9.2　用樣本估計(jì)總體 9.2.1　總體取值規(guī)律的估計(jì) 我市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理：即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過a的部分按議價(jià)收費(fèi)． 問題：如果標(biāo)準(zhǔn)太低，會(huì)影響居民的日常生活；如果標(biāo)準(zhǔn)太高，則不利于節(jié)水． 如果政府希望大部分居民的日常生活不受影響，那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理？需要做哪些工作？ 知識(shí)點(diǎn)　頻率分布直方圖 1．畫頻率分布直方圖的步驟 (1)求極差：極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差． (2)決定組距與組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，常分成5～12組，為了方便起見，一般取等長組距，并且組距應(yīng)力求“取整”． (3)將數(shù)據(jù)分組． (4)列頻率分布表：一般分四列：分組、頻數(shù)累計(jì)、頻數(shù)、頻率．其中頻數(shù)合計(jì)應(yīng)是樣本容量，頻率合計(jì)是1． (5)畫頻率分布直方圖：橫軸表示分組，縱軸表示eq \f(頻率,組距)．小長方形的面積＝組距×eq \f(頻率,組距)＝頻率．各小長方形的面積總和等于1． 2．其它統(tǒng)計(jì)圖表 (1)為什么要對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組？ (2)頻數(shù)分布表與頻率分布直方圖有什么不同？ [提示]　(1)不分組很難看出樣本中的數(shù)字所包含的信息，分組后，計(jì)算出頻率，從而估計(jì)總體的分布特征． (2)頻數(shù)分布表能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù)，而頻率分布直方圖則是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律． 1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”) (1)頻率分布直方圖中小長方形的高表示該組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值． (　　) (2)頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的個(gè)體數(shù)． (　　) (3)扇形統(tǒng)計(jì)圖表示的是比例，條形統(tǒng)計(jì)圖不表示比例． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．把過期的藥品隨意丟棄，會(huì)造成對(duì)土壤和水體的污染，危害人們的健康．如何處理過期藥品，有關(guān)機(jī)構(gòu)隨機(jī)對(duì)若干家庭進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖，其中對(duì)過期藥品處理不正確的家庭達(dá)到(　　) A．79%　　　B．80%　　　C．18%　　　D．82% D　[79%＋1%＋2%＝82%．] 3．如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為(　　) A．20 B．30 C．40 D．50 B　[樣本數(shù)據(jù)落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30．] 4．某班計(jì)劃開展一些課外活動(dòng)，全班有40名學(xué)生報(bào)名參加，他們就乒乓球、足球、跳繩、羽毛球4項(xiàng)活動(dòng)的參加人數(shù)做了統(tǒng)計(jì)，繪制了條形統(tǒng)計(jì)圖(如圖所示)，那么參加羽毛球活動(dòng)的人數(shù)的頻率是________． 0.1　[參加羽毛球活動(dòng)的人數(shù)是4，則頻率是eq \f(4,40)＝0.1．] 類型1　頻率分布直方圖的畫法 【例1】　一個(gè)農(nóng)技站為了考察某種大麥穗生長的分布情況，在一塊試驗(yàn)田里抽取了100株麥穗，量得長度如下(單位：cm)： 6.5　6.4　6.7　5.8　5.9　5.9　5.2　4.0　5.4　4.6 5.8　5.5　6.0　6.5　5.1　6.5　5.3　5.9　5.5　5.8 6.2　5.4　5.0　5.0　6.8　6.0　5.0　5.7　6.0　5.5 6.8　6.0　6.3　5.5　5.0　6.3　5.2　6.0　7.0　6.4 6.4　5.8　5.9　5.7　6.8　6.6　6.0　6.4　5.7　7.4 6.0　5.4　6.5　6.0　6.8　5.8　6.3　6.0　6.3　5.6 5.3　6.4　5.7　6.7　6.2　5.6　6.0　6.7　6.7　6.0 5.6　6.2　6.1　5.3　6.2　6.8　6.6　4.7　5.7　5.7 5.8　5.3　7.0　6.0　6.0　5.9　5.4　6.0　5.2　6.0 6.3　5.7　6.8　6.1　4.5　5.6　6.3　6.0　5.8　6.3 根據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表，繪制出頻率分布直方圖，并估計(jì)在這塊試驗(yàn)田里長度在5.75～6.35 cm之間的麥穗所占的百分比． [解]　(1)計(jì)算極差：7.4－4.0＝3.4． (2)決定組距與組數(shù)： 若取組距為0.3，因?yàn)?eq \f(3.4,0.3)≈11.3，需分為12組，組數(shù)合適，所以取組距為0.3，組數(shù)為12． (3)決定分點(diǎn)： 使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第1小組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn)，那么所分的12個(gè)小組可以是3.95～4.25，4.25～4.55,4.55～4.85，…，7.25～7.55． (4)列頻率分布表： (5)繪制頻率分布直方圖如圖． 