第十章　概　率微專題4　古典概型的應(yīng)用古典概型求概率問題在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，在解決這類問題時，首先要審題，正確理解樣本點(diǎn)與事件的關(guān)系，求某個事件包含的樣本點(diǎn)的常用方法是列舉法(畫樹狀圖、列表).注意做到不重不漏，對于用直接方法難以解決的問題，可以先求其對立事件的概率，再求所求概率.一、“放回”與“不放回”問題例1　一個盒子里裝有完全相同的十個小球，分別標(biāo)上1,2,3，…，10這10個數(shù)字，現(xiàn)隨機(jī)地抽取兩個小球，如果：(1)抽取是不放回的；解　設(shè)事件A：兩個小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù).則事件A包括的樣本點(diǎn)有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)，共18個.(2)抽取是有放回的.求兩個小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率.抽取問題是古典概型的常見問題，解決此類問題需要注意兩點(diǎn)：一是所給問題是否需要將被抽取的個體進(jìn)行區(qū)分才能滿足古典概型的條件，二是看抽取的方式是有放回還是不放回，兩種抽取方式對樣本點(diǎn)的總數(shù)有影響.另外，不放回抽樣看作無序或有序抽取均可，有放回抽樣要看作有序抽取.二、概率模型的多角度構(gòu)建例2　口袋里裝有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，4個人按順序依次從中摸出一個球.試計算第二個人摸到白球的概率.解　方法一　需要找出4個人按順序依次摸球的樣本點(diǎn)總數(shù)和第二個人摸到白球的樣本點(diǎn)數(shù).解題過程如下：用A表示事件“第二個人摸到白球”，把2個白球編上序號1,2；2個黑球也編上序號1,2.于是，4個人按順序依次從袋中摸出一個球的所有樣本點(diǎn)，可用樹狀圖直觀地表示出來，如圖所示：由上圖可知，試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù)是24，由于口袋內(nèi)的4個球除顏色外完全相同，所以，這24個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同，其中，第二個人摸到白球的樣本點(diǎn)有12個，方法二　把2個白球編上序號1,2，兩個黑球也編上序號1,2,4個人按順序依次從袋中摸出一球，前兩人摸出的球的所有樣本點(diǎn)如圖所示：由圖可知，試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù)是12，由于口袋內(nèi)的4個球除顏色外完全相同，所以這12個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同，其中，第二個人摸到白球的樣本點(diǎn)有6個，當(dāng)事件個數(shù)沒有很明顯的規(guī)律，并且涉及的樣本點(diǎn)又不是太多時，我們可借助樹狀圖直觀地將其表示出來，這是進(jìn)行列舉的常用方法.樹狀圖可以清晰準(zhǔn)確地列出所有的樣本點(diǎn)，并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的情況.另外，如果試驗(yàn)結(jié)果具有對稱性，可簡化結(jié)果以便于模型的建立與解答.三、“正難則反”思想，利用對立事件求概率例3　有3個完全相同的小球a，b，c，隨機(jī)放入甲、乙兩個盒子中，求兩個盒子都不空的概率.解　a，b，c三個小球隨機(jī)放入甲、乙兩個盒子的基本事件為：兩個盒子都不空的對立事件是至少有一個盒子為空，所包含事件：甲盒子a，b，c，乙盒子空；在求解較復(fù)雜事件的概率時，可將其分解為幾個互斥的簡單事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得或采用正難則反的原則，轉(zhuǎn)化為其對立事件，再用公式P(A)＝1－P( )求得.四、古典概型的綜合應(yīng)用例4　甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.(1)設(shè)(i，j)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出試驗(yàn)的樣本空間；解　方片4用4′表示，試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，則樣本點(diǎn)的總數(shù)為12.(2)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，否則，乙勝.你認(rèn)為此游戲是否公平？說明你的理由.解　不公平.甲抽到牌的牌面數(shù)字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5種，游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法(1)游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說獲勝的可能性或概率是否相同.若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平.(2)具體判斷時，可以按所給規(guī)則求出雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較.本課結(jié)束

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