專題8.1 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積  TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"   HYPERLINK \l "_Toc9733" 【考點(diǎn)1：棱柱的表面積與體積】  PAGEREF _Toc9733 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc17982" 【考點(diǎn)2：棱錐的表面積與體積】  PAGEREF _Toc17982 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc1313" 【考點(diǎn)3：棱臺(tái)的表面積與體積】  PAGEREF _Toc1313 \h 12  【基礎(chǔ)知識(shí)】 空間幾何體的表面積與體積公式 [方法技巧]　求空間幾何體表面積的常見類型及思路 [方法技巧]　求空間幾何體體積的常見類型及思路 【考點(diǎn)1：棱柱的表面積與體積】 【知識(shí)點(diǎn)：棱柱的表面積與體積】 1．（2024高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知正四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2，體積為6，則該正四棱柱的表面積為 ． 【答案】 【分析】先求出正四棱柱的底面邊長(zhǎng)，再根據(jù)多面體的表面積公式即可得解. 【詳解】設(shè)正四棱柱的的底面邊長(zhǎng)為， 則，解得， 所以該正四棱柱的表面積為. 故答案為：. 2．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）如圖所示，有一滾筒是正六棱柱形（底面是正六邊形，每個(gè)側(cè)面都是矩形），兩端是封閉的，筒高，底面外接圓的半徑是，制造這個(gè)滾筒需要 鐵板（精確到）. 【答案】 【分析】 根據(jù)已知得到正六邊形的邊長(zhǎng)，直接求出表面積即可. 【詳解】 由題知此正六棱柱底面外接圓的半徑為， 所以底面正六邊形的邊長(zhǎng)是． 所以側(cè)面積. 所以表面積. 故制造這個(gè)滾筒約需要鐵板． 故答案為： 3．（2024高二上·上?！ｎ}練習(xí)）一個(gè)長(zhǎng)方體的過同一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是， ，，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為 ，表面積為 . 【答案】 【分析】設(shè)出棱長(zhǎng)，根據(jù)題意直接求解長(zhǎng)方體體積和表面積即可. 【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為， 則三式相乘可得， 所以長(zhǎng)方體的體積為，表面積為. 故答案為：； 4．（2024高二上·浙江金華·階段練習(xí)）一個(gè)封閉的正三棱柱容器，高為8，內(nèi)裝水若干如圖1，底面處于水平狀態(tài)將容器放倒如圖2，一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài)，這時(shí)水面所的平面與各棱交點(diǎn)E，F(xiàn)，，分別為所在的棱的中點(diǎn)，則圖1中水面的高度為 ． 【答案】6 【分析】設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，在圖1中，設(shè)水面的高度為，根據(jù)圖1和圖2中水的體積相等可得出關(guān)于的等式，即可解得的值. 【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，則， 在圖1中，設(shè)水面的高度為，則水的體積為， 在圖2中，幾何體為直四棱柱， 因?yàn)闉榈冗吶切?，分別為棱的中點(diǎn)，所以， 則水的體積為，解得. 故答案為：6. 5．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）2023年3月11日，“探索一號(hào)”科考船搭載著“奮斗者”號(hào)載人潛水器圓滿完成國(guó)際首次環(huán)大洋洲載人深潛科考任務(wù)，順利返回三亞．本次航行有兩個(gè)突出的成就，一是到達(dá)了東南印度洋的蒂阿曼蒂那深淵，二是到達(dá)了瓦萊比—熱恩斯深淵，并且在這兩個(gè)海底深淵都進(jìn)行了勘探和采集．如圖1是“奮斗者”號(hào)模型圖，其球艙可以抽象為圓錐和圓柱的組合體，其軸截面如圖2所示，則該模型球艙體積為（????）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)圓錐以及圓柱的體積公式即可求得答案. 【詳解】由模型的軸截面可知圓錐的底面半徑為，高為； 圓柱的底面半徑為，高為， 故該模型球艙體積為（）， 故選：D. 6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在長(zhǎng)方體中，，則該長(zhǎng)方體體積的最大值為（????） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】設(shè)，可知，根據(jù)體積關(guān)系結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解. 【詳解】設(shè)， 由題意可得：，整理得， 則該長(zhǎng)方體體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立， 所以該長(zhǎng)方體體積的最大值為4. 