8.3　簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積 8.3.1　棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積 胡夫大金字塔底邊原長(zhǎng)230米，高146.59米，經(jīng)風(fēng)化腐蝕，現(xiàn)降至136.5米，塔的底角為51°51′．假如把建造金字塔的石塊鑿成均等的小塊，平均每塊重2.5噸，像一輛小汽車那樣大． 問(wèn)題：(1)如何計(jì)算建此金字塔需用多少石塊？ (2)如果在金字塔的表面涂上一層保護(hù)液以防止風(fēng)化腐蝕，如何計(jì)算保護(hù)液的使用量？ 知識(shí)點(diǎn)1　棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積 多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和． 1．棱長(zhǎng)都是3的三棱錐的表面積S為_(kāi)_______． 9eq \r(3)　[因?yàn)槿忮F的四個(gè)面是全等的正三角形，所以S＝4×eq \f(\r(3),4)×32＝9eq \r(3)．] 2．正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則它的側(cè)面積為_(kāi)_______，表面積為_(kāi)_______． 6　6＋eq \f(\r(3),2)　[正三棱柱底面為正三角形，側(cè)面為三個(gè)全等的矩形，所以側(cè)面積為3×1×2＝6；S表面積＝2×eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(3),2)＋6＝6＋eq \f(\r(3),2)．] 知識(shí)點(diǎn)2　棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 1．一般地，如果棱柱的底面積是S，高是h，那么這個(gè)棱柱的體積V棱柱＝Sh． 2．一般地，如果棱錐的底面面積是S，高是h，那么該棱錐的體積V棱錐＝eq \f(1,3)Sh． 3．如果棱臺(tái)的上、下底面面積分別為S′，S，高是h，那么這個(gè)棱臺(tái)的體積V棱臺(tái)＝eq \f(1,3)h(S′＋eq \r(S′S)＋S)． 簡(jiǎn)單組合體分割成幾個(gè)幾何體，其表面積不變嗎？其體積呢？ [提示]　表面積變大了，而體積不變． 3．長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為1,2,3，則長(zhǎng)方體的體積與表面積分別為(　　) A．6,22　　　B．3,22　　　C．6,11　　　D．3,11 A　[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22．] 4．已知高為3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，如圖所示，則三棱錐B1-ABC的體積為(　　) A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(3),6) D．eq \f(\r(3),4) D　[由題意知，三棱錐B1-ABC的高h(yuǎn)＝3，則V三棱錐B1-ABC＝eq \f(1,3)S△ABCh＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×3＝eq \f(\r(3),4)．] 類型1　棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積 【例1】　如圖是一個(gè)搭建好的帳篷，它的下部是一個(gè)正六棱柱，上部是一個(gè)正六棱錐，其中帳篷的高為PO，正六棱錐的高為PO1，且PO＝3PO1．當(dāng)PO1＝2 m，PA1＝4 m時(shí)，求帳篷的表面積． [解]　連接O1A1，因?yàn)镻O1＝2 m，PA1＝4 m， 所以A1B1＝A1O1＝eq \r(42－22) ＝2eq \r(3)(m)， 取A1B1的中點(diǎn)為Q，連接O1Q，PQ，易得PQ⊥A1B1． 所以A1Q＝eq \f(1,2)O1A1＝eq \r(3)，PQ＝eq \r(PA\o\al(2,1)－A1Q2)＝eq \r(13)(m)， 設(shè)帳篷上部的側(cè)面積為S1，下部的側(cè)面積為S2， 所以S1＝6×eq \f(1,2)A1B1·PQ＝6eq \r(39)(m2)， S2＝6A1B1·OO1＝48eq \r(3)(m2)， 所以該帳篷的表面積為S1＋S2＝(6eq \r(39)＋48eq \r(3))(m2)． 若把題目條件中“帳篷”改為“用某種材料制成條件中所示組合體形狀的封閉容器”，表面積為多少？ [解]　若為封閉容器，則表面積應(yīng)在原來(lái)基礎(chǔ)上加上底面面積．底面是邊長(zhǎng)為2eq \r(3)的正六邊形，它可以分成6個(gè)全等的正三角形，所以底面積為6×eq \f(\r(3),4)×(2eq \r(3))2＝18eq \r(3)(m2)．故容器的表面積為6eq \r(39)＋48eq \r(3)＋18eq \r(3)＝(6eq \r(39)＋66eq \r(3))(m2)． 求幾何體的表面積問(wèn)題，通常將所給幾何體分成基本幾何體，再通過(guò)這些基本幾何體的表面積進(jìn)行求和或作差，從而獲得幾何體的表面積，另外有時(shí)也會(huì)用到將幾何體展開(kāi)求其展開(kāi)圖的面積進(jìn)而得表面積. eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長(zhǎng)為a時(shí)，該三棱錐的表面積是(　　) A．eq \f(3＋\r(3),4)a2　　　　 B．eq \f(3,4)a2 C．eq \f(3＋\r(3),2)a2 D．eq \f(6＋\r(3),4)a2 A　[∵側(cè)面都是等腰直角三角形，故側(cè)棱長(zhǎng)等于eq \f(\r(2),2)a， ∴S表＝eq \f(\r(3),4)a2＋3×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq \s\up12(2)＝eq \f(3＋\r(3),4)a2．] 2．現(xiàn)有一個(gè)底面是菱形的直四棱柱，它的體對(duì)角線長(zhǎng)為9和15，高是5，則該直四棱柱的側(cè)面積為_(kāi)_______． 