題型22   三點共線充要條件的應用【方法點撥】在平面內, 是不共線向量,設，P、A、B三點共線   說明：1.上述結論可概括為“起點一致，終點共線，系數(shù)和為1”,利用此結論,可求交點位置向量或者兩條線段長度的比值.2.當條件中出現(xiàn)共起點的兩個向量的線性組合時，應往三點共線方向考慮，特別的，當系數(shù)和不是“1”時，應化“1”.3.遇到條件“兩條線段相交于一點”時，可轉化成兩次向量共線，進而確定交點位置．【典型題示例】例1    在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．【答案】0或.【分析】條件中向量共起點，可聯(lián)想到三點共線，但其系數(shù)和不是1，應先變形為系數(shù)和是1的情形，求出.繼而，在直接利用余弦定理或直接利用是等腰三角形求出其底邊.【解析】可化為當，且時∵三點共線∴，故，，在，，.當時， ，重合，此時的長度為，當時，，重合，此時，不合題意，舍去.故答案為：0或.例2    在中，為上一點，，為上任一點，若，則的最小值是（   ）A．9        B．10      C．11    D．12【答案】D【分析】使用“三點共線”的向量充要條件，探究出m、n間的等量關系，再使用基本不等式求解.     【解析】因為，所以又因為B、P、E三點共線所以m＋3n=1所以，當且僅當時，“=”成立所以的最小值是12．  例3    已知點是邊長為2的正內一點，且，若，則 的最小值為_______.【答案】【分析】湊系數(shù)使其代數(shù)和為1，，取、，即，而可得M、E、F三點共線.再由極化恒等式得（其中D是BC的中點），，所以 的最小值為.         例4    在平面直角坐標系中，和是圓上兩點，且，點P的坐標為（2,1），則的取值范圍為            .【答案】【分析】設，則如圖，延長至，使為求的取值范圍，只需求點的軌跡.遇到圓的弦想中點、垂徑定理，取中點為，設中，，，故，即的軌跡是以為圓心，為半徑的圓∴，即的取值范圍為.       點評：（1）本題的關鍵是:逆用三點共線的充要條件,構造出向量，其起點為定點，轉化為探究終點軌跡問題；（2）遇到圓的弦，應聯(lián)想“取中點、垂徑定理”；（3）已知條件不變，若所求變?yōu)榍?/span>的取值范圍，此時應設，則，想一想，為什么？例5    若是銳角的外心，，，，，則.【答案】【分析】由得，將變形為.如圖，作，，則 三點共線，且.在，，，故.            例6    已知中， ,且的最小值為，若為邊上任意一點,則的最小值是          .【答案】【解析】由條件 ，設，則，其系數(shù)和為1設，則，故三點共線由的最小值為，即點到的距離是故中，由余弦定理得,設的中點為，由極化恒等式得，而. ∴的最小值是 .
【鞏固練習】1. 如圖，在中，已知點是延長線上一點，點是的中點，若，且，則            .    2.如圖，在平行四邊形中， ， 為的中點，為線段上一點，且滿足，則實數(shù)（        ）                                                      3.正方形ABCD的邊長為1，O為正方形ABCD的中心，過中心O的直線與邊AB交于點M，與邊CD交于點N，P為平面上一點，滿足，則的最小值為                 .4.在平面直角坐標系中，是圓上兩動點，且，點坐標為，則的取值范圍為           ．5.已知中，邊上的中線，若動點滿足，則的最小值是______.6.在四邊形中，.若，則       ．7. 在△ABC中，D 為線段AC的中點，點E在邊BC上，且BE＝EC，AE與BD交于點O，則等于(　　)A.＋       B.＋            C.＋   D.＋8. 在△ABC中，過中線AD的中點E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點，設＝x， ＝y(xy≠0)，則4x＋y的最小值是________．9.在中，點是的三等分點，，過點的直線分別交直線 于點，且，若的最小值為，則正數(shù)的值為（    ）A．1 B．2 C． D．10. 已知點是的外心，且，，若，則的值為      .
【答案與提示】1. 【答案】【解析】因為是的中點所以，即因為三點共線，所以，.2. 【答案】A【分析】從三點共線入手，將用線性表示，再轉化為目標向量，比較系數(shù)即可.【解析】∵三點共線∴（其中）又，所以所以，解之得，選A.3.【答案】【解析】根據題意，，∴的終點在線段BC上，∴，∴，∴；又O是MN的中點，∴，∴，∴，∴的最小值是．      4.【答案】【簡析】設，則，如圖，，設則，由勾股定理得，故．    5.【答案】【分析】由可得在線段上，故，而 ，有基本不等式立得.【解析】由，得，因為，所以在線段上所以，又因為，則（當且僅當，即P為CM中點時，“=”成立）．故的最小值是．6.【答案】－16【解析】由中向量滿足“共起點，系數(shù)和為1”聯(lián)想到“三點共線”設E為上一點，且，則所以，則四邊形是平行四邊形，所以.    7.【答案】　A【解析】　如圖，設＝λ(λ>0)，又＝＋＝＋，∴＝λ＋λ＝λ＋λ.又B，O，D三點共線，∴λ＋λ＝1，∴λ＝，∴＝＋.8.【答案】　【解析】　由D為BC的中點知，＝＋，又＝x，＝y(xy≠0)，E為AD的中點，故＝＝＋，∵M，E，N三點共線，∴＋＝1，∴4x＋y＝(4x＋y)＝＋＋≥2＋＝，當且僅當＝，即x＝，y＝時取等號．∴4x＋y的最小值為.9. 【答案】B【分析】利用平面向量的線性運算法則求得，可得，則，展開后利用基本不等式可得的最小值為，結合的最小值為列方程求解即可.【解析】因為點是的三等分點，則，又由點三點共線，則，，當且僅當時，等號成立， 即的最小值為 ，則有,解可得或(舍），故，故選：B.10. 【答案】【提示】解法同例5. 

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