6.2.4 向量的數(shù)量積第2課時(shí) 向量數(shù)量積的拓展應(yīng)用
回顧上節(jié)課的知識(shí):(1)兩個(gè)向量的夾角;(2)平面向量數(shù)量積的概念;(3)向量的投影向量的概念;(4)數(shù)量積的性質(zhì).
向量的數(shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量|a||b|cs θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|cs θ.
1.數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律
(1)我們之前學(xué)過實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律?這些運(yùn)算律對(duì)數(shù)量積運(yùn)算是否也適用?
【提示】實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律有交換律ab=ba,結(jié)合律(ab)c=a(bc),分配律(a+b)c=ac+bc. 猜想:①a·b=b·a;②(a·b)c=a(b·c);③(a+b)·c=a·c+b·c.
(2)能否證你的猜想?
猜想②的左右兩邊的結(jié)果各是什么?它們一定相等嗎?
【提示】左邊是與向量c共線的向量,而右邊則是與向量a共線的向量,顯然在向量c與向量a不共線的情況下猜想②是不正確的.
②(a·b)c=a(b·c)
(3)猜想②不成立,我們換成“已知向量a,b和實(shí)數(shù)λ,則(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)”試試.
(4)猜想③如何驗(yàn)證? ③(a+b)·c=a·c+b·c.
2.應(yīng)用與提高
夾角為鈍角,則cs θ為負(fù)值(注意去掉θ=π的情況),再根據(jù)夾角與向量數(shù)量積的關(guān)系列出不等式求解.
當(dāng)題目中涉及向量較多時(shí),可用整體思想代入求值,不必分別求值,以避免復(fù)雜的運(yùn)算.
非零向量a,b,a·b=0?a⊥b是非常重要的性質(zhì),它對(duì)于解決平面幾何圖形中有關(guān)垂直的問題十分有效.
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有什么收獲?

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6.2 平面向量的運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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