選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）。
1．（2023?海淀區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．2
【答案】A
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，
解得m＝4．
故選：A．
2．（2023?鄲城縣二模）若關(guān)于x的方程kx2+4x﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k＞﹣2B．k＞﹣2且k≠0C．k＜2D．k＜2且k≠0
【答案】B
【解答】解：∵關(guān)于x的方程kx2+4x﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴k≠0且Δ＝42+8k＞0，
解得：k＞﹣2且k≠0．
∴k的取值范圍是k＞﹣2且k≠0．
故選：B．
3．（2023?汝南縣一模）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”為a?b＝b2﹣ab，例如3?2＝22﹣3×2＝﹣2，則關(guān)于x的方程（k﹣3）?x＝k的根的情況，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．無(wú)實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定
【答案】B
【解答】解：∵a?b＝b2﹣ab，
∴（k﹣3）?x＝k可化為x2﹣（k﹣3）x﹣k＝0，
∵Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×（﹣k）＝k2﹣2k+9＝（k﹣1）2+8＞0，
∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：B．
4．（2023春?威海期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家研究過(guò)一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14為例說(shuō)明，《方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造如圖中大正方形的面積是（x+x+5）2同時(shí)它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14+52，因此x＝2．小明用此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0時(shí)，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為14，小正方形的面積為4，則（ ）
A．m＝2，n＝3B．，n＝2C．，n＝2D．m＝2，
【答案】D
【解答】解：如圖，
由題意得：m2＝4，4n+4＝14，
∴m＝＝2，n＝，
故選：D．
5．（2023春?招遠(yuǎn)市期中）已知N＝6m﹣25，M＝m2﹣2m（m為任意實(shí)數(shù)），則M、N的大小關(guān)系為（ ）
A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．不能確定
【答案】B
【解答】解：根據(jù)題意，可知M﹣N＝m2﹣2m﹣6m+25＝m2﹣8m+16+9＝（m﹣4）2+9＞0，
所以M＞N．
故選：B．
6．（2023春?河?xùn)|區(qū)期末）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2+2m+n的值等于（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【答案】D
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的根，
∴m2+m﹣2023＝0，
∴m2＝﹣m+2023，
∴m2+2m+n＝﹣m+2023+2m+n＝m+n+2023，
∵m、n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝﹣1+2023＝2022．
故選：D．
7．（2023春?蜀山區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣b＝0的一個(gè)解是x＝﹣1，則方程的另一個(gè)解為（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
【答案】D
【解答】解：設(shè)方程的另一個(gè)解為t，
根據(jù)題意得﹣1+t＝2，
解得t＝3．
故選：D．
8．（2023?鄭州模擬）一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+1的根的情況是（ ）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
【答案】C
【解答】解：將方程整理為一般式，得：x2+x﹣6＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：C．
9．（2022秋?青山區(qū)期末）若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1?的值為（ ）
A．3或﹣9B．﹣3或9C．3或﹣6D．﹣3或6
【答案】B
【解答】解：解方程x2+2x﹣3＝0得，x1＝﹣3，x2＝1或x1＝1，x2＝﹣3，
∴x1?＝﹣3×12＝﹣3或x1?的＝1×（﹣3）2＝9，
故選：B．
10．（2023?市中區(qū)模擬）定義[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如[﹣2.3]＝﹣3，[﹣0.5]＝﹣1，[﹣2]＝﹣2，[0]＝0，[2.7]＝2．函數(shù)y＝[x]的圖象如圖所示，則方程[x]＝x2+2x的根的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【解答】解：設(shè)，則
根據(jù)y＝[x]圖象，且[x]＝x2+2x，
結(jié)合圖象可得[x]可能為﹣1或0或1，
所以當(dāng)y1＝﹣1，則（x+1）2﹣1＝﹣1，則x＝﹣1，
所以當(dāng)y1＝0，則（x+1）2﹣1＝0，則x1＝0，x2＝﹣2（舍去），
所以當(dāng)y1＝1，則（x+1）2﹣1＝1，則，（帶入方程不符合題意，均舍去），
