第8章立體幾何初步8.1第1課時棱柱棱錐棱臺的結(jié)構(gòu)特征學(xué)案含解析-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

8.1　基本立體圖形第1課時　棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征觀察下面的圖片，小到精巧的家居裝飾，大到宏偉的龐大建筑；從遠(yuǎn)古的金字塔，到現(xiàn)代的國家大劇院、埃菲爾鐵塔，設(shè)計師、建筑師們匠心獨具，為我們留下了精美絕倫的建筑物，每當(dāng)看到這些建筑物都會給人以震撼的美．問題：那么設(shè)計師是如何設(shè)計這些建筑物的呢？應(yīng)用到哪些數(shù)學(xué)知識呢？知識點1　空間幾何體的定義、分類與相關(guān)概念 1．空間幾何體：如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體． 2．分類：常見的空間幾何體有多面體和旋轉(zhuǎn)體兩類． 3．多面體和旋轉(zhuǎn)體 1．觀察下列圖片，這些都是我們?nèi)粘Ｊ熘囊恍┪矬w： ① 　　②　 ?、邸? ?、堋? 　⑤　 ?、?(1)哪些物體圍成它們的每個面都是平面圖形，并且都是平面多邊形？ (2)哪些物體圍成它們的面中既有平面圖形，又有曲面圖形？ (3)哪些物體圍成它們的面都是曲面圖形？ [提示]　(1)②④；(2)①③⑤；(3)⑥ 1．下列實物不能近似看成多面體的是(　　) A．鉆石　　　B．骰子　　　C．足球　　　D．金字塔 C　[鉆石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多邊形，所以它們都能近似看成多面體．足球的表面不是平面多邊形，故不能近似看成多面體．] 知識點2　棱柱的結(jié)構(gòu)特征 1．棱柱的結(jié)構(gòu)特征 2．棱柱的分類直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱．斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱．正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱．平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱． 3．常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系四棱柱eq \o(――――――――→,\s\up7(底面為平行四邊形))平行六面體eq \o(―――――――→,\s\up7(側(cè)棱與底面垂直))直平行六面體eq \o(―――――→,\s\up7(底面為矩形))長方體eq \o(――――――→,\s\up7(底面為正方形))正四棱柱eq \o(――――→,\s\up7(棱長相等))正方體 2．棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形嗎？ [提示]　根據(jù)棱柱的概念可知，棱柱側(cè)面一定是平行四邊形． 2．下列命題正確的是(　　) A．四棱柱是平行六面體 B．直平行六面體是長方體 C．長方體的六個面都是矩形 D．底面是矩形的四棱柱是長方體 C　[底面是平行四邊形的四棱柱才是平行六面體，選項A錯誤；底面是矩形的直平行六面體才是長方體，選項B錯誤；底面是矩形的直四棱柱才是長方體，選項D錯誤；選項C顯然正確．] 知識點3　棱錐的結(jié)構(gòu)特征 3．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體一定是棱錐嗎？ [提示]　不一定．因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”． 3．在三棱錐A-BCD中，可以當(dāng)作棱錐底面的三角形的個數(shù)為(　　) A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4 D　[每個三角形都可以作為底面．] 知識點4　棱臺的結(jié)構(gòu)特征 4．棱臺的上下底面互相平行，各側(cè)棱延長線一定相交于一點嗎？ [提示]　根據(jù)棱臺的定義可知其側(cè)棱延長線一定交于一點． 4．下面四個幾何體中，是棱臺的是(　　) 　　　　　　 A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　D C　[A項中的幾何體是棱柱． B項中的幾何體是棱錐； D項中的幾何體的棱AA′，BB′，CC′，DD′沒有交于一點，則D項中的幾何體不是棱臺； C項中的幾何體是由一個棱錐被一個平行于底面的平面截去一個棱錐剩余的部分，符合棱臺的定義，是棱臺．故選：C．] 類型1　棱柱的結(jié)構(gòu)特征【例1】　(1)下列命題中，正確的是(　　) A．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱 B．棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面 C．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但底面不是平行四邊形 D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形 (2)如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1． ①這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？ ②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？若是，請指出它們的底面． (1)D　[由棱柱的定義可知，只有D正確，分別構(gòu)造圖形如下： ①　　　　　②　　　　　?、?圖①中平面ABCD與平面A1B1C1D1平行，但四邊形ABCD與A1B1C1D1不全等，故A錯；圖②中正六棱柱的相對側(cè)面ABB1A1與EDD1E1平行，但不是底面，B錯；圖③中直四棱柱底面ABCD是平行四邊形，C錯，故選D．] (2)[解]?