人教版八年級數(shù)學(xué)上冊專題13.3-13.4 等腰三角形與最短路徑問題講練（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題13.3-13.4 等腰三角形與最短路徑問題典例體系（本專題共74頁82題）一、知識點(diǎn) 1、等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩個底角相等（“等邊對等角”）； ②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合； 2、等腰三角形是軸對稱圖形，三線合一所在直線是其對稱軸；（只有1條對稱軸）等腰三角形的判定：①如果一個三角形有兩條邊相等； ②如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等；（等角對等邊） 3、等邊三角形：三條邊都相等的三角形；（等邊三角形是特殊的等腰三角形）等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三個內(nèi)角都是60? ②等邊三角形的每條邊都存在三線合一； 4、等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一所在直線；（有3條對稱軸） 5、等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形； ②三個角都相等的三角形是等邊三角形； ③有一個角是60?的等腰三角形是等邊三角形； 6、在直角三角形中，如果一個銳角等于30?，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半； 7、最短路徑的選擇 ①當(dāng)兩點(diǎn)在某一條直線的兩側(cè)時,這兩點(diǎn)的最短距離就是連接這兩點(diǎn)的線段與直線的交點(diǎn)就是最短路徑的點(diǎn). ②當(dāng)兩點(diǎn)在某條直線的同側(cè)時,這兩點(diǎn)到直線上某一點(diǎn)的最短距離的作法: 作任意一個點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn),然后再連接對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)之間的線段,與直線的交點(diǎn)就是最短距離的點(diǎn)的位置.[來源:學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K] 注意：在解決最短路徑的問題時,我們通常利用平移、軸對稱等變化把已知問題轉(zhuǎn)化成容易解決的問題,從而作出最短路徑的選擇. 二、考點(diǎn)點(diǎn)撥與訓(xùn)練考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì) 典例：（2020·河北河間初二期末）如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，若AB=AC+CD，那么∠ACB與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小明通過觀察分析，形成了如下解題思路：如圖2，延長AC到E，使CE=CD，連接DE．進(jìn)而得到△ABD≌△AED，便可得到∠ACB與∠B的數(shù)量關(guān)系．請結(jié)合小明的思路，寫出兩個角的數(shù)量關(guān)系，并證明結(jié)論．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí) 1．（2020·山東芝罘初一期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，且∠DBC＝15°，則∠A的度數(shù)是（） A．50° B．36° C．40° D．45° 2．（2020·四川成華初一期末）如圖，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′與△ABC 關(guān)于直線 EF對稱，∠CAF=10°，連接 BB′，則∠ABB′的度數(shù)是（） A．30° B．35° C．40° D．45° 3．（2020·陜西西安高新一中初一期末）如圖，中，是的角平分線，的垂直平分線分別交于點(diǎn)，則下列結(jié)論不一定成立的是（） A． B． C． D． 4．（2020·四川龍泉驛初一期末）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A等于( ) A．30° B．40° C．45° D．36° 5．（2020·山東槐蔭初一期末）如圖，在第1個△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個△A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個△A2A3E，…按此做法繼續(xù)下去，則第n個三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是（　?。? A．（）n?75° B．（）n﹣1?65° C．（）n﹣1?75° D．（）n?85° 6．（2020·河南羅山初二期末）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB=AC，∠CAD=20°，則∠ACE的度數(shù)是（　　） A．20° B．35° C．40° D．70° 7．（2020·山東中區(qū)濟(jì)南外國語學(xué)校初二期末）如圖，在中，，，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則的度數(shù)（） A． B． C． D． 8．（2020·浙江南潯初三其他）如圖“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點(diǎn)固定，OC=CD=DE，點(diǎn)D、E可在槽中滑動，若∠BDE=72°，則∠CDE的度數(shù)是（　?。? A．63° B．65° C．75° D．84° 9．（2020·山東歷下初一期末）如圖，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，則∠BGH＝（） A．50° B．60° C．70° D．80° 10．（2022·河南宜陽初二期末）如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，則∠C=______． 11．（2020·廣東龍崗初一期末）如圖，點(diǎn)O為線段AB上的任意一點(diǎn)（不于A、B重合），分別以AO，BO為一腰在AB的同側(cè)作等腰△AOC和△BOD，OA=OC，OB=OD，∠AOC與∠BOD都是銳角，且∠AOC=∠BOD，AD與BC交于點(diǎn)P，AD交CO于點(diǎn)M，BC交DO于點(diǎn)N．（1）試說明：CB=AD；（2）若∠COD=70°，求∠APB的度數(shù)． 12．（2020·陜西渭濱初一期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，延長BC至D，使BD＝BA，連接AD．點(diǎn)E在AC上，且CE＝CD，連接BE并延長BE交AD于點(diǎn)F．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）求證：BF是AD的垂直平分線；（3）連接DE，若AB＝10，求△DCE的周長．考點(diǎn)2：等腰三角形的判定典例：（2020·黑龍江牡丹江）在等腰中，，點(diǎn)D，E在射線上，，過點(diǎn)E作，交射線于點(diǎn)F．請解答下列問題：（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段上，是的角平分線時，如圖①，求證：；（提示：延長，交于點(diǎn)M．）