人教版八年級(jí)上冊(cè)第十三章軸對(duì)稱13.1 軸對(duì)稱13.1.1 軸對(duì)稱單元測(cè)試一課一練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2020·河北河間初二期末）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年02月04日～2022年02月20日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．在會(huì)徽的圖案設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者常常利用對(duì)稱性進(jìn)行設(shè)計(jì)，下列四個(gè)圖案是歷屆會(huì)徽?qǐng)D案上的一部份圖形，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；
B、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選A．
2．（2020·全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【解析】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，
∴
∴點(diǎn)在第三象限，
故答案選C．
3．（2020·陜西富平初一期末）如圖，把一張上下兩邊平行的紙條沿折疊，若，則的度數(shù)為（）
A．48°B．84°C．24°D．96°
【答案】B
【解析】解：如圖，∵紙條的上下兩邊互相平行，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠2=132°，
∴∠3=48°，
∵∠4是∠3折疊得到的，
∴∠4=∠3=48°，
∴∠1=180°－∠3－∠4=84°．
故選：B．
4．（2020·四川邛崍初一期末）如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)、，，則的長(zhǎng)是（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】∵DE是BC的垂直平分線，
∴CE＝BE＝7，
故選：C．
5．（2020·河南鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)）如圖，在等邊三角形ABC中，BC=2，D是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作EF⊥BC于點(diǎn)E，則BE的長(zhǎng)為（）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】∵D是AB的中點(diǎn)，
∴，
∵等邊三角形ABC中∠A=∠C=60°，
且DF⊥AC，
∴∠ADF=180°-90°-60°=30°，
在Rt△ADF中，，
∴，
同理，在Rt△FEC中，，
∴．
故選：C．
6．（2020·陜西富平初一期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，若，，則的度數(shù)為（）
A．90°B．95°C．105°D．115°
【答案】C
【解析】解：∵DE垂直平分AB
∴DA=DB
∴∠DAB=∠B=25°
∴∠ADC=∠DAB＋∠B=50°
∵
∴∠ADC=∠C=50°
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=105°
故選C．
7．（2020·福建永春初一期末）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為 26 ，其中一條邊的長(zhǎng)為 6，那么它的腰長(zhǎng)為（）
A．6B．10C．6或10D．6或13
【答案】B
【解析】①當(dāng)為腰長(zhǎng)時(shí)，則腰長(zhǎng)為，底邊=，因?yàn)?，所以不能?gòu)成三角形；
②當(dāng)為底邊時(shí)，則腰長(zhǎng)=，因?yàn)?，所以能夠成三角形?br>故答案選B．
8．（2020·射陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)初三其他）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E恰好落在CD邊上．若∠BAD＝100°，則∠ACB的度數(shù)為（）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】D
【解析】解：如圖，連接AB'，BB'，過(guò)A作AE⊥CD于E，
∵點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝50°，
∴∠ACB'＝90°﹣50°=40°，
∴∠ACB＝∠ACB'＝40°．
故選D．
9．（2020·全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，若∠BAC=110°，則∠EAF為（）
A．35°B．40°C．45D．50°
【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=110°，
∴∠C+∠B=70°，
∵EG、FH分別為AC、AB的垂直平分線，
∴EC=EA，F(xiàn)B=FA，
∴∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，
∴∠EAC+∠FAB=70°，
∴∠EAF=40°，
故選B．
10．（2020·全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABE、△ADC和△ABC分別是關(guān)于AB，AC邊所在直線的軸對(duì)稱圖形，若∠1：∠2：∠3=7：2：1，則∠α的度數(shù)為（）．
A．126°B．110°C．108°D．90°
【答案】C
【解析】∵∠1:∠2:∠3=7:2:1,
∴設(shè)∠1=7x，∠2=2x，∠3=x，
由∠1+∠2+∠3=180°得：
7x+2x+x=180°，
解得x=18，
故∠1=7×18=126°,∠2=2×18=36°,∠3=1×18=18°，
∵△ABE和△ADC是△ABC分別是關(guān)于AB，AC邊所在直線的軸對(duì)稱圖形，
∴∠DCA=∠E=∠3=18°,∠2=∠EBA=∠D=36°,∠4=∠EBA+∠E=36°+18°=54°，
∠5=∠2+∠3=18°+36°=54°，
故∠EAC=∠4+∠5=54°+54°=108°
在△EGF與△CAF中，∠E=∠DCA，∠DFE=∠CFA，
∴∠α=∠EAC=108°.
故選C.
