6.1.2 向量的幾何表示
6.1.3 相等向量與共線向量
1．向量與數(shù)量
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)數(shù)量：只有大小沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量．
2．向量的幾何表示
(1)具有方向的線段叫做有向線段．它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．
(2)向量可以用有向線段eq \(AB,\s\up14(→))來(lái)表示．向量eq \(AB,\s\up14(→))的大小稱為向量 eq \(AB,\s\up14(→))的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|eq \(AB,\s\up14(→))|.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，例如：eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→)).
思考：(1)向量可以比較大小嗎？
(2)有向線段就是向量嗎？
[提示] (1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。?br>(2)有向線段只是表示向量的一個(gè)圖形工具，它不是向量．
3．向量的有關(guān)概念
1．正n邊形有n條邊，它們對(duì)應(yīng)的向量依次為a1，a2，a3，…，an，則這n個(gè)向量( )
A．都相等 B．都共線
C．都不共線 D．模都相等
D [因?yàn)槎噙呅螢檎噙呅危赃呴L(zhǎng)相等，所以各邊對(duì)應(yīng)向量的模都相等．]
2．有下列物理量：①質(zhì)量；②溫度；③角度；④彈力；⑤風(fēng)速．其中可以看成是向量的有( )
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
B [①②③不是向量，④⑤是向量．]
3．已知|eq \(AB,\s\up14(→))|＝1，|eq \(AC,\s\up14(→))|＝2，若∠ABC＝90°，則|eq \(BC,\s\up14(→))|＝________.
eq \r(,3) [△ABC是以B為直角的直角三角形，所以|eq \(BC,\s\up14(→))|＝eq \r(,22－12)＝eq \r(,3).]
4．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則圖中相等的向量是________(填序號(hào))．
(1)eq \(AD,\s\up14(→))與eq \(BC,\s\up14(→))；(2)eq \(OB,\s\up14(→))與eq \(OD,\s\up14(→))；
(3)eq \(AC,\s\up14(→))與eq \(BD,\s\up14(→))；(4)eq \(AO,\s\up14(→))與eq \(OC,\s\up14(→)).
(1)(4) [由平行四邊形的性質(zhì)和相等向量的定義可知：
eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(OB,\s\up14(→))≠eq \(OD,\s\up14(→))，
eq \(AC,\s\up14(→))≠eq \(BD,\s\up14(→))，eq \(AO,\s\up14(→))＝eq \(OC,\s\up14(→)).]
【例1】 判斷下列命題是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由：
(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；
(3)對(duì)于任意向量|a|＝|b|，若a與b的方向相同，則a＝b；
(4)由于0方向不確定，故0不與任意向量平行；
(5)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反．
[思路探究] 解答本題應(yīng)根據(jù)向量的有關(guān)概念，注意向量的大小、方向兩個(gè)要素．
[解] (1)不正確．因?yàn)橄蛄坑蓛蓚€(gè)因素來(lái)確定，即大小和方向，所以兩個(gè)向量不能比較大?。?br>(2)不正確．由|a|＝|b|只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，不能確定它們的方向關(guān)系．
(3)正確．因?yàn)閨a|＝|b|，且a與b同向，由兩向量相等的條件，可得a＝b.
(4)不正確．依據(jù)規(guī)定：0與任意向量平行．
(5)不正確．因?yàn)橄蛄縜與向量b若有一個(gè)是零向量，則其方向不定．
1．理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
(2)單位向量不一定相等，不要忽略其方向．
2．共線向量與平行向量
(1)平行向量也稱為共線向量，兩個(gè)概念沒(méi)有區(qū)別；
(2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同；
(3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同．
提醒：解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長(zhǎng)度．
1．給出下列命題：
①若a∥b，b∥c，則a∥c；
②若單位向量的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)相同；
③起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；
④向量eq \(AB,\s\up14(→))與eq \(CD,\s\up14(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在同一直線上．
其中正確命題的序號(hào)是________．
③ [①錯(cuò)誤．若b＝0，則①不成立；
②錯(cuò)誤．起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)未必相同；
③正確．對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動(dòng)的；
④錯(cuò)誤．共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))必須在同一直線上．]
【例2】 (1)如圖，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，可以寫出________個(gè)向量．
(2)在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：
①eq \(OA,\s\up14(→))，使|eq \(OA,\s\up14(→))|＝4eq \r(2)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；
②eq \(AB,\s\up14(→))，使|eq \(AB,\s\up14(→))|＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；
③eq \(BC,\s\up14(→))，使|eq \(BC,\s\up14(→))|＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.
