8.5.3　平面與平面平行 上海世界博覽會(huì)的中國(guó)國(guó)家館被永久保留．中國(guó)國(guó)家館表達(dá)了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶百姓”的中國(guó)文化的精神與氣質(zhì)，展館共分三層，這三層給人以平行平面的感覺． 問題：(1)展館的每?jī)蓪铀诘钠矫嫫叫?，那么上層面上任一直線狀物體與下層地面有何位置關(guān)系？ (2)上下兩層所在的平面與側(cè)墻所在平面分別相交，它們的交線是什么位置關(guān)系？ 知識(shí)點(diǎn)1　平面與平面平行的判定定理 1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”) (1)如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的另一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行． (　　) (2)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線和另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行． (　　) (3)直線a∥平面β，直線b∥平面β，a?平面α，b?平面α?平面α∥平面β． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，下列結(jié)論正確的是(　　) A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′ C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′ D　[在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，上底面ABCD與下底面A′B′C′D′平行．] 知識(shí)點(diǎn)2　平面與平面平行的性質(zhì)定理 3．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”) (1)平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝直線a，平面 β∩平面γ＝直線b?直線a∥直線b． (　　) (2)平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β?a∥b． (　　) [答案]　(1)√　(2)× 4．平面α與圓臺(tái)的上、下底面分別相交于直線m，n，則m，n的位置關(guān)系是(　　) A．平行　　B．相交　　C．異面　　D．平行或異面 A　[因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面互相平行，所以由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知m∥n．] 5．已知長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，則EF與E′F′的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．相交 C．異面 D．不確定 A　[由面面平行的性質(zhì)定理易得．] 類型1　平面與平面平行的判定 【例1】　(對(duì)接教材P140例4)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F(xiàn)，N分別是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中點(diǎn)． 求證：(1)E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面； (2)平面MAN∥平面EFDB． [解]　(1)連接B1D1， ∵E，F(xiàn)分別是邊B1C1，C1D1的中點(diǎn)， ∴EF∥B1D1． 而BD∥B1D1，∴BD∥EF． ∴E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面． (2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD． 又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB． ∴MN∥平面EFDB． 連接MF．∵M(jìn)，F(xiàn)分別是A1B1，C1D1的中點(diǎn)， ∴MF∥A1D1，MF＝A1D1． ∴MF∥AD且MF＝AD． ∴四邊形ADFM是平行四邊形，∴AM∥DF． 又AM?平面BDFE，DF?平面BDFE， ∴AM∥平面BDFE． 又∵AM∩MN＝M， ∴平面MAN∥平面EFDB． 平面與平面平行的判定方法 (1)定義法：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)． (2)判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面． (3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β． (4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形．點(diǎn)M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求證：平面MNQ∥平面PBC． [證明]　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP． 又∵BP?平面PBC，NQ?平面PBC， ∴NQ∥平面PBC． ∵四邊形ABCD為平行四邊形． ∴BC∥AD，∴MQ∥BC． 又∵BC?平面PBC，MQ?平面PBC， ∴MQ∥平面PBC． 又∵M(jìn)Q∩NQ＝Q，MQ?平面MNQ，NQ?平面MNQ， ∴平面MNQ∥平面PBC． 類型2　平面與平面平行的性質(zhì) 【例2】　如圖，已知平面α∥平面β，P?α且P?β，過點(diǎn)P的直線m與α，β分別交于A，C，過點(diǎn)P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長(zhǎng)． 平面與平面平行性質(zhì)定理的條件有哪些？ [提示]　必須具備三個(gè)條件：①平面α和平面β平行，即α∥β； ②平面γ和α相交，即α∩γ＝a； ③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.,以上三個(gè)條件缺一不可. [解]　因?yàn)锳C∩BD＝P，所以經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD， 因?yàn)棣痢桅?，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD，所以eq \f(PA,AC)＝eq \f(PB,BD)，即eq \f(6,9)＝eq \f(8－BD,BD)，所以BD＝eq \f(24,5)． 將本例改為：若點(diǎn)P在平面α，β之間(如圖所示)，其他條件不變，試求BD的長(zhǎng)． [解]　與本例同理，可證AB∥CD． 