11．（2020·廣東廣州綠翠現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)學(xué)校初二期中）如圖，已知，點(diǎn)，，，…在射線上，點(diǎn)，，，…在射線上，，，，…均為等邊三角形，若，則的邊長(zhǎng)為（）
A．8B．16C．24D．32
【答案】D
【解析】解：∵△A1B1A2為等邊三角形，
∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，
∵∠MON=30°，
∴∠OB1A1=60°-30°=30°，
∴∠MON=∠OB1A1，
∴B1A1=OA1=2，
∴△A1B1A2的邊長(zhǎng)為2，
同理得：∠OB2A2=30°，
∴OA2=A2B2=OA1+A1A2=2+2=4，
∴△A2B2A3的邊長(zhǎng)為4，
同理可得：△A3B3A4的邊長(zhǎng)為：23=8，
△A4B4A5的邊長(zhǎng)為：24=16，
則△A5B5A6的邊長(zhǎng)為：25=32，
故選：D．
12．（2020·河北懷安初二期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，且EH=EB．下列四個(gè)結(jié)論：①∠ABC=45°；②AH=BC；③BE+CH=AE；④△AEC是等腰直角三角形.你認(rèn)為正確的序號(hào)是（）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④
【答案】C
【解析】①∵CE⊥AB，EH＝EB，
∴∠EBH＝45°，
∴∠ABC＞45°，
故①錯(cuò)誤；
∵CE⊥AB，∠BAC＝45°，
∴AE＝EC，
在△AEH和△CEB中，
，
∴△AEH≌△CEB（SAS），
∴AH＝BC，故選項(xiàng)②正確；
又EC＝EH＋CH，
∴AE＝BE＋CH，故選項(xiàng)③正確．
∵AE＝CE，CE⊥AB，所以△AEC是等腰直角三角形，故選項(xiàng)④正確．
∴②③④正確．
故選B．
13．（2020·浙江杭州初三其他）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC與PE的和最小時(shí)，∠CPE的度數(shù)是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解析】解：如連接BE，與AD交于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PC最小，
∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，
故選：C．
14．（2020·黑龍江虎林初二期末）如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為 1 的等邊△ABC 的邊 AB 上一點(diǎn) P，作 PE⊥AC 于 E，Q 為 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng) PA=CQ 時(shí)，連PQ 交 AC 邊于 D，則 DE 的長(zhǎng)為（）
A．0.5B．1C．0.25D．2
【答案】A
【解析】過(guò)P作PM∥BC，交AC于M；
∵△ABC是等邊三角形，且PM∥BC，
∴△APM是等邊三角形，
又∵PE⊥AM，
∴；（等邊三角形三線合一）
∵PM∥CQ，
∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；
又∵PA=PM=CQ，
在△PMD和△QCD中
，
∴△PMD≌△QCD（AAS），
∴，
∴，
故選A．
二、填空題（本題共4個(gè)小題；每個(gè)小題3分，共12分，把正確答案填在橫線上）
15．（2020·山東招遠(yuǎn)初一期末）如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，AE=AD，則∠EDC=______．
【答案】15°
【解析】∵AD是等邊△ABC的中線，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°，
∴∠ADC=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED==75°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°．
故答案為15°．
16．（2020·吉林長(zhǎng)春初一期末）如圖,點(diǎn)P是∠AOB外的一點(diǎn),點(diǎn)M,N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在線段MN上,點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)R落在MN的延長(zhǎng)線上。若PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,則線段QR的長(zhǎng)為_(kāi)_________cm。
【答案】4.5
【解析】∵點(diǎn)P、Q關(guān)于OA對(duì)稱，點(diǎn)P、R關(guān)于OB對(duì)稱，
∴OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，
∴QM=PM=2.5cm，NR=PN=3cm，
∴QR=NR+MN-QM=3+4-2.5=4.5（cm）.
17．（2020·四川邛崍初一期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，則這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為_(kāi)____．
【答案】或
【解析】如圖1：
∵
∴
如圖2：
∵
∴
∴
故答案為：70°或20°．
18．（2020·湖南茶陵初二期末）如圖，已知鈍角，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡．步驟1：以為圓心，為半徑畫(huà)弧①；步驟2：以為圓心，為半徑畫(huà)?、?；步驟3：連接，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)；下列結(jié)論：①垂直平分線段；②平分；③；④．其中一定正確的有_________（只填序號(hào)）
【答案】①③④
【解析】連接CD，BD
由作圖可知：CA=CD，BA=BD，
∴直線BC垂直平分線段AD，
∴AH=DH，
∴S△ABC=?BC?AH，
故①③④正確，
故答案為：①③④．
三、解答題（本題共8道題，19-21每題6分，22-25每題8分，26題10分，滿分60分）
19．（2020·四川邛崍初一期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．請(qǐng)按要求完成下列各題：
（1）在網(wǎng)格中畫(huà)出四邊形關(guān)于直線對(duì)稱的四邊形；
（2）求四邊形的面積．
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）7.5
【解析】（1）如圖所示

（2）
20．（2020·河北河間初二期末）如圖，△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，BC與DE的交點(diǎn)F在直線MN上．若ED=4cm，F(xiàn)C=lcm，∠BAC=76°，∠EAC=58°
（1）求出BF的長(zhǎng)度；
（2）求∠CAD的度數(shù)；
【答案】（1）3cm；（2）18°
【解析】解：（1）∵△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，ED=4cm，
∴BC=ED=4cm，
又∵FC=1cm，
∴BF=BC﹣FC=3cm．
（2）∵△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，∠BAC=76°，∠EAC=58°，
∴∠EAD=∠BAC=76°，
∴∠CAD=∠EAD﹣∠EAC=76°﹣58°=18°．