故選：C. 7．（2024·四川成都·二模）在正方體中，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng).當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，則該正方體的表面積為（????） A．6 B．8 C．24 D．54 【答案】C 【分析】由線段是定值結(jié)合正方體的特征得出點(diǎn)的軌跡，結(jié)合弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可. 【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為， 由正方體性質(zhì)知平面， 平面，得， 所以， 所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧， 設(shè)圓弧分別交與點(diǎn)，則， 所以，同理，所以圓心角是， 則軌跡長(zhǎng)度為，可得， 所以正方體的表面積為. 故選：. 8．（2024高二上·上?！ｎ}練習(xí)）現(xiàn)有一個(gè)底面是菱形的直四棱柱，它的體對(duì)角線長(zhǎng)為9和15，高是5，求：該直四棱柱的側(cè)面積、表面積；【注：體對(duì)角線是連接棱柱上下底面、不在同一側(cè)面的兩頂點(diǎn)的連線】 【答案】側(cè)面積為，表面積為 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)、直棱柱的性質(zhì)，結(jié)合棱柱的側(cè)面積和表面積公式進(jìn)行求解即可. 【詳解】如圖，設(shè)底面對(duì)角線，交點(diǎn)為O， 體對(duì)角線， 所以， ∵該直四棱柱的底面是菱形， ∴， 因此直四棱柱的側(cè)面積為， 底面積為， 因此直四棱柱的表面積為：. 【考點(diǎn)2：棱錐的表面積與體積】 【知識(shí)點(diǎn)：棱錐的表面積與體積】 1．（23-24高三上·天津河北·期末）底面邊長(zhǎng)為，且側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積和側(cè)面積分別為（????） A． B． C．32，24 D．32，6 【答案】A 【分析】 由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征求高、斜高，根據(jù)體積、側(cè)面積公式求結(jié)果. 【詳解】由正四棱錐底面為正方形，且底面中心為頂點(diǎn)在底面上射影， 結(jié)合題設(shè)，底面對(duì)角線長(zhǎng)為，則棱錐的高，斜高為， 所以正四棱錐的體積為， 側(cè)面積為. 故選：A. 2．（23-24高三上·天津?yàn)I海新·開學(xué)考試）中和殿是故宮外朝三大殿之一.位于紫禁城太和殿與保和殿之間，中和殿建筑的亮點(diǎn)是屋頂為單檐四角攢尖頂，體現(xiàn)天圓地方的理念，其屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐.已知此正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個(gè)角接近30°.若取，則下列結(jié)論不正確的是（????） A．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為24m B．正四棱錐的高為 C．正四棱錐的體積為 D．正四棱錐的側(cè)面積為 【答案】D 【分析】在正四棱錐中，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，根據(jù)側(cè)棱長(zhǎng)和側(cè)面與底面所成的二面角可求底邊的邊長(zhǎng)，從而可求體高、側(cè)面積以及體積，據(jù)此可判斷各項(xiàng)的正誤． 【詳解】如圖，在正四棱錐中，為正方形的中心，， 則為的中點(diǎn)，連接，，， 則平面，， 則為側(cè)面與底面所成的銳二面角， 設(shè)底面邊長(zhǎng)為，正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為， 這個(gè)角接近，取，， 則． 在中，，解得，故底面邊長(zhǎng)為， 正四棱錐的高為， 側(cè)面積為， 體積， 故ABC正確，D錯(cuò)誤. 故選：D． 3．（23-24高三上·北京·期中）從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐，則它的體積與正方體體積的比為 ；它的表面積與正方體表面積的比為 . ?? 【答案】 / 【分析】 根據(jù)三棱錐及正方體的體積計(jì)算可得幾何體體積比，計(jì)算正三棱錐表面積及正方體表面積即可得解. 【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，由圖知，切去的4個(gè)三棱錐體積相等，故截去的三棱錐的體積之和為， 而正方體的體積為，所以正三棱錐的體積為， 故正三棱錐與正方體體積之比為； 因?yàn)檎忮F的每條棱長(zhǎng)為，所以表面積為， 又正方體的表面積為，故表面積之比為. 故答案為：； 4．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，高與斜高夾角為.求它的側(cè)面積和表面積． 【答案】側(cè)面積是32，表面積是48 【分析】由正四棱錐的高，斜高，邊心距組成的直角三角形，依據(jù)題意可以求出高與斜高，即可求得正四棱錐的側(cè)面積和表面積． 【詳解】如圖所示，設(shè)正四棱錐的高為，斜高為， 底面邊心距為，它們組成一個(gè)直角三角形； ， ， 所以正四棱錐的側(cè)面積， 底面正方形面積為， 則正四棱錐的表面積為， 即該正四棱錐的側(cè)面積是32，表面積是48. 