第2課時(shí)　球的表面積和體積 2019年9月28日，郎平率領(lǐng)的中國(guó)女排在日本大阪市中央體育館以3∶0戰(zhàn)勝塞爾維亞隊(duì)，十戰(zhàn)十勝，提前一輪鎖定2019年女排世界杯賽冠軍，第十次在世界“三大賽”登頂?shù)耐瑫r(shí)，也為新中國(guó)成立70周年獻(xiàn)上了厚禮． 問題：奧運(yùn)會(huì)中所使用的排球的體積和表面積是多少呢？ 知識(shí)點(diǎn)　球的表面積和體積 1．球的表面積 設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍． 2．球的體積 設(shè)球的半徑為R，則球的體積V＝eq \f(4,3)πR3． 1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”) (1)球的體積之比等于半徑比的平方． (　　) (2)球面展開一定是圓形的平面． (　　) (3)長(zhǎng)方體既有外接球又有內(nèi)切球． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．若球的過球心的圓面的周長(zhǎng)是C，則這個(gè)球的表面積是(　　) A．eq \f(C2,4π)　　　B．eq \f(C2,2π)　　　C．eq \f(C2,π)　　　D．2πC2 C　[由2πR＝C，得R＝eq \f(C,2π)，所以S球面＝4πR2＝eq \f(C2,π)．] 3．表面積為4π的球的半徑是________． 1　[設(shè)球的半徑為R，則S＝4πR2＝4π，得R＝1．] 4．若一個(gè)球的體積為36π，則它的表面積為________． 36π　[由eq \f(4,3)πR3＝36π，可得R＝3，因此其表面積S＝36π．] 類型1　球的表面積與體積 【例1】　(1)已知球的表面積為64π，求它的體積； (2)已知球的體積為eq \f(500,3)π，求它的表面積． [解]　(1)設(shè)球的半徑為r，則由已知得 4πr2＝64π，r＝4． 所以球的體積為V＝eq \f(4,3)×π×r3＝eq \f(256,3)π． (2)設(shè)球的半徑為R， 由已知得eq \f(4,3)πR3＝eq \f(500,3)π， 所以R＝5， 所以球的表面積為S＝4πR2＝4π×52＝100π． 求球的表面積與體積的一個(gè)關(guān)鍵和兩個(gè)結(jié)論 (1)關(guān)鍵：把握住球的表面積公式S球＝4πR2，球的體積公式V球＝eq \f(4,3)πR3是計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件．把握住公式，球的體積與表面積計(jì)算的相關(guān)題目也就迎刃而解了． (2)兩個(gè)結(jié)論：①兩個(gè)球的表面積之比等于這兩個(gè)球的半徑比的平方；②兩個(gè)球的體積之比等于這兩個(gè)球的半徑比的立方． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．如果兩個(gè)球的體積之比為8∶27，那么兩個(gè)球的表面積之比為________． 4∶9　[根據(jù)球的體積及表面積公式可知，兩個(gè)球的體積之比等于半徑之比的立方，表面積的比等于半徑之比的平方，因?yàn)閮蓚€(gè)球的體積之比為8∶27，所以兩個(gè)球的半徑之比為2∶3，所以兩個(gè)球的表面積的比為4∶9． ] 類型2　球的截面問題 【例2】　(1)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1． 球心O到平面α的距離為eq \r(2)，則此球的體積為(　　) A．eq \r(6)π　　　B．4eq \r(3)π　　　C．4eq \r(6)π　　　D．6eq \r(3)π (2)已知半徑為5的球的兩個(gè)平行截面圓的周長(zhǎng)分別為6π和8π，則這兩個(gè)截面間的距離為________． (1)B　(2)1或7　[(1)如圖， 設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點(diǎn)，則OO′＝eq \r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq \r(?\r(2)? 2＋1)＝eq \r(3)，即球的半徑為eq \r(3)， ∴V＝eq \f(4,3)π(eq \r(3))3＝4eq \r(3)π． (2)若兩個(gè)平行截面在球心同側(cè)，如圖①，則兩個(gè)截面間的距離為eq \r(52－32)－eq \r(52－42)＝1； 若兩個(gè)平行截面在球心異側(cè)，如圖②，則兩個(gè)截面間的距離為eq \r(52－32)＋eq \r(52－42)＝7． ] ①　　　　　　　?、? 如何求解球的截面問題？ [提示]　1．有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決． 2．注意一個(gè)直角三角形，即由球心距(球心到截面圓心的距離)、截面圓的半徑、球的半徑圍成一個(gè)直角三角形，滿足勾股定理． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M． 若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于_______． 16π　[如圖，圓M面積為3π， 則圓M半徑MB為eq \r(3)，設(shè)球O的半徑為R，則R2＝eq \f(1,4)R2＋3，得R＝2，則球O的表面積等于4π×22＝16π． ] 類型3　與球有關(guān)的切、接問題 【例3】　(1)一球與棱長(zhǎng)為2的正方體的各個(gè)面相切，則該球的體積為________． (2)正方體的表面積是a2，它的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是________． 