從表中看到，樣本數(shù)據(jù)落在5.75～6.35之間的頻率是0.28＋0.13＝0.41，于是可以估計(jì)，在這塊試驗(yàn)田里長度在5.75～6.35 cm之間的麥穗約占41%． 繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意的問題 (1)在繪制出頻率分布表后，畫頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定小矩形的高．一般地，頻率分布直方圖中兩坐標(biāo)軸上的單位長度是不一致的，合理的定高方法是“以一個(gè)恰當(dāng)?shù)膯挝婚L度”(沒有統(tǒng)一規(guī)定)，然后以各組的“eq \f(頻率,組距)”所占的比例來定高．如我們預(yù)先設(shè)定以“”為1個(gè)單位長度，代表“0.1”，則若一個(gè)組的eq \f(頻率,組距)為0.2，則該小矩形的高就是“”(占兩個(gè)單位長度)，如此類推． (2)數(shù)據(jù)要合理分組，組距要選取恰當(dāng)，一般盡量取整，數(shù)據(jù)為30～100個(gè)左右時(shí)，應(yīng)分成5～12組，在頻率分布直方圖中，各個(gè)小長方形的面積等于各組的頻率，小長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和為1． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．如表所示給出了在某校500名12歲男孩中，用隨機(jī)抽樣得出的120人的身高(單位：cm)． (1)列出樣本頻率分布表； (2)畫出頻率分布直方圖； (3)估計(jì)身高小于134 cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比． [解]　(1)樣本頻率分布表如下： (2)其頻率分布直方圖如下． (3)由樣本頻率分布表可知，身高小于134 cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我們估計(jì)身高小于134 cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%． 類型2　頻率分布直方圖的應(yīng)用 【例2】　(對(duì)接教材P197練習(xí)T1)為了了解高一年級(jí)學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12． (1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？ (2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？ [解]　(1)頻率分布直方圖是以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小的，因此第二小組的頻率為eq \f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08． 又因?yàn)榈诙〗M的頻率＝eq \f(第二小組的頻數(shù),樣本容量)， 所以樣本容量＝eq \f(第二小組的頻數(shù),第二小組的頻率)＝eq \f(12,0.08)＝150． (2)由頻率分布直方圖可估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為eq \f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%． 頻率分布直方圖具備哪些性質(zhì)？ [提示]　(1)因?yàn)樾【匦蔚拿娣e＝組距×eq \f(頻率,組距)＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大?。?(2)在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1． (3) 樣本容量＝eq \f(頻數(shù),相應(yīng)的頻率)． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是(　　) A．56　　　B．60　　　C．120　　　D．140 D　[由頻率分布直方圖可知每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為0.7×200＝140．故選D．] 類型3　其它統(tǒng)計(jì)圖表與頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用 【例3】　如圖是根據(jù)某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖，試根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖反映的信息，繪制該市3月1日到10日最低氣溫(單位：℃)的扇形統(tǒng)計(jì)圖． 