綜上所述：方程[x]＝x2+2x的根為﹣1、0，有2個(gè)，
故選：B．
填空題(本題共6題,每小題3分，共18分）。
11．（2023?滕州市校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知關(guān)于x的方程x2+nx﹣m＝0的兩個(gè)根是0和﹣2，則m+n的值為 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+nx﹣m＝0的兩個(gè)根是0和﹣2，
∴，
解得：，
∴m+n＝2，
故答案為：2．
12．（2023春?六安月考）若a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一個(gè)根，則2a2﹣4a＝ 10 ．
【答案】10．
【解答】解：由a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一個(gè)根，
則有a2﹣2a﹣5＝0，
∴a2﹣2a＝5，
∴2a2﹣4a＝10．
故答案為：10．
13．（2023?荔城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的兩個(gè)根，則+2x1+x2＝ 2022 ．
【答案】2022．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的兩個(gè)根，
∴x1+x2＝﹣1，+x1＝2023，
∴+2x1+x2＝+x1+x1+x2＝2023﹣1＝2022．
故答案為：2022．
14．（2023?下陸區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）設(shè)a，b，c，d是四個(gè)不同的實(shí)數(shù)，如果a，b是方程x2﹣10cx﹣12d＝0的兩根，c，d是方程x2﹣10ax﹣12b＝0的兩根，那么a+b+c+d的值為 1320 ．
【答案】1320．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣10cx﹣12d＝0的兩根，c，d是方程x2﹣10ax﹣12b＝0的兩根，
∴a+b＝10c，c+d＝10a．
∴a+b+c+d＝10（a+c）．
∵a2﹣10ac﹣12d＝0，d＝10a﹣c；
∴a2﹣120a+12c﹣10ac＝0①．
∵c2﹣10ac﹣12b＝0，b＝10c﹣a，
∴c2+12a﹣120c﹣10ac＝0②．
①﹣②，得a2﹣c2﹣120（a﹣c）﹣12（a﹣c）＝0，
∴（a﹣c）（a+c﹣132）＝0，
∵a≠c，
∴a+c﹣132＝0．
∴a+c＝132．
∴a+b+c+d＝10（a+c）＝1320．
故答案為：1320．
15．（2023?從江縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖所示，在長(zhǎng)為50m、寬為40m的矩形場(chǎng)地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進(jìn)行綠化，要使綠化面積為1824m2，則道路的寬應(yīng)為多少米？設(shè)道路的寬為xm，則可列方程為 （50﹣x）（40﹣x）＝1824 ．
【答案】（50﹣x）（40﹣x）＝1824．
【解答】解：設(shè)道路的寬為x米，則綠化的部分可合成長(zhǎng)（50﹣x）米，寬（40﹣x）米的矩形，
依題意得：（50﹣x）（40﹣x）＝1824．
故答案為：（50﹣x）（40﹣x）＝1824．
16．（2023?宜昌）已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的兩根，則代數(shù)式的值為 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的兩根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴＝＝1．
故答案為：1．
三、解答題（本題共5題，共52分）。
17．（10分）（2023春?岱岳區(qū)期末）某超市于今年年初以每件25元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，一月份銷(xiāo)售256件．二、三月該商品十分暢銷(xiāo)．銷(xiāo)售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷(xiāo)售量達(dá)到400件．設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率不變．
（1）求二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率；
（2）從四月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷(xiāo)的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，銷(xiāo)售量增加5件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)獲利4250元？
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可得：
256（1+x）2＝400，
解得：x1＝，x2＝﹣（不合題意舍去）．
答：二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為25%；
（2）設(shè)當(dāng)商品降價(jià)m元時(shí)，商品獲利4250元，根據(jù)題意可得：
（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，
解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合題意舍去）．
答：當(dāng)商品降價(jià)5元時(shí)，商品獲利4250元．
18．（10分）（2023春?柯橋區(qū)期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運(yùn)用，可以運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式?x2+4x+5的最小值．解答如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，