160　[如圖，設(shè)底面對(duì)角線AC＝a，BD＝b，交點(diǎn)為O，對(duì)角線A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56． ∵該直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(a2＋b2,4)＝eq \f(200＋56,4)＝64， ∴AB＝8．∴直四棱柱的側(cè)面積S＝4×8×5＝160．] 類型2　棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 【例2】　(對(duì)接教材P115例2)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a．截面A1DB將正方體分成兩部分，其體積分別為V1，V2，且V2＞V1． (1)求V1，V2以及V1∶V2； (2)求點(diǎn)A到平面A1BD的距離d． [解]　(1)截面將正方體化為兩個(gè)幾何體，其中較小部分是一個(gè)三棱錐A1-ABD， 其中底面△ABD是腰長(zhǎng)為a的等腰直角三角形，其面積S＝eq \f(1,2)×AB×AD＝eq \f(1,2)a2． 底面ABD上的高為h＝AA1＝a． 所以其體積V1＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)a2×a＝eq \f(1,6)a3． 正方體的體積V＝a3， 所以V2＝V－V1＝a3－eq \f(1,6)a3＝eq \f(5,6)a3， 所以V1∶V2＝1∶5． (2)三棱錐A1-ABD與三棱錐A-A1BD是同一個(gè)幾何體．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝eq \r(2)a， 取BD的中點(diǎn)H，連接A1H， 則A1H⊥BD，BH＝HD＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(\r(2),2)a， 所以A1H＝eq \r(A1B2－BH2)＝eq \r(?\r(2)a?2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(6),2)a． 其面積S2＝eq \f(1,2)BD·A1H＝eq \f(1,2)×eq \r(2)a×eq \f(\r(6),2)a＝eq \f(\r(3),2)a2． 因?yàn)閂eq \s\do7(A1-ABD)＝Veq \s\do7(A-A1BD)，即eq \f(1,6)a3＝eq \f(1,3)S2·d， 所以eq \f(1,6)a3＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)a2×d， 解得d＝eq \f(\r(3),3)a，即點(diǎn)A到平面A1BD的距離為eq \f(\r(3),3)a． 若本例中的正方體改為長(zhǎng)方體，則對(duì)應(yīng)截面將該幾何體分成兩部分的體積之比是否會(huì)發(fā)生變化？試證明你的結(jié)論． [解]　比值沒(méi)發(fā)生變化，證明如下，不妨設(shè)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c．截面將長(zhǎng)方體分為兩個(gè)幾何體，其中較小部分是一個(gè)三棱錐A1-ABD，底面△ABD是兩直角邊分別為a，b的直角三角形，其面積S＝eq \f(1,2)×AB×AD＝eq \f(1,2)ab．底面ABD上的高h(yuǎn)＝AA1＝c，所以其體積V1＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)ab×c＝eq \f(1,6)abc．長(zhǎng)方體的體積V＝abc，所以V2＝V－V1＝a3－eq \f(1,6)a3＝eq \f(5,6)a3．所以V1∶V2＝1∶5，故比值沒(méi)發(fā)生變化． 求幾何體體積的常用方法 eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 3．在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1-ABC，三棱錐B-A1B1C，三棱錐C-A1B1C1的體積之比． [解]　設(shè)三棱臺(tái)的高為h，S△ABC＝S，則Seq \s\do7(△A1B1C1)＝4S． ∴VA1-ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·h＝eq \f(1,3)Sh， VC-A1B1C1＝eq \f(1,3)Seq \s\do7(△A1B1C1)·h＝eq \f(4,3)Sh． 又V臺(tái)＝eq \f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq \f(7,3)Sh， ∴VB-A1B1C＝V臺(tái)－VA1-ABC－VC-A1B1C1 ＝eq \f(7,3)Sh－eq \f(Sh,3)－eq \f(4Sh,3)＝eq \f(2,3)Sh， ∴三棱錐A1-ABC，B-A1B1C與C-A1B1C1的體積比為1∶2∶4． 類型3　與正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)有關(guān)的體積和表面積問(wèn)題 【例3】　一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3eq \r(2) cm，側(cè)棱長(zhǎng)為5 cm，則它的體積為_(kāi)_______ cm3，表面積為_(kāi)_______ cm2． 24　18＋6eq \r(41)　[如圖，∵正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為3eq \r(2) cm， ∴S正方形ABCD＝18 cm2． 連接AC，BD，交于點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥底面ABCD，OC＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×3eq \r(2)×eq \r(2)＝3(cm)， 又棱長(zhǎng)PC＝5 cm，∴OP＝eq \r(52－32)＝4(cm)， ∴VP-ABCD＝eq \f(1,3)×18×4＝24(cm3)． 