1．統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)于數(shù)據(jù)分析能夠起到什么作用？ [提示]　(1)從數(shù)據(jù)中獲取有用的信息； (2)直觀、準(zhǔn)確地理解相關(guān)的結(jié)果． 2．條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖這四種統(tǒng)計(jì)圖中，哪些可以從圖中看出原始數(shù)據(jù)？ [提示]　折線圖． [解]　該城市3月1日至10日的最低氣溫(單位：℃)情況如下表： 其中最低氣溫為－3 ℃的有1天，占10%，最低氣溫為－2 ℃的有1天，占10%，最低氣溫為－1℃的有2天，占20%，最低氣溫為0℃的有2天，占20%，最低氣溫為1℃的有1天，占10%，最低氣溫為2℃的有3天，占30%，扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示． 若本例中條件不變，繪制該市3月1日到3月10日最低氣溫(單位：℃)的條形統(tǒng)計(jì)圖． [解]　該城市3月1日到3月10日的最低氣溫(單位：℃)情況如下表： 其中最低氣溫為－3 ℃的有1天，最低氣溫為－2 ℃的有1天，最低氣溫為－1 ℃的有2天，最低氣溫為0 ℃的有2天，最低氣溫為1 ℃的有1天，最低氣溫為2 ℃的有3天．條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示． 折線統(tǒng)計(jì)圖的讀圖方法 (1)讀折線統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，首先要看清楚直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)表示的意義；其次要明確圖中的數(shù)量及其單位． (2)在折線統(tǒng)計(jì)圖中，從折線的上升、下降可分析統(tǒng)計(jì)數(shù)量的增減變化情況，從陡峭程度上，可分析數(shù)據(jù)間相對(duì)增長、下降的幅度． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 3．每到春夏交替時(shí)節(jié)，雌性楊樹會(huì)以滿天飛絮的方式來傳播下一代，漫天飛舞的楊絮易引發(fā)皮膚病、呼吸道疾病等，給人們?cè)斐衫_．為了解市民對(duì)治理?xiàng)钚醴椒ǖ馁澩闆r，某課題小組隨機(jī)調(diào)查了部分市民(問卷調(diào)查表如下表所示)，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖所示)． (治理?xiàng)钚酢x哪一項(xiàng)？?單選? a.減少楊樹新增面積，控制楊樹每年的栽種量 b.調(diào)整樹種結(jié)構(gòu)，逐漸更換現(xiàn)有楊樹 c.選育無絮楊品種，并推廣種植 d.對(duì)雌性楊樹注射生物干擾素，避免產(chǎn)生飛絮 e.其他 由兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖可知，選擇d的人數(shù)和扇形統(tǒng)計(jì)圖中e的圓心角度數(shù)分別為(　　) A．500,28.8° B．250,28.6° C．500,28.6° D．250,28.8° A　[設(shè)接受調(diào)查市民的總?cè)藬?shù)為x， 由調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計(jì)圖可知選擇a的人數(shù)為300，通過調(diào)查結(jié)果的扇形統(tǒng)計(jì)圖可知選擇a的人數(shù)比例為15%， ∴15%＝eq \f(300,x)，解得x＝2 000．∴選擇d的人數(shù)為2 000×25%＝500，∴扇形統(tǒng)計(jì)圖中e的圓心角度數(shù)為(1－15%－12%－40%－25%)×360°＝28.8°．] 1．學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個(gè)容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出(單位：元)在[50,60]內(nèi)的學(xué)生有30人，則n的值為(　　) A．100　　　　B．1 000　　　　C．90　　　　D．900 A　[由題意可知，前三組的頻率之和為(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.7， ∴支出在[50,60]內(nèi)的頻率為1－0.7＝0.3，∴n＝eq \f(30,0.3)＝100．] 2．某公司2019年在各個(gè)項(xiàng)目中總投資500萬元，如圖是幾類項(xiàng)目的投資占比情況，已知在1萬元以上的項(xiàng)目投資中，少于3萬元的項(xiàng)目投資占eq \f(8,21)，那么不少于3萬元的項(xiàng)目投資共有(　　) A．56萬元 B．65萬元 C．91萬元 D．147萬元 B　[由題意知，因?yàn)樵?萬元以上的項(xiàng)目投資中，少于3萬元的項(xiàng)目投資占eq \f(8,21)， 所以在1萬元以上的項(xiàng)目投資中，不少于3萬元的項(xiàng)目投資占比為eq \f(13,21)， 而1萬元以上的項(xiàng)目投資占總投資的比例為1－46%－33%＝21%， 所以不少于3萬元的項(xiàng)目投資共有500×21%×eq \f(13,21)＝65(萬元)．