21．（2020·廣東英德初三二模）作圖題：（要求保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
（1）作△ABC中BC邊上的垂直平分線EF（交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F）；
（2）連結(jié)BE，若AC=10，AB=6，求△ABE的周長(zhǎng)．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）16．
【解析】解：(1)如圖所示，
(2)∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，
∴△ABE的周長(zhǎng)=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC，
∵AB=6，BC=10，
∴△ABE的周長(zhǎng)=6+10=16．
22．（2020·全國(guó)初三專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一條直線上，，，
（1）證明：
（2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷是什么三角形，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）等邊三角形；見(jiàn)解析．
【解析】（1）∵
∴
∴在與中

∴
（2）等邊三角形，理由如下：
由（1）得
∴
∴
∵
∴
∴是等邊三角形．
23．（2020·陜西富平初二期末）如圖，在中，平分，且，連接，延長(zhǎng)AD到E，使得．
求證：（1）
（2）為等腰三角形．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．
【解析】（1）證明：
平分
（2）
是等腰三角形；
24．（2020·陜西富平初一期末）如圖，在中，，點(diǎn)在上，又在的垂直平分線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，．
（1）試說(shuō)明：．
（2）若平分，求的度數(shù)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）36o
【解析】解：（1）∵點(diǎn)在的垂直平分線上，
∴，
∴，
在△和△中，
∵，，，
∴△≌△（SAS）；
（2）∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，△≌△，
∴，
∵，
∴．
25．（2020·河北高陽(yáng)初二期末）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過(guò)它某一頂點(diǎn)的一條直線可把它分成兩個(gè)小等腰三角形．為此，請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：
（1）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直線BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；
（2）在證明了該命題后，小喬發(fā)現(xiàn)：當(dāng)∠A≠36°時(shí)，一些等腰三角形也具有這樣的特性，即經(jīng)過(guò)等腰三角形某一頂點(diǎn)的一條直線可以把該等腰三角形分成兩個(gè)小等腰三角形．則∠A的度數(shù)為_(kāi)_____（寫(xiě)出兩個(gè)答案即可）；并畫(huà)出相應(yīng)的具有這種特性的等腰三角形及分割線的示意圖，并在圖中標(biāo)出兩個(gè)小等腰三角形的各內(nèi)角的度數(shù)．
（3）接著，小喬又發(fā)現(xiàn)：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過(guò)它其中一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)一條直線可以將原三角形分成兩個(gè)小等腰三角形．請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標(biāo)出兩個(gè)小等腰三角形的各內(nèi)角的度數(shù)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）90°或108°或；（3）見(jiàn)解析
【解析】（1）證明：在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=36°
∴∠ABC=∠C=（180°－∠A）=72°
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=36°
∴∠1=∠A
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形
∵∠BDC=∠1+∠A=72°
∴∠BDC=∠C=72°
∴BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形
（2）如下圖所示：
∴頂角∠A的度數(shù)為90°或108°或，
故答案為：90°或108°或；
（3）如圖所示．
26．（2020·濟(jì)南市長(zhǎng)清區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一期中）在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，以CA為邊在∠ACB的另一側(cè)作∠ACM=∠ACB，點(diǎn)D為射線BC上任意一點(diǎn)，在射線CM上截取CE=BD，連接AD、DE、AE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫(xiě)出∠ADE的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BC(不含邊界)上時(shí)，AC與DE交于點(diǎn)F，請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，作AH⊥BC，垂足為H，作AG⊥EC，垂足為G，連接HG，判斷△GHC的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）∠ADE=45°；（2）成立，見(jiàn)詳解；（3）△GHC為等腰直角三角形．
【解析】解：（1）∠ADE=45°
∵在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠ACM=∠ACB，
∴∠B=∠ACM=45°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴△DAE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°；
（2）成立
∵在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠ACM=∠ACB，
∴∠B=∠ACM=45°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD，∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴△DAE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°；
（3）△GHC為等腰直角三角形
如圖，
∵AH⊥BC，AG⊥EC，
∴∠AHB=∠AHC=∠AGC=90°，
在△ABH和△ACG中，
，
∴△ABH≌△ACG，
∴AH=AG，
∵∠ACH=∠ACG=45°，∠AHC=∠AGC=90°，
∴△AHC和△AGC為等腰直角三角形，即AG=CG，AH=HC，
又∵∠B=∠ACB=45°，∠ACM=∠ACB，
∴∠BCM=90°，
∴△GHC為等腰直角三角形．

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