(1)12 [可以寫出12個(gè)向量，分別是：eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(AC,\s\up14(→))，eq \(AD,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(BD,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))，eq \(BA,\s\up14(→))，eq \(CA,\s\up14(→))，eq \(DA,\s\up14(→))，eq \(CB,\s\up14(→))，eq \(DB,\s\up14(→))，eq \(DC,\s\up14(→)).]
(2)[解] ①由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又|eq \(OA,\s\up14(→))|＝4eq \r(2)，小方格邊長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量eq \(OA,\s\up14(→))如圖所示．
②由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且|eq \(AB,\s\up14(→))|＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量eq \(AB,\s\up14(→))如圖所示．
③由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且|eq \(BC,\s\up14(→))|＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為3eq \r(3)≈5.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量eq \(BC,\s\up14(→))如圖所示．
1．向量的兩種表示方法
(1)幾何表示法：先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長(zhǎng)度確定向量的終點(diǎn)．
(2)字母表示法：為了便于運(yùn)算可用字母a，b，c表示，為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì)，可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)表示向量，如eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))，eq \(EF,\s\up14(→))等．
2．兩種向量表示方法的作用
(1)用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運(yùn)算，為用向量處理幾何問(wèn)題打下了基礎(chǔ)．
(2)用字母表示法表示向量，便于向量的運(yùn)算．
2．某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了10eq \r(2)米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)．
(1)作出向量eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))；
(2)求eq \(AD,\s\up14(→))的模．
[解] (1)作出向量eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))，如圖所示：
(2)由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq \r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq \r(52＋102)＝5eq \r(5)(米)，所以|eq \(AD,\s\up14(→))|＝5eq \r(5)米.
[探究問(wèn)題]
1．兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是否都分別重合？
[提示] 不一定．因?yàn)橄蛄慷际亲杂上蛄?，只要大小相等，方向相同就是相等向量，與起點(diǎn)和終點(diǎn)位置無(wú)關(guān)．
2．若eq \(AB,\s\up14(→))∥eq \(CD,\s\up14(→))，則從直線AB與直線CD的關(guān)系和eq \(AB,\s\up14(→))與eq \(CD,\s\up14(→))的方向關(guān)系兩個(gè)方面考慮有哪些情況？
[提示] 分四種情況
(1)直線AB和直線CD重合，eq \(AB,\s\up14(→))與eq \(CD,\s\up14(→))同向；
(2)直線AB和直線CD重合，eq \(AB,\s\up14(→))與eq \(CD,\s\up14(→))反向；
(3)直線AB∥直線CD，eq \(AB,\s\up14(→))與eq \(CD,\s\up14(→))同向；
(4)直線AB∥直線CD，eq \(AB,\s\up14(→))與eq \(CD,\s\up14(→))反向．
【例3】 如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(OB,\s\up14(→))＝b，eq \(OC,\s\up14(→))＝c.
(1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)與a共線的向量有哪些？
(3)請(qǐng)一一列出與a，b，c相等的向量．
[思路探究] 根據(jù)相等向量與共線向量的概念尋找所求向量．
[解] (1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有eq \(OD,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(AO,\s\up14(→))，eq \(FE,\s\up14(→)).
(2)與a共線的向量有eq \(EF,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(OD,\s\up14(→))，eq \(FE,\s\up14(→))，eq \(CB,\s\up14(→))，eq \(DO,\s\up14(→))，eq \(AO,\s\up14(→))，eq \(DA,\s\up14(→))，eq \(AD,\s\up14(→)).
(3)與a相等的向量有eq \(EF,\s\up14(→))，eq \(DO,\s\up14(→))，eq \(CB,\s\up14(→))；與b相等的向量有eq \(DC,\s\up14(→))，eq \(EO,\s\up14(→))，eq \(FA,\s\up14(→))；與c相等的向量有eq \(FO,\s\up14(→))，eq \(ED,\s\up14(→))，eq \(AB,\s\up14(→)).
1．本例條件不變，寫出與向量eq \(BC,\s\up14(→))相等的向量．
[解] 相等向量是指長(zhǎng)度相等、方向相同的向量，所以題圖中與eq \(BC,\s\up14(→))相等的向量有eq \(AO,\s\up14(→))，eq \(OD,\s\up14(→))，eq \(FE,\s\up14(→)).