取BC邊的中點(diǎn)E，連接PE，則PE為等腰三角形PBC的高，在Rt△PBE中，PE＝eq \r(PB2－BE2)＝ eq \r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(82),2)(cm)． S側(cè)＝4×eq \f(1,2)×3eq \r(2)×eq \f(\r(82),2)＝6eq \r(41)(cm2)， S表＝(18＋6eq \r(41))(cm2)．] 正棱錐的性質(zhì) (1)正棱錐的各側(cè)棱都相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，側(cè)面等腰三角形底邊上的高叫做棱錐的斜高； (2)從頂點(diǎn)向底面作垂線，垂足為底面(正多邊形)的中心； (3)棱錐的底面及平行于底面的截面為相似的多邊形． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 4．正四棱臺(tái)(由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái))的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2 cm和6 cm，兩底面之間的距離為2 cm，則該四棱臺(tái)的側(cè)面積為_(kāi)_______． 32eq \r(2) cm2　[如圖，取上、下底面中心O1，O，B1C1和BC的中點(diǎn)E1，E．在直角梯形OEE1O1中，EE1為側(cè)面等腰梯形的高，過(guò)E1作E1H垂直于OE，垂足為H，OO1＝2 cm，O1E1＝1 cm，OE＝3 cm，∴HE＝2 cm． 在Rt△EHE1中，E1E＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)(cm)． ∴S側(cè)＝4×eq \f(1,2)×(2＋6)×2eq \r(2)＝32eq \r(2)(cm2)．] 1．若正方體的表面積為96，則正方體的體積為(　　) A．48eq \r(6)　　　　B．64　　　　C．16　　　　D．96 B　[設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64．] 2．若正方體的棱長(zhǎng)為eq \r(2)，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的表面積為(　　) A．eq \f(\r(2),3) B．2eq \r(3) C．eq \r(3) D．eq \f(\r(2),6) B　[所求凸多面體的表面積是兩個(gè)底面 邊長(zhǎng)為1，高為eq \f(\r(2),2)的四棱錐的側(cè)面積之和，如圖，四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)l＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(12＋12),2)))eq \s\up12(2))＝1， 所以，以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的表面積S＝8×eq \f(1,2)×1×1×sin 60°＝2eq \r(3)．故選B．] 3．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1-EDF的體積為_(kāi)_______． eq \f(1,6)　[利用三棱錐的體積公式直接求解． Veq \s\do7(D1-EDF)＝Veq \s\do7(F-DD1E)＝eq \f(1,3)Seq \s\do7(△D1DE)·AB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×1＝eq \f(1,6)．] 4．把一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則所有小正方體的表面積為_(kāi)_______． 18a2　[原正方體的棱長(zhǎng)為a，切成的27個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)為eq \f(1,3)a，每個(gè)小正方體的表面積S1＝eq \f(1,9)a2×6＝eq \f(2,3)a2，所以27個(gè)小正方體的表面積是eq \f(2,3)a2×27＝18a2．] 5．如圖所示，三棱錐的頂點(diǎn)為P，PA，PB，PC為三條側(cè)棱，且PA，PB，PC兩兩互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，則三棱錐P-ABC的體積V＝________． 4　[三棱錐的體積V＝eq \f(1,3)Sh，其中S為底面積，h為高，而三棱錐的任意一個(gè)面都可以作為底面，所以此題可把B看作頂點(diǎn)，△PAC作為底面求解． 故V＝eq \f(1,3)S△PAC·PB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×4×3＝4．] 回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題： (1)如何求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積？ (2)正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的表面積和體積有什么特點(diǎn)？ 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．通過(guò)對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積的求法．(重點(diǎn)) 2．會(huì)求與棱柱、棱錐、棱臺(tái)有關(guān)的組合體的表面積與體積．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1．借助棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積、體積的計(jì)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)． 2．通過(guò)對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的探究，提升邏輯推理的素養(yǎng)．

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