一底面半徑為1，高為3的圓柱.光源點(diǎn)沿著上底面圓周作勻速運(yùn)動，射出的光線始終經(jīng)過圓柱軸截面的中心.當(dāng)光源點(diǎn)沿著上底面圓周運(yùn)動半周時(shí)，其射出的光線在圓柱內(nèi)部“掃過”的面積為 . ?? 【答案】 【分析】由已知得射出的光線在圓柱內(nèi)部“掃過”的面積是以為頂點(diǎn)，以圓柱的底面為底面的圓錐的半個側(cè)面積，求該圓錐的側(cè)面積即可. 【詳解】由已知得射出的光線在圓柱內(nèi)部“掃過”的面積是以為頂點(diǎn)，以圓柱的底面為底面的圓錐的半個側(cè)面積，共兩個， 所以面積為. 故答案為：. ??. 【考點(diǎn)3：圓臺的表面積與體積】 【知識點(diǎn)：棱臺的表面積與體積】 1．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）一個圓臺的上、下底面的半徑分別為1和4，體積為，則它的表面積為（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圓臺的體積公式求得高，再利用圓臺的表面積公式即可得解. 【詳解】依題意，設(shè)圓臺的高為，則，解得， 所以圓臺的母線長為， 則圓臺的表面積為. 故選：B． 2．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）設(shè)圓臺的上、下底面的半徑之比為，側(cè)面積為，且上底面半徑為質(zhì)數(shù)，則該圓臺的母線長為（????） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】如圖，易知且，根據(jù)圓臺側(cè)面積公式計(jì)算可得，結(jié)合質(zhì)數(shù)的概念即可求解. 【詳解】設(shè)圓臺上底面的半徑為r，下底面半徑為R，母線為l，則. 如圖，分別為圓臺上、下底面的圓心，AB為一條母線，連接， 過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，則四邊形為矩形，得， 所以，在中，，圓臺的側(cè)面積為， 所以，又為質(zhì)數(shù)，所以或3. 當(dāng)時(shí)，，則，符合題意； 當(dāng)時(shí)，，則，不符合題意. 所以圓臺的母線長為3. 故選：B 3．（23-24高三下·山東德州·開學(xué)考試）如圖所示，某圓臺型木桶（厚度不計(jì)）上下底面的面積分別為和，且木桶的體積為，則該木桶的側(cè)面積為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由臺體的體積公式求出圓臺的高，作出圖象求出臺體的母線長，再根據(jù)體積公式求解即可. 【詳解】設(shè)上下底面的的半徑分別為，高為， 所以，故， 因?yàn)槟就暗捏w積為，所以， 所以，解得：， 設(shè)圓臺的母線長為，如下圖， 所以， 所以該木桶的側(cè)面積為. 故選：D. 4．（2024·吉林延邊·一模）碗是人們?nèi)粘１匦璧娘嬍称髅螅氲钠鹪纯勺匪莸叫率鲿r(shí)代泥質(zhì)陶制的碗，其形狀與當(dāng)今無多大區(qū)別，即口大底小，碗口寬而碗底窄，下有碗足．如圖所示的一個碗口直徑為9.3cm，碗底直徑為3.8cm，高4cm，它的形狀可以近似看作圓臺，則其側(cè)面積約為（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式運(yùn)算求解即可. 【詳解】由題意可知：碗口半徑為，碗底半徑為， 可知母線為， 所以其側(cè)面積約為. 故選：C. 5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知軸截面為正三角形的圓錐，被平行于底面的平面所截，截得的上、下兩個幾何體的表面積分別為，，體積分別為，，若，則的值為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出圓錐的軸截面，設(shè)出大小圓錐的底面圓半徑，表示出母線長，利用代入化簡得到，計(jì)算得到的值. 【詳解】 如圖，作出圓錐的軸截面，設(shè)截得的圓錐的底面圓半徑為，原圓錐的底面圓半徑為． 因?yàn)檩S截面是正三角形，所以母線長為，原圓錐的母線長為， 則截得的圓臺的母線長為．因?yàn)?，即，解得?于是， ，所以. 故選：A． 6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征(如圖①)，圖②是一個圓臺的側(cè)面展開圖(扇形的一部分)，若兩個圓弧、所在圓的半徑分別是3和6，且∠ABC＝120°，則下列關(guān)于該圓臺的說法錯誤的是（????） A．高為2 B．母線長為3 C．表面積為14π D．體積為π 【答案】D 【詳解】設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，則2πr＝×3，即r＝1；2πR＝×6，即R＝2.又圓臺的母線長為l＝6－3＝3，所以圓臺的高h(yuǎn)＝＝2，故A，B正確．圓臺的表面積S＝π(1＋2)×3＋π×12＋π×22＝14π，故C正確；圓臺的體積V＝π×2×(22＋12＋2×1)＝π，故D錯誤．故選D. 7．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）某水平放置的平面圖形的斜二側(cè)直觀圖是等腰梯形（如圖所示），將該平面圖形繞其直角腰AB邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓臺，已知，則該圓臺的表面積為 . 【答案】 【分析】先還原出平面圖形，得圓臺的上下底面半徑與母線長，結(jié)合圓臺的表面積公式即可求解. 【詳解】作出其平面圖形， 則在平面圖形中， 則圓臺的上底面半徑，下底面半徑，母線， 則由圓臺的表面積公式得： . 8．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知圓臺的上、下底面半徑分別是1和2，高是1．求： (1)圓臺的表面積； (2)圓臺的體積． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)相似可求解長度，即可由表面積公式求解， （2）根據(jù)錐體體積公式即可求解. 【詳解】（1）如圖，圓臺是大圓錐上面截掉小圓錐得到的幾何體， 則，分別為圓臺上、下底面的圓心，連接，則，，． 易得，則，得， 即，，，則． 圓臺的表面積 （2）圓臺的體積． 圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l　名稱　 幾何體　　　表面積體積圓柱S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh圓錐S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq \f(1,3)Sh圓臺S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h求旋轉(zhuǎn)體 的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系規(guī)則 幾何體若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．其中，求三棱錐的體積常用等體積轉(zhuǎn)換法不規(guī)則 幾何體若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解

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