、匍L方體是四棱柱．因為它有兩個平行的平面ABCD與平面A1B1C1D1，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，這符合棱柱的定義． ②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，其中一部分，有兩個平行的平面BB1M與平面CC1N，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，這符合棱柱的定義，所以是三棱柱，可用符號表示為三棱柱BB1M-CC1N．同理，另一部分也是棱柱，可以用符號表示為四棱柱ABMA1-DCND1．有關(guān)棱柱結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略 (1)有關(guān)棱柱概念辨析問題應(yīng)緊扣棱柱定義： ①兩個面互相平行； ②其余各面是四邊形； ③相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行．求解時，首先看是否有兩個面平行，再看是否滿足其他特征． (2)多注意觀察一些實物模型和圖片便于反例排除． eq \o([跟進訓(xùn)練]) 1．(多選題)下列關(guān)于棱柱的說法正確的是(　　) A．所有棱柱的兩個底面都平行 B．所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余每相鄰面的公共邊互相平行 C．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱 D．棱柱至少有五個面 ABD　[對于A、B、D，顯然是正確的；對于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱．如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯誤．] 類型2　棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征【例2】　(1)(多選題)下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法，正確的是(　　) A．棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形 B．棱錐的側(cè)面只能是三角形 C．由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐 D．棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐 (2)判斷如圖所示的幾何體是不是棱臺，為什么？ (1)ABC　[A正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；B正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；C正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；D錯誤，如圖所示，四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．] (2)[解]?、佗冖鄱疾皇抢馀_．因為①和③都不是由棱錐所截得的，故①③都不是棱臺，雖然②是由棱錐所截得的，但截面和底面不平行，故不是棱臺，只有用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分才是棱臺．根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征如何辨析其為棱錐還是棱臺？ [提示]　(1)舉反例法結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確． (2)直接法 eq \o([跟進訓(xùn)練]) 2．下列幾何體中，________是棱柱，________是棱錐，________是棱臺．(僅填相應(yīng)序號) ①③④ ?、??、?　[結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺的定義可知①③④是棱柱，⑥是棱錐，⑤是棱臺．] 類型3　多面體的表面展開圖【例3】　(1)某同學(xué)制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的平面展開圖應(yīng)該為(對面是相同的圖案)(　　) (2)如圖是三個幾何體的平面展開圖，請問各是什么幾何體？ 1．棱柱的側(cè)面展開圖是什么圖形？正方體的表面展開圖又是怎樣的？ [提示]　棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形；正方體的表面展開圖如圖： 2．棱臺的側(cè)面展開圖又是什么樣的？ [提示]　棱臺的側(cè)面展開圖是多個相連的梯形． (1)A　[由選項驗證可知選A．] (2)[解]　圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，符合棱柱特點；圖②中，有5個三角形，且具有共同的頂點，還有一個五邊形，符合棱錐特點；圖③中，有3個梯形，且其腰的延長線交于一點，還有兩個相似的三角形，符合棱臺的特點．把平面展開圖還原為原幾何體，如圖所示．所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺．將本例(2)的條件改為：一個幾何體的平面展開圖如圖所示． (1)該幾何體是哪種幾何體？ (2)該幾何體中與“?！弊置嫦鄬Φ氖悄膫€面？與“你”字面相對的是哪個面？ [解]　(1)該幾何體是四棱臺． (2)與“?！毕鄬Φ拿媸恰扒啊?，與“你”相對的面是“程”．多面體展開圖問題的解題策略 (1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中，常常給多面體的頂點標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖． (2)由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推．