1．若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則其外接球半徑R與三條棱長(zhǎng)有何關(guān)系？ [提示]　2R＝eq \r(a2＋b2＋c2)． 2．棱長(zhǎng)為a的正方體的外接球，其半徑R與棱長(zhǎng)a有何數(shù)量關(guān)系？其內(nèi)切球半徑R′與棱長(zhǎng)a呢？ [提示]　外接球半徑R＝eq \f(\r(3),2)a；內(nèi)切球半徑R′＝eq \f(1,2)a． 3．若一球與正方體的12條棱相切，則球半徑R與棱長(zhǎng)a有何數(shù)量關(guān)系？ [提示]　R＝eq \f(\r(2),2)a． (1) eq \f(4,3)π　(2) eq \f(πa2,2)　[(1)由題意可知球是正方體的內(nèi)切球，因此球的半徑為1，其體積為eq \f(4,3)π． (2)正方體內(nèi)接于球，則由球及正方體都是中心對(duì)稱圖形知，它們的中心重合．可見，正方體的體對(duì)角線是球的直徑．設(shè)球的半徑是r，則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)是2r．依題意，2r＝eq \r(3)·eq \r(\f(a2,6))，即r2＝eq \f(1,8)a2，所以S球＝4πr2＝4π·eq \f(1,8)a2＝eq \f(πa2,2)．] 將本例(1)變?yōu)椋洪L(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱長(zhǎng)分別是eq \r(3)，eq \r(3)，eq \r(6)，這個(gè)長(zhǎng)方體它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，這個(gè)球的表面積是(　　) A．12π　　　B． 18π　　　C．36π　　　D． 6π A　[由題意可知，該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為球的直徑，其長(zhǎng)度為2eq \r(3)，從而球的半徑為eq \r(3)，球表面積為12π．] 常見的幾何體與球的切、接問題的解決策略 (1)處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問題時(shí)，要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系，一般情況下，由于球的對(duì)稱性，球心總在幾何體的特殊位置，比如中心、對(duì)角線的中點(diǎn)等． (2)解決此類問題的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑，關(guān)鍵是根據(jù)“切點(diǎn)”和“接點(diǎn)”，作出軸截面圖，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來計(jì)算． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 3．圓柱內(nèi)接于球，圓柱的底面半徑為3，高為8，則球的表面積為________． 100π　[如圖，由條件知，O1A＝3，OO1＝4，所以O(shè)A＝5，所以球的表面積為100π． ] 4．正四面體的內(nèi)切球、棱切球(與各條棱均相切的球)及外接球的半徑之比為________． 1∶eq \r(3)∶3　[設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，外接球和內(nèi)切球半徑分別為R，r．如圖所示，D為AB的中點(diǎn)，SE⊥CD，則線段SE為正四面體SABC的高，且SE＝eq \r(SD2－DE2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(6),3)，V正四面體SABC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(\r(2),12)．由正四面體的性質(zhì)知三個(gè)球的球心重合，且球心O在線段SE上，則R＋r＝OS＋OE＝SE＝eq \f(\r(6),3)，V正四面體SABC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×r×4＝eq \f(\r(3),3)r＝eq \f(\r(2),12)，所以r＝eq \f(\r(6),12)，R＝eq \f(\r(6),4)，而棱切球的半徑為OD＝eq \r(r2＋DE2)＝eq \f(\r(2),4)，則正四面體的內(nèi)切球、棱切球及外接球的半徑之比為eq \f(\r(6),12)∶eq \f(\r(2),4)∶eq \f(\r(6),4)＝1∶eq \r(3)∶3．] 1．直徑為6的球的表面積和體積分別是(　　) A．36π，144π　　　 B．36π，36π C．144π，36π D．144π，144π B　[球的半徑為3，表面積S＝4π·32＝36π，體積V＝eq \f(4,3)π·33＝36π．] 2．若一個(gè)實(shí)心球?qū)Π敕殖蓛砂牒蟊砻娣e增加了4π，則原來實(shí)心球的表面積為(　　) A．4π　　　　B．8π　　　　C．12π　　　　D．16π B　[設(shè)實(shí)心球的半徑為R．由題意可得，2πR2＝4π，∴原來實(shí)心球的表面積為4πR2＝8π．故選B．] 3．