專題8.3 球的切接問題 TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h  HYPERLINK \l "_Toc20970" 【基礎(chǔ)知識(shí)】  PAGEREF _Toc20970 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc3961" 【考點(diǎn)1：內(nèi)切球半徑、表面積、體積】  PAGEREF _Toc3961 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc1106" 【考點(diǎn)2：與內(nèi)切球有關(guān)的最值問題】  PAGEREF _Toc1106 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc30316" 【考點(diǎn)3：外接球半徑、表面積、體積】  PAGEREF _Toc30316 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc16419" 【考點(diǎn)4：與外接球有關(guān)的最值問題】  PAGEREF _Toc16419 \h 4  【基礎(chǔ)知識(shí)】 1.1球的性質(zhì) 球被平面截得的圖形是圓，球心與截面圓圓心的連線與截面圓垂直，球的半徑R，截面圓的半徑，球心到截面圓的距離為，則. 1.2長(zhǎng)方體性質(zhì)：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和. 1.3幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論 (1)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為， ①正方體的外接球，則； ②正方體的內(nèi)切球，則； ③球與正方體的各棱相切，則. (2)長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為，外接球的半徑為，則. (3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1. 1.4與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進(jìn)行解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖. 1.5.解決與球有關(guān)的切、接問題的方法： (1)一般要過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或過線作截面將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系． (2)若球面上四點(diǎn)中兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問題． 1.6.求解球與多面體的組合問題時(shí)，其關(guān)鍵是確定球心的位置，可以根據(jù)空間幾何體的對(duì)稱性判斷球心的位置，然后通過作出輔助線或輔助平面確定球的半徑和多面體中各個(gè)幾何元素的關(guān)系，達(dá)到求解解題需要的幾何量的目的． 【考點(diǎn)1：內(nèi)切球半徑、表面積、體積】 【知識(shí)點(diǎn)：內(nèi)切球半徑、表面積、體積】 1．（2024高一下·山西大同·階段練習(xí)）各棱長(zhǎng)都相等的四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為（????） A． B． C． D． 2．（2024高三下·貴州·階段練習(xí)）若一圓錐的內(nèi)切球半徑為2，該圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為（　?。?A． B． C． D． 3．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（????） A． B． C． D． 4．（2024·湖北·二模）已知圓錐的頂點(diǎn)為，其三條母線，，兩兩垂直．且母線長(zhǎng)為6．則圓錐的內(nèi)切球表面積與圓錐側(cè)面積之和為（????） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河南三門峽·期中）已知三棱錐的棱長(zhǎng)均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后再放入一個(gè)球，使得球與球及三棱錐的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的表面積為（????） A． B． C． D． 6．（2024·四川成都·二模）已知圓錐的高是，其軸截面為等邊三角形，則其內(nèi)切球體積為 . 7．（2024·湖南·二模）一個(gè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2，高為，則該四棱錐的內(nèi)切球表面積為 . 【考點(diǎn)2：與內(nèi)切球有關(guān)的最值問題】 【知識(shí)點(diǎn)：與內(nèi)切球有關(guān)的最值問題】 1．（2024高三上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）將一個(gè)母線長(zhǎng)為，底面半徑為的圓錐木頭加工打磨成一個(gè)球狀零件，則能制作的最大零件的表面積為（????） A． B． C． D． 2．（2024高二上·重慶黔江·階段練習(xí)）已知是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的最大值是 ，最小值是 . 3．（2024·四川宜賓·二模）所有棱長(zhǎng)均為6的三棱錐，其外接球和內(nèi)切球球面上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值為 . 4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的母線，側(cè)面積為，則圓錐的內(nèi)切球半徑為 ；若正四面體能在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體的最大棱長(zhǎng)為 ． 5．（2024高二上·廣東·階段練習(xí)）圓臺(tái)及其內(nèi)切球的體積分別為、，則的取值范圍為 ． 【考點(diǎn)3：外接球半徑、表面積、體積】 【知識(shí)點(diǎn)：外接球半徑、表面積、體積】 1．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)的上底面積為16，下底面積為64，且其各個(gè)頂點(diǎn)均在半徑的球O的表面上，則該四棱臺(tái)的高為（????） A．2 B．8 C．2或12 D．4或8 2．（2024·江西九江·二模）已知一個(gè)圓臺(tái)內(nèi)接于球（圓臺(tái)的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，且其表面積為，則球的體積為（????） A． B． C． D． 3．（2024·寧夏石嘴山·一模）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，它的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是 4．（2024·青海西寧·二模）已知是表面積為的球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為 ． 5．（2024·陜西漢中·二模）已知三棱錐，則三棱錐的外接球表面積為 ． 6．（23-24高三下·遼寧·開學(xué)考試）已知直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若，，，，則球O的表面積為 . 【考點(diǎn)4：與外接球有關(guān)的最值問題】 【知識(shí)點(diǎn)：與外接球有關(guān)的最值問題】 1．（2024·廣西柳州·三模）已知P，A，B，C是半徑為2的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（????） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·貴州六盤水·期末）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，，且三棱錐的體積最大值為，則該球的表面積為（????） A． B． C． D． 3．（2024·山東濰坊·一模）已知直三棱柱外接球的直徑為6，且，，則該棱柱體積的最大值為（???） A．8 B．12 C．16 D．24 4．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在透明塑料制成的直三棱柱容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，，若水的體積恰好是該容器體積的一半，容器厚度忽略不計(jì)，則容器中水的體積與直三棱柱外接球體積之比的最大值為 . 5．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知長(zhǎng)方體中，側(cè)面的面積為2，若在棱上存在一點(diǎn)，使得為等邊三角形，則四棱錐外接球表面積的最小值為 .

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