9.2.2　總體百分位數(shù)的估計(jì) 某省數(shù)學(xué)考試結(jié)果揭曉，根據(jù)規(guī)定，0.8%的同學(xué)需要補(bǔ)考． 問題：那么如何確定需要補(bǔ)考的分?jǐn)?shù)線呢？ 知識(shí)點(diǎn)　百分位數(shù) 1．第p百分位數(shù)的定義 一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值． 2．計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟 第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)． 第2步，計(jì)算i＝n×p%． 第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)． 3．四分位數(shù) 25%,50%,75%這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)． (1) 班級人數(shù)為50的班主任老師說“90%的同學(xué)能夠考取本科院?！?，這里的“90%”是百分位數(shù)嗎？ (2)“這次數(shù)學(xué)測試成績的第70百分位數(shù)是85分”這句話是什么意思？ [提示]　(1)不是．是指能夠考取本科院校的同學(xué)占同學(xué)總數(shù)的百分比． (2)有70%的同學(xué)數(shù)學(xué)測試成績小于或等于85分． 1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”) (1)若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等，則其75%分位數(shù)大于25%分位數(shù)． (　　) (2)若一組樣本數(shù)據(jù)的10%分位數(shù)是23，則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23． (　　) (3)若一組樣本數(shù)據(jù)的24%分位數(shù)是24，則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 2．下列關(guān)于一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)的說法正確的是(　　) A．第50百分位數(shù)就是中位數(shù) B．總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于它的可能性一定是50% C．它一定是這組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)據(jù) D．它適用于總體是離散型的數(shù)據(jù) A　[由百分位數(shù)的意義可知選項(xiàng)B，C，D錯(cuò)誤．] 3．?dāng)?shù)據(jù)7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位數(shù)是________． 8.4　[因?yàn)?×30%＝2.4，故30%分位數(shù)是第三項(xiàng)數(shù)據(jù)8.4．] 4．一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，試估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為________． eq \f(100,9)　[樣本數(shù)據(jù)低于10的比例為0.08 ＋0.32＝0.40，樣本數(shù)據(jù)低于14的比例為0.40 ＋0.36＝0.76，所以此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)在[10,14]內(nèi)，估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為10＋eq \f(0.1,0.36)×4＝eq \f(100,9)．] 類型1　百分位數(shù)的計(jì)算 【例1】　(對接教材P202例2)從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中，任意抽取12顆珍珠，得到它們的質(zhì)量(單位：g)如下： 7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0． (1)分別求出這組數(shù)據(jù)的第25,75,95百分位數(shù)． (2)請你找出珍珠質(zhì)量較小的前15%的珍珠質(zhì)量． (3)若用第25,50,95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品，依照這個(gè)樣本的數(shù)據(jù)，給出該公司珍珠等級的劃分標(biāo)準(zhǔn)． [解]　(1)將所有數(shù)據(jù)從小到大排列，得 7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9， 因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù)，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4， 則第25百分位數(shù)是eq \f(8.0＋8.3,2)＝8.15， 第75百分位數(shù)是eq \f(8.6＋8.9,2)＝8.75， 第95百分位數(shù)是第12個(gè)數(shù)據(jù)為9.9． (2)因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù)，所以12×15%＝1.8，則第15百分位數(shù)是第2個(gè)數(shù)據(jù)為7.9． 即產(chǎn)品質(zhì)量較小的前15%的產(chǎn)品有2個(gè)，它們的質(zhì)量分別為7.8,7.9． (3)由(1)可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是8.15 g，第50百分位數(shù)為8.5 g, 第95百分位數(shù)是9.9 g，所以質(zhì)量小于或等于8.15 g的珍珠為次品，質(zhì)量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠為合格品，質(zhì)量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠為優(yōu)等品，質(zhì)量大于9.9 g的珍珠為特優(yōu)品． 計(jì)算第p百分位數(shù)的步驟是什么？ [提示]　計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟： (1)排列：按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)； (2)計(jì)算i：計(jì)算i＝n×p%； (3)定數(shù)：若i不是整數(shù)，大于i的最小整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績： 78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91， 則這15人成績的第80百分位數(shù)是(　　 ) A．90　　　B．90.5　　　C．91　　　D．91.5 B　[把成績按從小到大的順序排列為： 56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98， 因?yàn)?5×80%＝12，所以這15人成績的第80百分位數(shù)是eq \f(90＋91,2)＝90.5．] 類型2　百分位數(shù)的綜合應(yīng)用 【例2】　某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時(shí)的部分按0.5元/千瓦時(shí)收費(fèi)，超過200千瓦時(shí)但不超過400千瓦時(shí)的部分按0.8元/千瓦時(shí)收費(fèi)，超過400千瓦時(shí)的部分按1.0元/千瓦時(shí)收費(fèi)． (1)求某戶居民用電費(fèi)用y(單位：元)關(guān)于月用電量x(單位：千瓦時(shí))的函數(shù)解析式． (2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖．若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過260元的占80%，求a，b的值． (3)根據(jù)(2)中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的75%分位數(shù)． 1．第p百分位數(shù)有什么特點(diǎn)？ [提示]　總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是p． 2．某組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中一定存在嗎？為什么？ [提示]　不一定．因?yàn)榘凑沼?jì)算第p百分位數(shù)的步驟，第2步計(jì)算所得的i＝n×p%如果是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，若第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)不相等，則第p百分位數(shù)在此組數(shù)據(jù)中就不存在． [解]　(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，y＝0.5x； 當(dāng)200400時(shí)，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140． 所以y與x之間的函數(shù)解析式為 y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤200，,0.8x－60，200400.)) (2)由(1)可知，當(dāng)y＝260時(shí)，x＝400，即用電量不超過400千瓦時(shí)的占80%， 結(jié)合頻率分布直方圖可知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0.001×100＋2×100b＋0.003×100＝0.8，,100a＋0.000 5×100＝0.2，)) 解得a＝0.001 5，b＝0.002 0． (3)設(shè)75%分位數(shù)為m， 因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%， 用電量不超過400千瓦時(shí)的占80%， 所以75%分位數(shù)為m在[300,400)內(nèi)，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75， 解得m＝375千瓦時(shí)， 即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時(shí)． 根據(jù)例2的(2)題中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的15%分位數(shù)． [解]　設(shè)15%分位數(shù)為x， 因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為0.001×100＝10%，用電量不超過200千瓦時(shí)的占30%， 所以15%分位數(shù)為x在[100,200)內(nèi)，所以0.1＋(x－100)×0.002＝0.15， 解得x＝125千瓦時(shí)，即用電量的15%分位數(shù)為125千瓦時(shí)． 根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)，首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計(jì)算，其次估計(jì)百分位數(shù)在哪一組，再應(yīng)用方程的思想方法，設(shè)出百分位數(shù)，解方程可得. eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．某市舉行“中學(xué)生詩詞大賽”，某校有1 000名學(xué)生參加了比賽，從中抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們的成績(單位：分)，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M(每組為左閉右開的區(qū)間)，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則估計(jì)該校學(xué)生成績的80%分位數(shù)為________． 122　[根據(jù)頻率分布直方圖可知，成績在130分以下的學(xué)生所占比例為1－0.005 0×20＝0.9，成績在110分以下的學(xué)生所占比例為1－(0.012 5＋0.005 0)×20＝0.65，因此80%分位數(shù)一定位于[110,130)內(nèi)，由110＋20×eq \f(0.8－0.65,0.9－0.65)＝122，故可估計(jì)該校學(xué)生成績的80%分位數(shù)為122．] 1．下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是(　　) 2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6 A．3.2　　　B．3.0　　　C．4.4　　　D．2.5 A　[把這組數(shù)據(jù)按照由小到大排列，可得： 2.1,3.0,3.2,3.4,3.8, 4.0,4.2,4.4,5.3,5.6， 由i＝10×25%＝2.5，不是整數(shù)，則第3個(gè)數(shù)據(jù)3.2是第25百分位數(shù)．] 2．已知100個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法正確的是(　　) A．這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有75個(gè)數(shù)小于或等于9.3 B．把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù) C．把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù) D．把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第74個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù) C　[因?yàn)?00×75%＝75為整數(shù)，所以第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3，故選C．] 3．2019年某學(xué)科能力測試共有12萬考生參加，成績采用15級分，測試成績分布圖如圖，試估計(jì)成績高于11級分的人數(shù)為(　　) A．8 000　　 B．10 000 C．20 000　　 D．60 000 B　[從題圖中可以看出，12級分的有2.5%左右，13級分的有3%左右，14級分的有1%左右，15級分的有1.5%左右， ∴高于11級分的有8%左右，其人數(shù)約為12萬的8%，即120 000×0.08＝9 600人．選項(xiàng)B最接近．故選B．] 4．對某市“四城同創(chuàng)”活動(dòng)中800名志愿者的年齡抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25,30)的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得： (1)[25,30)年齡組對應(yīng)小矩形的高度為________； (2)由頻率分布直方圖估計(jì)志愿者年齡的95%分位數(shù)為________歲． (1)0.04　(2)42.5　[(1)設(shè)[25,30)年齡組對應(yīng)小矩形的高度為h，則5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04． (2)由題圖可知年齡小于40歲的頻率為(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9， 且所有志愿者的年齡都小于45歲，所以志愿者年齡的95%分位數(shù)在[40,45]內(nèi)， 因此志愿者年齡的95%分位數(shù)為40＋eq \f(0.95－0.9,1－0.9)×5＝42.5歲．] 回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題： (1)p百分位數(shù)的定義是什么？ (2)百分位數(shù)告訴我們什么信息？ 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)．(重點(diǎn)) 2．理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過對百分位數(shù)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2．通過計(jì)算樣本的百分位數(shù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

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