所以eq \f(PA,PC)＝eq \f(PB,PD)，即eq \f(6,3)＝eq \f(BD－8,8)，所以BD＝24． 應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟 eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．已知三個(gè)平面α，β，γ滿足α∥β∥γ，直線a與這三個(gè)平面依次交于點(diǎn)A，B，C，直線b與這三個(gè)平面依次交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G．求證：eq \f(AB,BC)＝eq \f(EF,FG)． [證明]　連接AG交β于H，連接BH，F(xiàn)H，AE，CG． 因?yàn)棣隆桅?，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG， 所以BH∥CG．同理AE∥HF， 所以eq \f(AB,BC)＝eq \f(AH,HG)＝eq \f(EF,FG)， 所以eq \f(AB,BC)＝eq \f(EF,FG)． 類型3　平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 【例3】　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH． 求證：GH∥平面PAD． [證明]　如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO． ∵ABCD是平行四邊形， ∴O是AC的中點(diǎn)， 又M是PC的中點(diǎn)， ∴PA∥MO，而AP?平面BDM，OM?平面BDM， ∴PA∥平面BMD， 又∵PA?平面PAHG， 平面PAHG∩平面BMD＝GH， ∴PA∥GH． 又PA?平面PAD，GH?平面PAD， ∴GH∥平面PAD． 1．證明直線與直線平行的方法 (1)平面幾何中證明直線平行的方法．如同位角相等，兩直線平行；三角形中位線的性質(zhì)等． (2)基本事實(shí)4． (3)線面平行的性質(zhì)定理． (4)面面平行的性質(zhì)定理． 2．證明直線與平面平行的方法 (1)線面平行的判定定理． (2)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 3．如圖，三棱錐A-BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH． 求證：CD∥平面EFGH． [證明]　由于四邊形EFGH是平行四邊形， ∴EF∥GH． ∵EF?平面BCD，GH?平面BCD， ∴EF∥平面BCD．又∵EF?平面ACD， 平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD． 又∵EF?平面EFGH，CD?平面EFGH， ∴CD∥平面EFGH． 1．在正方體EFGH-E1F1G1H1中，下列四對(duì)截面彼此平行的是(　　) A．平面E1FG1與平面EGH1 B．平面FHG1與平面F1H1G C．平面F1H1E與平面FHE1 D．平面E1HG1與平面EH1G A　[根據(jù)面面平行的判定定理，可知A正確．] 2．(多選題)設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則α∥β的一個(gè)充分條件是(　　) A．存在一條直線a，a∥α，a∥β B．存在一條直線a，a?α，a∥β C．存在一個(gè)平面γ，滿足α∥γ，β∥γ D．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α CD　[對(duì)于選項(xiàng)A，若存在一條直線a，a∥α，a∥β，則α∥β或α與β相交．若α∥β，則存在一條直線a，使得a∥α，a∥β，所以選項(xiàng)A的內(nèi)容是α∥β的一個(gè)必要條件；同理，選項(xiàng)B的內(nèi)容也是α∥β的一個(gè)必要條件而不是充分條件；對(duì)于選項(xiàng)C，平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面顯然是平行的，故選項(xiàng)C的內(nèi)容是α∥β的一個(gè)充分條件；對(duì)于選項(xiàng)D，可以通過平移把兩條異面直線平移到其中一個(gè)平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以選項(xiàng)D的內(nèi)容是α∥β的一個(gè)充分條件．故選CD．] 3．若平面α∥平面β，直線a?α，點(diǎn)M∈β，過點(diǎn)M的所有直線中(　　) A．不一定存在與a平行的直線 B．只有兩條與a平行的直線 C．存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線 D．有且只有一條與a平行的直線 D　[由于α∥β，a?α，M∈β，過M有且只有一條直線與a平行，故D項(xiàng)正確．] 4．用一個(gè)平面去截三棱柱ABC-A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分別于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H． 若A1A>A1C1，則截面的形狀可以為________．(填序號(hào)) ①一般的平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形． ②⑤　[當(dāng)FG∥B1B時(shí)，四邊形EFGH為矩形；當(dāng)FG不與B1B平行時(shí)，四邊形EFGH為梯形．] 回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題： (1)平面與平面平行的判定定理是什么？還有哪些方法可以判斷平面與平面平行？ (2)平面與平面平行的性質(zhì)定理是什么？平面與平面平行的性質(zhì)還有哪些？ (3)如何實(shí)現(xiàn)線線平行、線面平行及面面平行的轉(zhuǎn)化？ 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．掌握空間平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能應(yīng)用這兩個(gè)定理解決問題．(重點(diǎn)) 2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．(難點(diǎn))1．通過平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)． 2．借助平行關(guān)系的綜合問題，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)．文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α作　用證明兩個(gè)平面平行文字語(yǔ)言兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b作用證明兩條直線平行

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