5．（2024高二上·上?！ｎ}練習(xí)）一座倉庫的屋頂呈正四棱錐形，底面的邊長(zhǎng)為2.7 m，側(cè)棱長(zhǎng)為2.3 m，如果要在屋頂上鋪一層油氈紙，則需多少油氈紙？（精確到0.1 ） 【答案】 【分析】由棱錐側(cè)面積的求法求屋頂上鋪一層油氈紙的面積即可. 【詳解】如圖所示，設(shè)SE是側(cè)面三角形ABS的高，則SE就是正四棱錐的斜高． ?? 在中，m，m， 所以m，而底面周長(zhǎng)m， 所以需油氈紙，故需要油氈紙約. 6．（2024高一下·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，高為1，求： (1)求棱錐的體積和側(cè)棱長(zhǎng)； (2)求棱錐的表面積． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根據(jù)棱錐的體積公式及勾股定理計(jì)算即可. （2）利用三角形及正方形面積公式計(jì)算即可. 【詳解】（1） 由題意可知底面四邊形是正方形，設(shè)其對(duì)角線交于O點(diǎn)，則， 所以四棱錐的體積為：， 側(cè)棱長(zhǎng)； （2）取的中點(diǎn)E，連接，易知， 由上可知， 所以棱錐的表面積為. 7．（23-24高二上·上?！て谥校┤鐖D，把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，使（折疊后的）四點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大，求此三棱錐的表面積和體積. 【答案】答案見解析 【分析】當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，即二面角為時(shí)體積最大，從而求出體積及表面積. 【詳解】在翻折過程中，三棱錐的底面始終是，故當(dāng)二面角為時(shí)，三棱錐的體積最大， 如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，由題意可知，， 則，且，所以：， 所以和是邊長(zhǎng)為的等邊三角形， ， 和是等腰直角三角形， ， 所以三棱錐的表面積為：， 所以三棱錐的最大體積為： 8．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐，下部的形狀是正四棱柱 (如圖所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍. ?? (1)若，，則倉庫的容積是多少？ (2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，當(dāng)為多少時(shí)，下部的正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是多少？ 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）明確柱體與錐體積公式的區(qū)別，分別代入對(duì)應(yīng)公式求解； （2）先根據(jù)面積關(guān)系建立函數(shù)解析式，，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求其最值. 【詳解】（1）由知. 因?yàn)椋?所以正四棱錐的體積 正四棱柱的體積 所以倉庫的容積. （2）設(shè)，下部分的側(cè)面積為， 則，， ， 設(shè)， 當(dāng)，即時(shí)，，. 即當(dāng)為時(shí)，下部分正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是. 【考點(diǎn)3：棱臺(tái)的表面積與體積】 【知識(shí)點(diǎn)：棱臺(tái)的表面積與體積】 1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，8，該梭臺(tái)的表面積為148，則側(cè)棱長(zhǎng)為（????） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先求得側(cè)面的高，進(jìn)而求得側(cè)棱長(zhǎng). 【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)側(cè)面的高為，則， 所以側(cè)棱長(zhǎng)為. 故選：C 2．（2024·遼寧遼陽·一模）四羊方尊（又稱四羊尊）為中國(guó)商代晚期青銅器，其盛酒部分可近似視為一個(gè)正四棱臺(tái)（上、下底面的邊長(zhǎng)分別為，高為），則四羊方尊的容積約為（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)臺(tái)體的體積公式運(yùn)算求解. 【詳解】由題意可得：四羊方尊的容積約為. 故選：A. 3．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）將一個(gè)正四棱臺(tái)物件放入有一定深度的電解槽中，對(duì)其表面進(jìn)行電泳涂裝．如圖所示，已知該物件的上底邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等，且為下底邊長(zhǎng)的一半，一個(gè)側(cè)面的面積為，則該物件的高為（????） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】 作出正四棱臺(tái)的圖形，設(shè)，利用該四棱臺(tái)側(cè)面的面積求得，進(jìn)而利用勾股定理即可得解. 【詳解】設(shè)，則. 