2．本例條件不變，寫出與向量eq \(BC,\s\up14(→))長(zhǎng)度相等的共線向量．
[解] 與eq \(BC,\s\up14(→))長(zhǎng)度相等的共線向量有：eq \(CB,\s\up14(→))，eq \(OD,\s\up14(→))，eq \(DO,\s\up14(→))，eq \(AO,\s\up14(→))，eq \(OA,\s\up14(→))，eq \(FE,\s\up14(→))，eq \(EF,\s\up14(→)).
3．在本例中，若|a|＝1，則正六邊形的邊長(zhǎng)如何？
[解] 由正六邊形中，每邊與中心連接成的三角形均為正三角形，所以△FOA為等邊三角形，所以邊長(zhǎng)AF＝|a|＝1.
相等向量與共線向量的探求方法
(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些同向共線．
(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．
提醒：與向量平行相關(guān)的問(wèn)題中，不要忽視零向量．
1．向量是近代數(shù)學(xué)重要的和基本的數(shù)學(xué)概念之一，有深刻的幾何和物理背景，它是溝通代數(shù)、幾何的一種工具，注意向量與數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系．
2．從定義上看，向量有大小和方向兩個(gè)要素，而有向線段有起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度三個(gè)要素，因此它們是兩個(gè)不同的量．在空間中，有向線段是固定的，而向量是可以自由移動(dòng)的．向量可以用有向線段表示，但并不能說(shuō)向量就是有向線段．
3．共線向量與平行向量是一組等價(jià)的概念．兩個(gè)共線向量不一定要在一條直線上．當(dāng)然，同一直線上的向量也是平行向量．
4．注意兩個(gè)特殊向量——零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行，單位向量有無(wú)窮多個(gè)，起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)在平面內(nèi)形成一個(gè)單位圓.
1．判斷正誤
(1)長(zhǎng)度為0的向量都是零向量．( )
(2)零向量的方向都是相同的．( )
(3)單位向量的長(zhǎng)度都相等．( )
(4)單位向量都是同方向. ( )
(5)任意向量與零向量都共線．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．汽車以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托車以45 km/h的速度向東北方向走了2 h，則下列命題中正確的是( )
A．汽車的速度大于摩托車的速度
B．汽車的位移大于摩托車的位移
C．汽車走的路程大于摩托車走的路程
D．以上都不對(duì)
C [速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比較大小，路程可以比較大小．]
3．在下列命題中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長(zhǎng)度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個(gè)非零向量的兩個(gè)向量是共線向量．正確的命題是________．
④⑥ [由向量的相關(guān)概念可知④⑥正確．]
4．如圖所示，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于O點(diǎn)，∠DAB＝60°，分別以A，B，C，D，O中的不同兩點(diǎn)為始點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中，
(1)寫出與eq \(DA,\s\up14(→))平行的向量；
(2)寫出與eq \(DA,\s\up14(→))模相等的向量．
[解] 由題圖可知，
(1)與eq \(DA,\s\up14(→))平行的向量有：eq \(AD,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CB,\s\up14(→))；
(2)與eq \(DA,\s\up14(→))模相等的向量有：
eq \(AD,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CB,\s\up14(→))，eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(BA,\s\up14(→))，eq \(DC,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))，eq \(BD,\s\up14(→))，eq \(DB,\s\up14(→)).
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1.理解向量的有關(guān)概念及向量的幾何表示．(重點(diǎn))
2．理解共線向量、相等向量的概念．(難點(diǎn))
3．正確區(qū)分向量平行與直線平行．(易混點(diǎn))
1.從物理背景、幾何背景入手，從矢量概念引入向量的概念，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
2．類比實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示，給出向量的幾何意義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)．
3．通過(guò)相等向量和平行向量的學(xué)習(xí)，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).
零向量
長(zhǎng)度為0的向量，記作0
單位向量
長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量
平行向量
(共線向量)
方向相同或相反的非零向量
向量a，b平行，記作a∥b
規(guī)定：零向量與任意向量平行
相等向量
長(zhǎng)度相等且方向相同的向量
向量a與b相等，記作a＝b
向量的有關(guān)概念
向量的表示及應(yīng)用
相等向量和共線向量

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6.1 平面向量的概念

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