9.2.3　總體集中趨勢的估計 現(xiàn)從甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)的同一種耐用家電產(chǎn)品中，各抽取8件產(chǎn)品，對其使用壽命進行跟蹤調(diào)查，其結(jié)果如下：(單位：年) 甲：3,4,5,6,8,8,8,10； 乙：4,6,6,6,8,9,12,13； 丙：3,3,4,7,9,10,11,12． 問題：三家廣告中都稱其產(chǎn)品的使用壽命為8年，利用初中所學的知識，你能說明為什么嗎？ 知識點　眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 1．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義 (1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)． (2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù)．如果個數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)． (3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù)． 2．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較 3．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系 (1)平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替． (2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等． (3)眾數(shù)：眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)． (1)中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的一個數(shù)嗎？ (2)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有幾個？中位數(shù)是否也具有相同的結(jié)論？ [提示]　(1)不一定．一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，如果有奇數(shù)個數(shù)據(jù)，處于中間位置的數(shù)是中位數(shù)；如果有偶數(shù)個數(shù)據(jù)，則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)． (2)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個，也可能有多個，中位數(shù)只有唯一一個． 1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”) (1)一個樣本的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都是唯一的． (　　) (2)樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高長方形的中點對應(yīng)的數(shù)據(jù)． (　　) (3)若改變一組數(shù)據(jù)中其中的一個數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會發(fā)生改變． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．一組樣本數(shù)據(jù)為：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為(　　) A．14,14　　　　　　　 B．12,14 C．14,15.5 D．12,15.5 A　[把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，則可知其眾數(shù)為14，中位數(shù)為14．] 3．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)按從小到大排列后如下所示： 甲：27，m,39； 乙：n,32,34,38． 若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則eq \f(m,n)＝________． eq \f(33,28)　[因為兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，所以m＝eq \f(1,2)(32＋34)＝33，由于兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，所以eq \f(1,3)(27＋33＋39)＝eq \f(1,4)(n＋32＋34＋38)．解得n＝28，故eq \f(m,n)＝eq \f(33,28)．] 4．已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________． 6　[eq \f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6)＝6．] 類型1　平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計算 【例1】　已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有(　　) A．a(chǎn)＞b＞c　　　 B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a D　[由題意得a＝eq \f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq \f(157,10)＝15.7，中位數(shù)為16，眾數(shù)為18，則b＝16，c＝18，∴c＞b＞a．] 1．求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)時，把數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后，按照其求法進行． 2．求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的難點在于計算的準確性． eq \o([跟進訓練]) 1．某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球，每人練習10組，每組罰球40個，命中個數(shù)如下所示 ： 甲：20,22,27,8,12,13,37,25,24,26 乙：14,9,13,18,19,20,23,21,21,11 則下面結(jié)論中正確的是________(填序號)． ①甲的極差是29；②乙的眾數(shù)是21；③甲的平均數(shù)為21.4；④甲的中位數(shù)是24． ①②③　[把兩組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得 甲：8,12,13,20,22,24,25,26,27,37 乙：9,11,13,14,18,19,20,21,21,23 故甲的最大值為37，最小值為8，則極差為29，所以①正確；乙中出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)是21，所以②正確；甲的平均數(shù)為eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,10)(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以③正確；甲的中位數(shù)為eq \f(1,2)(22＋24)＝23，故④不正確．] 類型2　平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的實際應(yīng)用 【例2】　下面是某快餐店所有工作人員一周的收入表： (1)計算所有人員的周平均收入．這個平均收入能反映打工人員的周收入的一般水平嗎？為什么？ (2)去掉老板的收入后，再計算平均收入，這能代表打工人員的周收入的水平嗎？ [解]　(1)周平均收入eq \x\to(x)1＝eq \f(1,7)(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)． 這個平均收入不能反映打工人員的周收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因為老板收入特別高，這是一個異常值，對平均收入產(chǎn)生了較大的影響，并且他不是打工人員． (2)去掉老板的收入后的周平均收入eq \x\to(x)2＝eq \f(1,6)(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)． 這能代表打工人員的周收入水平． 利用樣本數(shù)字特征進行決策時的兩個關(guān)注點 (1)平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受幾個極端值的影響；眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點，無法客觀反映總體特征． (2)當平均數(shù)大于中位數(shù)時，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值． eq \o([跟進訓練]) 2．某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲)： 甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； 乙群：54,3,4,4,5,5,6,6,6,57． (1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映甲群市民的年齡特征？ (2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映乙群市民的年齡特征？ [解]　(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為 eq \f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(歲)， 中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征． (2)乙群市民年齡的平均數(shù)為 eq \f(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57,10)＝15(歲)， 中位數(shù)為5.5歲，眾數(shù)為6歲． 由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差． 類型3　根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù) 【例3】　(對接教材P205例5)某校從參加高二年級學業(yè)水平測試的學生中抽出80名學生，其數(shù)學成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示． (1)求這次測試數(shù)學成績的眾數(shù)； (2)求這次測試數(shù)學成績的中位數(shù)． 1．頻率分布直方圖中每個小矩形的面積代表什么？ [提示]　頻率分布直方圖中每個小矩形的面積是樣本數(shù)據(jù)落在這一組的頻率． 2．在頻率分布直方圖中，如何確定眾數(shù)和中位數(shù)？ [提示]　在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)；中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等． [解]　(1)由題干圖知眾數(shù)為eq \f(70＋80,2)＝75． (2)由題干圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3． 1．若例3的條件不變，求數(shù)學成績的平均分． [解]　由題干圖知這次數(shù)學成績的平均數(shù)為：eq \f(40＋50,2)×0.005×10＋eq \f(50＋60,2)×0.015×10＋eq \f(60＋70,2)×0.02×10＋eq \f(70＋80,2)×0.03×10＋eq \f(80＋90,2)×0.025×10＋eq \f(90＋100,2)×0.005×10＝72． 2．若例3條件不變，求80分以下的學生人數(shù)． [解]　[40,80)分的頻率為：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7， 所以80分以下的學生人數(shù)為80×0.7＝56． 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖有什么關(guān)系？ [提示]　(1)眾數(shù)：眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的底邊中點的橫坐標． (2)中位數(shù)：在樣本中，有50%的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計中位數(shù)的值． ?3?平均數(shù)：用頻率分布直方圖估計平均數(shù)時，平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以每個小矩形底邊中點的橫坐標之和. eq \o([跟進訓練]) 3．隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機軟件層出不窮．現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家，對它們的“平均送達時間”進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如下． 使用A款軟件的100個商家“平 均送達時間”的頻率分布直方圖 使用B款軟件的100個商家“平 均送達時間”的頻率分布直方圖 (1)試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達時間”的眾數(shù)及平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)； (2)如果以“平均送達時間”的平均數(shù)作為決策依據(jù)，從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？ [解]　(1)依題意，可得該市使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達時間”的眾數(shù)約為55，平均數(shù)約為15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40． (2)該市使用B款訂餐軟件的商家中“平均送達時間”的平均數(shù)約為15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40，所以選B款訂餐軟件． 1．一組觀察值4,3,5,6出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,2,4,2，則樣本平均值為(　　) A．4.55　　　B．4.5　　　C．12.5　　　D．1.64 A　[由題意得eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,11)(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55．] 2．下列數(shù)字特征一定會在原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的是(　　) A．眾數(shù) B．中位數(shù) C．平均數(shù) D．都不會 A　[眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以一定會在原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)．] 3．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________． 5　[∵－1,0,4，x,7,14的中位數(shù)為5，∴eq \f(4＋x,2)＝5，∴x＝6． ∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq \f(－1＋0＋4＋6＋7＋14,6)＝5．] 4．某中學舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學生的成績進行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05． 則(1)高一參賽學生成績的中位數(shù)為________； (2)高一參賽學生的平均成績?yōu)開_______． (1)65分　(2)67分　[∵第一個小矩形的面積為0.3，前兩個小矩形的面積和為0.3＋0.4＝0.7＞0.5設(shè)第二個小矩形底邊的一部分長為x，則x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位數(shù)為60＋5＝65分． 依題意，平均成績?yōu)?5×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成績約為67分．] 回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題： (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義是什么？ (2)如何由頻率分布直方圖求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？ (3)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的什么性質(zhì)？ 學 習 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢．(重點、難點) 2． 理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義．(重點、難點)1．通過對數(shù)據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)概念的學習，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)． 2．通過利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)估計總體的集中趨勢，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．名稱優(yōu)點缺點平均數(shù)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對樣本中的極端值更加敏感任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變．數(shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對極端值不敏感眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值不敏感老板大廚二廚采購員雜工服務(wù)生會計3 000元450元350元400元320元320元410元

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