同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖． eq \o([跟進訓(xùn)練]) 3．某人用如圖所示的紙片，沿折痕向紙外折后粘成一個四棱錐形的“走馬燈”(字在燈的外表面)，正方形做燈底，且有一個三角形面上寫上了“年”字，當(dāng)燈逆時針旋轉(zhuǎn)時，正好看到“新年快樂”的字樣，則在①，②，③處應(yīng)依次寫上(　　) A．快、新、樂　　 B．樂、新、快 C．新、樂、快 D．樂、快、新 A　[根據(jù)四棱錐圖形，當(dāng)燈逆時針旋轉(zhuǎn)時，正好看到“新年快樂”的字樣，可知順序為②年①③，故選A．] 1．下列說法正確的是(　　) A．棱柱中相鄰兩個面的公共邊叫做側(cè)棱 B．棱柱中至少有兩個面的形狀完全相同 C．棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面 D．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱 B　[A錯誤，底面和側(cè)面的公共邊不是側(cè)棱；B正確，根據(jù)棱柱的特征知，棱柱的兩個底面一定是全等的，故棱柱中至少有兩個面的形狀完全相同；C錯誤，正六棱柱的兩個相對側(cè)面互相平行；D錯誤，“其余各面都是平行四邊形”并不能保證“相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”，如圖所示的幾何體就不是棱柱．] 2．棱臺不具備的特點是(　　) A．兩底面相似　 B．側(cè)面都是梯形 C．側(cè)棱都相等 D．側(cè)棱延長后都交于一點 C　[由于棱錐的側(cè)棱不一定相等，所以棱臺的側(cè)棱都相等的說法是錯誤的．] 3．有一個多面體，共有四個面圍成，每一個面都是三角形，則這個幾何體為(　　) A．四棱柱　　B．四棱錐　　C．三棱柱　　D．三棱錐 D　[根據(jù)棱錐的定義可知該幾何體是三棱錐．] 4．下列圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個棱柱的是(　　) A　　　　　B　　　　C　　　　　D D　[A，B，C中底面多邊形的邊數(shù)與側(cè)面數(shù)不相等．] 5．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則在正方體表面上，從頂點A到頂點C1的最短距離為________． 2eq \r(5)　[將側(cè)面ABB1A1與上底面A1B1C1D1展開在同一平面上，連接AC1，則線段AC1的長即為所求．如圖，AC1＝2eq \r(5)．] 回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題： (1)空間幾何體的定義、分類是什么？ (2)棱柱、棱錐、棱臺各有什么幾何特征？ (3)如何解決多面體的表面展開圖？學(xué) 習(xí) 任務(wù)核心素養(yǎng)1．通過對實物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征．(重點) 2．理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系．(難點) 3．能運用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)和有關(guān)計算．(易混點)通過空間幾何體概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．類別多面體旋轉(zhuǎn)體定義一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體(1)一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面． (2)封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體圖形相關(guān)概念(1)面：圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面． (2)棱：兩個面的公共邊叫做多面體的棱． (3)頂點：棱與棱的公共點叫做多面體的頂點軸：形成旋轉(zhuǎn)面所繞的定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸定義一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱圖示及相關(guān)概念底面：兩個互相平行的面；側(cè)面：底面以外的其余各面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；頂點：側(cè)面與底面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱，四棱柱……定義有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐圖示及相關(guān)概念底面：多邊形面；側(cè)面：有公共頂點的各個三角形面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；頂點：各側(cè)面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐，四棱錐，……，其中三棱錐又叫四面體．底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫正棱錐定義用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺圖示及相關(guān)概念上底面：原棱錐的截面；下底面：原棱錐的底面；側(cè)面：除上下底面以外的面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；頂點：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點分類由幾棱錐截得，如三棱臺、四棱臺……棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點