若兩個(gè)球的表面積之差為48π，其直徑所在圓的周長(zhǎng)之和為12π，則這兩個(gè)球的半徑之差為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 C　[設(shè)兩個(gè)球的半徑分別為R，r(R＞r)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4πR2－4πr2＝48π，,2πR＋2πr＝12π，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(R2－r2＝12，,R＋r＝6，))所以R－r＝2．] 4．一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在體積為eq \f(4,3)π的球面上，則正方體的表面積為________． 8　[設(shè)球的半徑為R，正方體的棱長(zhǎng)為a， 則eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π，故R＝1，由eq \r(3)a＝2R＝2，所以a＝eq \f(2,\r(3))，所以正方體的表面積為S＝6a2＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))eq \s\up12(2)＝8．] 5．已知過球面上A，B，C三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，則球的表面積為________． eq \f(64,9)π　[設(shè)截面圓心為O′，球心為O，連接O′A，OA，OO′， 設(shè)球的半徑為R． 因?yàn)镺′A＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)×2＝eq \f(2\r(3),3)． 在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2， 所以R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)R2， 所以R＝eq \f(4,3)， 所以S球＝4πR2＝eq \f(64,9)π．] 回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題： (1)球的表面積和體積公式是什么？ (2)解決球的截面問題的關(guān)鍵是什么？ (3)如何確定空間幾何體的外接球和內(nèi)切球的半徑？ 我國(guó)古代數(shù)學(xué)中球的體積公式 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式d≈eq \r(3,\f(16,9)V)．實(shí)際上，“開立圓術(shù)”認(rèn)為，球的體積V≈eq \f(9,16)d3． 不過，我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》作注時(shí)就發(fā)現(xiàn)，上述公式的近似效果并不好，于是想到了推算球體積的方法，他創(chuàng)造了一個(gè)稱為“牟合方蓋”的立體圖形．如圖1所示，在一個(gè)立方體內(nèi)作兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱，其相交的部分，就是牟合方蓋，如圖2所示． 圖1 圖2 牟合方蓋恰好把立方體的內(nèi)切球包含在內(nèi)并且同球相切．如果用同一水平面去截它們，就得到一個(gè)圓(球的截面)和它的外切正方形(牟合方蓋的截面)．劉徽指出，在每一高度的水平截面圓與其外切正方形的面積之比等于eq \f(π,4)，因此球體積與牟合方蓋體積之比也應(yīng)該等于eq \f(π,4)．因此，只要知道了牟合方蓋的體積，就能得出球的體積．遺憾的是，劉徽當(dāng)時(shí)并沒有得出牟合方蓋的體積，他說“敢不闕疑，以候能言者”． 劉徽所盼的“能言者”過了兩百多年才出現(xiàn)，那就是祖沖之和他的兒子祖暅．祖氏父子繼承了劉徽的思路，即從計(jì)算牟合方蓋體積來突破．他們考慮了立方體切除牟合方蓋之后的那部分的體積，取牟合方蓋的八分之一，考慮它與其外切正方體所圍成的立體，如圖3(1)所示．將它分成四個(gè)小立體，如圖3(2)、3(3)、3(4)、3(5)所示．其中圖3(2)就是牟合方蓋的八分之一．祖氏父子通過考察截面的面積發(fā)現(xiàn)，圖3(3)、3(4)、3(5)的立體體積之和等于如圖3(6)所示的四棱錐體積，這個(gè)四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都等于如圖3(1)所示的正方體的邊長(zhǎng)． 因此，如果設(shè)球的半徑為r，則圖3(1)中的正方體邊長(zhǎng)也為r，從而可知八分之一牟合方蓋的體積為r3－eq \f(1,3)r3＝eq \f(2,3)r3．因此牟合方蓋的體積為eq \f(16,3)r3．再結(jié)合劉徽所得到的結(jié)論，就可以知道球的體積為eq \f(4,3)πr3． 上面的介紹中，多次使用了“祖暅原理”，所涉及的計(jì)算也都沒有超出高中數(shù)學(xué)的范圍，感興趣的同學(xué)再仔細(xì)推敲一遍吧！ (1)　　　　(2) (3)　 　　(4) (5)　　　　　(6) 圖3 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．了解并掌握球的體積和表面積公式． 2．會(huì)用球的體積與表面積公式解決實(shí)際問題．(重點(diǎn)) 3．會(huì)解決球的切、接問題．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))1．通過對(duì)球的概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)． 2．通過學(xué)習(xí)球的表面積、體積公式，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

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