（x+2）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，∴當(dāng)（x+2）2＝0時(shí)，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列各題．
（1）知識(shí)再現(xiàn)：當(dāng)x＝ 2 時(shí)，代數(shù)式x2﹣4x+15的最小值是 11 ；
（2）知識(shí)運(yùn)用：若y＝﹣x2+6x﹣15，當(dāng)x＝ 3 時(shí)，y有最 大 值（填“大”或“小”），這個(gè)值是 ﹣6 ；
（3）知識(shí)拓展：若﹣x2+5x+y+10＝0，求y+x的最小值．
【答案】（1）2，11；（2）3，大，﹣6；（3）y+x的最小值為﹣14．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+15＝（x﹣2）2+11，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，有最小值11；
故答案為：2，11；
（2）∵y＝﹣x2+6x﹣15＝﹣（x﹣3）2﹣6，
∴當(dāng)x＝3時(shí)有最大值﹣6；
故答案為：3，大，﹣6；
（3）∵﹣x2+5x+y+10＝0，
∴x+y＝x2﹣4x﹣10＝（x﹣2）2﹣14，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2﹣14≥﹣14，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，y+x的最小值為﹣14．
19．（10分)（2023?增城區(qū)一模）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長(zhǎng)．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵△ABC是等邊三角形，
∴a＝b＝c，
∴原方程可化為：2ax2+2ax＝0，
即：x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1，
即：這個(gè)一元二次方程的根為x1＝0，x2＝﹣1．
20．(10分)（2022秋?綏寧縣期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用，例如：試求二次三項(xiàng)式x2+4x+5最小值．解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1．試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題：
（1）已知y＝x2﹣6x+12，求y的最小值．
（2）比較代數(shù)式3x2﹣x+2與2x2+3x﹣6的大小，并說(shuō)明理由．
知識(shí)遷移：
（3）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，點(diǎn)P在AC邊上以2cm/s的速度從點(diǎn)A向C移動(dòng)，點(diǎn)Q在CB邊上以1cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)．若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)四邊形APQB的面積為Scm2，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S的最小值．
【答案】（1）3；
（2）3x2﹣x+2＞2x2+3x﹣6；
（3）5．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x+12，
∴y＝（x﹣3）2+3，
∴y的最小值為3；
（2）3x2﹣x+2﹣（2x2+3x﹣6）
＝3x2﹣x+2﹣2x2﹣3x+6
＝x2﹣4x+8
＝（x﹣2）2+4
∵（x﹣2）2+4＞0
∴3x2﹣x+2＞2x2+3x﹣6；
（3）根據(jù)題意可得：
S＝S△ABC﹣S△PQC，
S＝×4×3﹣（4﹣2t）t，
S＝6﹣2t+t2，
S＝（t﹣1）2+5，
∴S的最小值為5．
21．(12分)（2022春?忠縣校級(jí)期中）如圖所示，在直角梯形OABC中，CB∥OA，CB＝8，OC＝8，OA＝16．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并且求出直角梯形OABC的面積；
（2）當(dāng)P點(diǎn)沿OA方向以每秒2個(gè)單位的速度從O點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后△OCP的面積等于△OAB的面積的一半？
（3）在（2）的條件下，若現(xiàn)在P、Q點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)Q點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，沿AO方向每秒3個(gè)單位的速度移動(dòng)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后△BPQ的面積等于直角梯形OABC的面積的？
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）∵在直角梯形OABC中，CB∥OA，CB＝8，OC＝8，OA＝16，
∴A的坐標(biāo)是（16，0），B的坐標(biāo)是（8，8），C的坐標(biāo)是（0，8），
直角梯形OABC的面積是：（OA+BC）×OC＝（16+8）×8＝96；
（2）如圖（1）所示：設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后△OCP的面積等于△OAB的面積的一半，
∵S△AOB＝×16×8＝64，
∴S△COP＝×8?OP＝32，
解得：OP＝8，
∵P點(diǎn)沿OA方向以每秒2個(gè)單位的速度從O點(diǎn)出發(fā)，
∴經(jīng)過(guò)8÷2＝4秒后△OCP的面積等于△OAB的面積的一半；
（3）由（1）得直角梯形OABC的面積為96，
則△BPQ的面積為：24，
當(dāng)P，Q相遇前如圖（2），則PQ＝16﹣2t﹣3t，
則×8（16﹣5t）＝24，
解得：t＝2，
當(dāng)P，Q相遇后如圖（3），則PQ＝2t+3t﹣16，
則×8（5t﹣16）＝24，
解得：t＝，
綜上所述：經(jīng)過(guò)2秒或秒后△BPQ的面積等于直角梯形OABC的面積的．

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