一、溫 故 知 新
平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法.
但僅知道集中趨勢的信息，很多時候還不能使我們做出有效的決策. 下面的問題就是一個例子.
【問題3 】有兩位射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教練，你如何對這兩位運(yùn)動員的射擊情況作出評價？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇？
通過簡單的排序和計算，可以發(fā)現(xiàn)甲、乙兩名運(yùn)動員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7.從這個角度看，兩名運(yùn)動員之間沒有差別.
作出兩人成績的頻率分布條形圖，觀察他們水平差異！
【解析】作出兩人射擊成績的頻率分布條形圖：
從上圖中看，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中，即甲的成績波動幅度比較大，而乙的成績比較穩(wěn)定 . 可見他們的射擊成績是存在差異的，那么，如何度量成績的這種差異呢？
一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差.
根據(jù)甲、乙運(yùn)動員的10次射擊成績，可以得到
甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6
可以發(fā)現(xiàn)甲的成績波動范圍比乙大 . 極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度，但因?yàn)闃O差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個值的信息，對其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少。
極差越大，數(shù)據(jù)越分散，越不穩(wěn)定;
極差越小 ，數(shù)據(jù)越集中， 越穩(wěn)定.
乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4
我們知道，如果射擊的成績很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績不會太遠(yuǎn)；相反，如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績會比較遠(yuǎn) . 因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度.
思考：如何定義“平均距離”？
二、總 體 方 差（標(biāo) 準(zhǔn) 差）
三、樣 本 方 差（標(biāo) 準(zhǔn) 差）
標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小； 顯然，在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的 . 但在解決實(shí)際問題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.
在實(shí)際問題中，總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的 . 就像用樣本平均數(shù)估計總體平平均數(shù)一樣，通常我們也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計總體標(biāo)準(zhǔn)差 . 在隨機(jī)抽樣中，樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取，具有隨機(jī)性.
在問題3中，我們可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差來判斷兩名運(yùn)動員的成績的離散程度，計算可得
由s甲> s乙 可知 , 甲的成績離散程度大 , 乙的成績離散程度小. 由此可以估計 , 乙比甲的射擊成績穩(wěn)定.
如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽，要看一下他們的平均成績在所有參賽選手中的位置。如果兩人都排在前面，就選成績穩(wěn)定的乙選手，否則可以選甲。
四、分層隨機(jī)抽樣樣本的平均數(shù)與方差
【典例】在對樹人中學(xué)高一學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)， 只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人, 其平均數(shù)和方差 分別為160.6和38.62 ,由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本方差，并對高一年級全體學(xué)生身高的方差作出估計.
【例1】在對樹人中學(xué)高一學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)， 只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人, 其平均數(shù)和方差 分別為160.6和38.62 ,由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本方差，并對高一年級全體學(xué)生身高的方差作出估計.
∴總樣本的方差為51.4682，估計高一年級全體學(xué)生的身高的方差為51.4862.
例如，根據(jù)9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，可以計算出樣本平均數(shù)和樣本標(biāo) 準(zhǔn)差分別為
樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動的幅度大小 ,平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差能反映數(shù)據(jù)取值的信息.
例1 某班20位女同學(xué)平均分為甲、乙兩組，她們的勞動技術(shù)課考試成績(單位：分)如下： 甲組　60,90,85,75,65,70,80,90,95,80； 乙組　85,95,75,70,85,80,85,65,90,85. (1)試分別計算兩組數(shù)據(jù)的極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差；(2)哪一組的成績較穩(wěn)定？
解 (1)甲組：最高分為95，最低分為60，極差為95－60＝35，
乙組：最高分為95，最低分為65，極差為95－65＝30，
方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計算與應(yīng)用
解（2）由于乙組的方差(標(biāo)準(zhǔn)差)小于甲組的方差(標(biāo)準(zhǔn)差)，因此乙組的成績較穩(wěn)定. 從(1)中得到的極差也可看出乙組的成績比較穩(wěn)定.
【練1】從甲、乙兩種玉米苗中各抽取10株，分別測得它們的株高(單位：cm)如下： 甲　25　41　40　37　22　14　19　39　21　42 乙　27　16　44　27　44　16　40　40　16　40 求：(1)哪種玉米苗長得高？ (2)哪種玉米苗長得齊？
例2 甲、乙兩支田徑隊(duì)體檢結(jié)果為：甲隊(duì)體重的平均數(shù)為60 kg，方差為200，乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70 kg， 方差為300，又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1∶4，那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差 分別是多少？
∴全體學(xué)生的平均成績?yōu)?15分.
＝85＋180＝265.
【練2】某培訓(xùn)機(jī)構(gòu)在假期招收了A，B兩個數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)班，A班10人，B班30人，經(jīng)過一周的補(bǔ)習(xí)后進(jìn) 行了一次測試，在該測試中，A班的平均成績?yōu)?30分，方差為115，B班的平均成績?yōu)?10分， 方差為215.求在這次測試中全體學(xué)生的平均成績和方差.
方差、標(biāo)準(zhǔn)差與統(tǒng)計圖表的綜合應(yīng)用
例3　甲、乙兩人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖所示.
(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；
(2)根據(jù)圖形和(1)中計算結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價.
解（1）由題圖可得，甲、乙兩人五次測試的成績分別為 甲：10,13,12,14,16； 乙：13,14,12,12,14.
從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高.
【練3】為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對三個社區(qū)進(jìn)行了“家庭每 月日常消費(fèi)額”的調(diào)查，他們將調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)， 記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關(guān)系為___________ (用“＞”連接).
解 根據(jù)頻率分布直方圖知，甲的數(shù)據(jù)絕大部分都處在兩端，離平均值較遠(yuǎn)，表現(xiàn)的最分散，標(biāo)準(zhǔn)差最大， 乙的數(shù)據(jù)分布均勻，不如甲組中偏離平均值大，標(biāo)準(zhǔn)差比甲的?。槐臄?shù)據(jù)大部分都在平均值左右， 數(shù)據(jù)表現(xiàn)的最集中，方差最小，故s1＞s2＞s3.
1.用定義計算樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差
2分層抽樣總樣本方差的計算
3. 標(biāo)準(zhǔn)差與方差的特征：
(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小. 標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大 ; 標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小 , 數(shù)據(jù)的離散程度越小;
(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：[0，＋∞)． 標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性；
(3)標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2稱為方差，有時用方差代替標(biāo)準(zhǔn)差測量樣本數(shù)據(jù)的離散程度．方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測量 效果是一致的，在實(shí)際應(yīng)用中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差；
(4)標(biāo)準(zhǔn)差的單位與樣本數(shù)據(jù)一致．
課本P213-214 練習(xí)1,2,3,4,5

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