因?yàn)樵撍睦馀_(tái)為正四棱臺(tái)，所以各個(gè)側(cè)面都為等腰梯形，上、下底面為正方形， 在四邊形中，過點(diǎn)作于點(diǎn)， 則，所以， 所以，解得， 在平面中，過點(diǎn)作于點(diǎn)， 易知為正四棱臺(tái)的高，則， 所以. 故選：C. 4．（2024·陜西西安·二模）在正四棱臺(tái)中，，且三棱錐的體積為，則該正四棱臺(tái)的體積為（????） ?? A．14 B．21 C．24 D．36 【答案】B 【分析】設(shè)正四棱臺(tái)的高為，結(jié)合棱錐體積公式可求得，根據(jù)面積比可表示出上下底面面積，代入棱臺(tái)體積公式可求得結(jié)果. 【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則，， ， 又，， 正四棱臺(tái)的體積 . 故選：B. 5．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）中國(guó)傳統(tǒng)文化博大精深，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，其中我國(guó)古代建筑文化更是傳統(tǒng)文化中一顆璀璨之星，在古代建筑中臺(tái)基是指建筑物底部高出室外地面的部分，通常由臺(tái)階，月臺(tái)，欄桿，臺(tái)明四部分組成，某地的國(guó)家二級(jí)文化保護(hù)遺址一玉皇閣，其臺(tái)基可近似看作上、下底面邊長(zhǎng)分別為，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱臺(tái)，則該四棱臺(tái)的體積約為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助正四棱臺(tái)的性質(zhì)可得其高，結(jié)合體積公式即可得解. 【詳解】該正四棱臺(tái)上、下底面的對(duì)角線分別為、， 則該正四棱臺(tái)的高為， 則. 故選：A. 6．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代有一種容器叫“方斗”，“方斗”的形狀是一種上大下小的正四棱臺(tái)（兩個(gè)底面都是正方形的四棱臺(tái)），如果一個(gè)方斗的容積為28升（一升為一立方分米），上底邊長(zhǎng)為4分米，下底邊長(zhǎng)為2分米，則該方斗的表面積為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先根據(jù)體積求出棱臺(tái)的高，再根據(jù)高求出側(cè)棱長(zhǎng)，進(jìn)而可求側(cè)面面積及表面積. 【詳解】如圖所示，高線為，由方斗的容積為28升，可得， 解得. 由上底邊長(zhǎng)為4分米，下底邊長(zhǎng)為2分米可得 ， 側(cè)面梯形面積為， 所以方斗的表面積為. 故選：D. 7．（2024高三上·廣東汕頭·期末）若正四棱臺(tái)的上、下底邊長(zhǎng)分別為2、4，側(cè)面積為，則該棱臺(tái)體積為 . 【答案】/ 【分析】作出正棱臺(tái)的圖象，結(jié)合其側(cè)面積求得正四棱臺(tái)的斜高，再利用棱臺(tái)體積公式即可得解. 【詳解】由題意，正四棱臺(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為， 可得上、下底面面積為， 如圖所示，取上、下底面正方形的中心分別為，再取分別為的中點(diǎn)， 分別連接，過點(diǎn)作， 因?yàn)樵撜睦馀_(tái)的側(cè)面積為，易得為等腰梯形的高， 所以，解得， 在中，可得， 則該正四棱臺(tái)的高為， 所以該棱臺(tái)的體積為. 故答案為：. 8．（2024高三下·廣東·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)正四棱臺(tái)，已知正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2和6，體積為，則側(cè)面積為 ． 【答案】 【分析】 設(shè)該正四棱臺(tái)的高、斜高分別為h，，先根據(jù)體積列方程求出，進(jìn)而可得，在利用面積公式求側(cè)面積. 【詳解】 設(shè)該正四棱臺(tái)的高、斜高分別為h，， 由已知得， 所以，， 所以正四棱臺(tái)側(cè)面積為． 故答案為：． 　名稱　 幾何體　　　表面積體積棱柱S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh棱錐S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq \f(1,3)Sh棱臺(tái)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h求多面體 的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求不規(guī)則 幾何體的 表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積規(guī)則 幾何體若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．其中，求三棱錐的體積常用等體積轉(zhuǎn)換法不規(guī)則 幾何體若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解三視圖 形式若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解

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