1.三點(diǎn)共線的結(jié)論：
★★★★★
、、三點(diǎn)共線

規(guī)律：已知三向量起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)共線系數(shù)和為1。
2.三點(diǎn)共線結(jié)論的應(yīng)用：“偏重”的概念。
例1.在中，、為三等分點(diǎn)，取、為兩個(gè)基向量，用、表示出、。

例2.在中，、、為四等分點(diǎn)，取、為兩個(gè)基向量，用、表示出、、。

遇到“三點(diǎn)共線”問(wèn)題，可利用“偏重”的概念迅速表示出向量。

3.三點(diǎn)共線的再研究：（等和線定理）

二、等和線定理：
平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)P在直線AB上或者在平行于AB的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線.
當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k=1；
當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，；
當(dāng)直線AB在點(diǎn)O與等和線之間時(shí)，；
當(dāng)?shù)群途€過(guò)O點(diǎn)時(shí)，k=0；
若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則定值k互為相反數(shù).
三、解題步驟：
用線性表示時(shí)，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。
我們知道相似比可以通過(guò)對(duì)應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來(lái)刻畫(huà)。因?yàn)槿切蔚母呔€相對(duì)比較容易把握，我們不妨用高線來(lái)刻畫(huà)相似比，在圖1中，過(guò)作邊的垂線，設(shè)點(diǎn)在上的射影為，直線交直線于點(diǎn)，則 (的符號(hào)由點(diǎn)的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍。
（1）確定單位線（當(dāng)時(shí)的等和線）；（2）平移等和線，分析何處取得最值；（3）從長(zhǎng)度比計(jì)算最值.
【例1】設(shè)是邊上的點(diǎn)，,若，則 =（ ）

【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由于此時(shí)等和線為，所以，即.
【例2】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P是以C為圓心且與BD相切的圓上，若，則的最大值為（ ）A.3 B. C. D.2
【解析】：根據(jù)上面圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)到與A點(diǎn)距離最大時(shí)
有最大值，此時(shí)，過(guò)A點(diǎn)作BD的垂線，如圖所示垂足分別為M、N，則 答案：A
例3.在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（ ）A．B．C．D．
【解析】由題意，，且，而，
所以，即，由已知，則，選項(xiàng)D正確.故選：D
例4.如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)是（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為（ ）
【解析】當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于,則，且，所以，所以.故答案為：.
例5.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若= +，則+的最大值為（ ）A．3B．2C．D．2
【解析】分析：如圖 ，由平面向量基底等和線定理可知，當(dāng)?shù)群途€與圓相切時(shí)， 最大，此時(shí)故選 .
例6.如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（ A ）
A．B．2C．D．1
【詳解】作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，
設(shè)，則，∵BC//EF，∴設(shè)，則
∴，∴
∴ 故選：A.
例7.已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（ ）
A． B．C． D．
【解析】因?yàn)槭莾?nèi)一點(diǎn)，且,所以O(shè)為的重心
在內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時(shí)，最小，此時(shí)
所以，即。
當(dāng)M與C重合時(shí)，最大，此時(shí) ,所以，即。
因?yàn)樵趦?nèi)且不含邊界所以取開(kāi)區(qū)間，即,所以選B
例8.如圖，在正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)eq \(AP,\s\up7(→))＝αeq \(AB,\s\up7(→))＋βeq \(AF,\s\up7(→))(α，β∈R)，則α＋β的取值范圍是________．

【解析】直線BF為k＝1的等和線，當(dāng)P在△CDE內(nèi)時(shí)，直線EC是最近的等和線，過(guò)D點(diǎn)的等和線是最遠(yuǎn)的，所以α＋β∈[eq \f(AN,AM)，eq \f(AD,AM)]＝[3，4]．
例9.在同一個(gè)平面內(nèi)，向量的模分別為1，1，，與的夾角為，且，與的夾角為，若，則m+n=______.
【解析】連接AB，過(guò)C點(diǎn)作AB的平行線，則，
在中，由題意可知,
所以，根據(jù)三角形張角定理得，所以，則，答案：3
例10.已知△ABC中，，若點(diǎn)P為四邊形AEDF內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)且，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為 .
【解析】如圖所示，在線段BD上取一點(diǎn)G，使得，設(shè)DC=3a，則DG=a，BC=5a，BG=a；
過(guò)點(diǎn)G作GH∥DE，分別交DF?AE于K?H，連接FH，則點(diǎn)K?H為臨界點(diǎn)；
GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，，所以FH∥BC；
所以FHBC，所以，所以KGHK，KGHGDE.所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是().
故答案為：().
例11.如圖所示，圓O及其內(nèi)接正八邊形，已知，點(diǎn)P為正八邊形國(guó)上任意一點(diǎn)，，則的最大值為_(kāi)_____________。
答案：

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6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

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