故選B．] 3．隨著2022年北京冬奧會(huì)臨近，中國冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)快速上升，冰雪運(yùn)動(dòng)市場(chǎng)需求得到釋放，將引領(lǐng)戶外用品行業(yè)市場(chǎng)增長．如圖是2012年至2018年中國雪場(chǎng)滑雪人次(單位：萬)與同比增長率的統(tǒng)計(jì)圖，則下列結(jié)論中不正確的是(　　) A．2013年至2018年，中國雪場(chǎng)滑雪人次逐年增加 B．2013年至2015年，中國雪場(chǎng)滑雪人次和同比增長率均逐年增加 C．2018年與2013年相比，中國雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長率近似相等，所以同比增長人數(shù)也近似相等 D．2018年與2016年相比，中國雪場(chǎng)滑雪人次增長率約為30.5% C　[對(duì)于A,2013年至2018年，中國雪場(chǎng)滑雪人次逐年增加，故A正確； 對(duì)于B,2013年至2015年，中國雪場(chǎng)滑雪人次和同比增長率均逐年增加，故B正確； 對(duì)于C,2018年與2013年相比，中國雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長率近似相等，但是同比增長人數(shù)不相等，2018年比2013年增長人數(shù)多，故C錯(cuò)誤； 對(duì)于D,2018年與2016年相比，中國雪場(chǎng)滑雪人次增長率約為：eq \f(1 970－1 510,1 510)×100%≈30.5%．故D正確．故選C．] 4．一個(gè)容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下表： 則樣本數(shù)據(jù)落在[10,40)上的頻率為________． 0.52　[樣本數(shù)據(jù)落在[10,40)上的頻數(shù)為13＋24＋15＝52．則樣本數(shù)據(jù)落在[10,40)上的頻率為eq \f(52,100)＝0.52．] 5．甲、乙兩個(gè)城市2020年4月中旬每天的最高氣溫統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則這9天里，氣溫比較穩(wěn)定的是________(選填“甲”或“乙”)城市． 甲　[這9天里，乙城市的最高氣溫約為35 ℃，最低氣溫約為20 ℃；甲城市的最高氣溫約為25 ℃，最低氣溫約為21 ℃．故甲城市氣溫較穩(wěn)定．] 回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題： (1)畫頻率分布直方圖的步驟是什么？ (2)如何從頻率分布直方圖中提取信息？ (3)頻率分布直方圖具備哪些性質(zhì)？ 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．理解并掌握統(tǒng)計(jì)圖表的畫法及應(yīng)用．(重點(diǎn)、易混點(diǎn)) 2．結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2．通過應(yīng)用統(tǒng)計(jì)圖表估計(jì)總體的取值規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．統(tǒng)計(jì)圖表主要應(yīng)用扇形圖直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例條形圖和直方圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率折線圖描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)分組頻數(shù)頻率[3.95,4.25)10.01[4.25,4.55)10.01[4.55,4.85)20.02[4.85,5.15)50.05[5.15,5.45)110.11[5.45,5.75)150.15[5.75,6.05)280.28[6.05,6.35)130.13[6.35,6.65)110.11[6.65,6.95)100.10[6.95,7.25)20.02[7.25,7.55]10.01合計(jì)1001.00區(qū)間界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)人數(shù)58102233區(qū)間界限[142,146)[146,150)[150,154)[154,158]人數(shù)201165分組頻數(shù)頻率[122,126)50.04[126,130)80.07[130,134)100.08[134,138)220.18[138,142)330.28[142,146)200.17[146,150)110.09[150,154)60.05[154,158]50.04合計(jì)1201.00日期12345678910最低氣溫(℃)－3－20－1120－122日期12345678910最低氣溫(℃)－3－20－1120－122組別[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數(shù)1213241516137

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