（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長線上，是的角平分線時，如圖②；當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長線上，是的外角平分線時，如圖③，請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若，則___________．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題是考查了角平分線、平行線和等腰三角形及全等三角形的綜合題，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建角平分線加平行的模型，是一道較好的中考真題．鞏固練習(xí) 1．（2022·薛城區(qū)祁連山路中學(xué)初一期中）如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于，交于，若，則線段的長為（） A．8 B．．7 C．6 D．5 2．（2020·湖北黃州初二期末）如圖，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列結(jié)論：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長為AB+AC；④BD=CE．其中正確的是____． 3．（2020·廣東英德初二期中）如圖所示，在四邊形中，，，，平分交邊于點(diǎn)，求的長． 4．（2020·廣東高州初三月考）如圖，已知等腰△ABC頂角∠A=36°．（1）尺規(guī)作圖：在AC上作一點(diǎn)D，使AD=BD；（保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）（2）求證：△BCD是等腰三角形． 5．（2020·廣東佛山初二月考）如圖，在和中，，，AC與BD相交于點(diǎn)O. （1）求證：；（2）是何種三角形？ 6．（2020·江蘇海安初二月考）已知∠MAN=30°，點(diǎn)B在射線AM上，且 AB=6，點(diǎn)C在射線AN上．（1）若△ABC是直角三角形，求AC的長；（2）若△ABC是等腰三角形，則滿足條件的C點(diǎn)有個；（3）設(shè)BC=x，當(dāng)△ABC唯一確定時，直接寫出的取值范圍． 7．（2020·黑龍江南崗初三其他）已知:在中,,線段的垂直平分線交于點(diǎn),點(diǎn)在上，且,連接如圖1 ,求證: 如圖2,當(dāng)時.在不添加任何輔助線情況下,請直接寫出圖2中的四個等腰三角形． ∴AD=BD， 8．（2020·黑龍江哈爾濱初三二模）圖1、圖2分別是的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，線段的端點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，請?jiān)趫D1、圖2中各畫一個圖形，分別滿足以下要求：（1）在圖1中畫一個，使得是面積為10的直角三角形，所畫圖形的各頂點(diǎn)必須在小正方形的頂點(diǎn)上；（2）在圖2中畫一個以線段為一邊的鈍角等腰三角形，并且面積等于10，所畫等腰三角形的各頂點(diǎn)必須在小正方形的頂點(diǎn)上． 9．（2020·鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三一模）（1）如圖1,△ABC中,∠C=90°,請用直尺和圓規(guī)作一條直線,把△ABC分割成兩個等腰三角形(不寫作法,但須保留作圖痕跡). （2）已知內(nèi)角度數(shù)的兩個三角形如圖2,圖3所示.請你判斷,能否分別畫一條直線把它們分割成兩個等腰三角形?若能,請寫出分割成的兩個等腰三角形頂角的度數(shù). 10．（2021·額爾古納市三河中學(xué)初二期末）如圖，在四邊形中，，是的中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且．（1）求證：≌．（2）連接，判斷與的位置關(guān)系并說明理由．考點(diǎn)3：與等腰三角形有關(guān)的分類討論典例：（2020·福建寧德初一期末）如圖，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠A＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分線，CD 與 BE 交于點(diǎn) P．當(dāng)∠A 的大小變化時，△EPC 的形狀也隨之改變．（1）當(dāng)∠A=44°時，求∠BPD 的度數(shù)；（2）設(shè)∠A=x°，∠EPC=y°，求變量 y 與 x 的關(guān)系式；（3）當(dāng)△EPC 是等腰三角形時，請直接寫出∠A 的度數(shù)．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，二元一次方程組的應(yīng)用，高與角平分線的定義，有一定難度，關(guān)鍵是找到角之間的等量關(guān)系. 鞏固練習(xí) 1．（2020·河北河間初二期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（） A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對 2．（2020·雞東縣第三中學(xué)初一期中）已知等腰三角形的周長為17cm，一邊長為4cm，則它的腰長為（） A．4cm B．6.5cm或9cm C．6.5cm D．4cm或6.5cm 3．（2020·山東中區(qū)濟(jì)南外國語學(xué)校初二期末）如果一個等腰三角形的兩邊長為4、9，則它的周長為( ) A．17 B．22 C．17或22 D．無法計(jì)算 4．（2020·廣東龍崗初一期末）如果等腰三角形的一個內(nèi)角為50°，那么其它兩個內(nèi)角為（） A．50°，80° B．65°，65° C．50°，65° D．50°，80°或 65°，65° 5．（2020·山東招遠(yuǎn)初一期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為（） A． B． C．或 D．或 6．（2021·河南孟津初二期末）如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B 兩點(diǎn)都在小方格的格點(diǎn)（頂點(diǎn)）上，請?jiān)趫D中找一個格點(diǎn)C，使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C有（） A．4個 B．5個 C．6個 D．7 7．（2022·河南偃師初二期末）在一張長為10cm，寬為8cm的矩形紙片上，要剪下一個腰長為5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點(diǎn)與矩形的頂點(diǎn)A重合，其余的兩個頂點(diǎn)都在矩形邊上），這個等腰三角形有幾種剪法（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2020·四川前鋒初三其他）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（2，2），點(diǎn)Q在y軸上，△PQO是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)Q共有 A．5個 B．4個 C．3個 D．2個 9．（2020·貴州松桃初三其他）平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2020·四川內(nèi)江初一期末）已知等腰三角形的兩邊長是5和12，則它的周長是______________；考點(diǎn)4：等邊三角形的性質(zhì) 典例：（2020·四川涼山中考真題）如圖，點(diǎn)P、Q分別是等邊邊AB、BC上的動點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)．（1）如圖1，連接AQ、CP求證：（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動時，AQ、CP相交于點(diǎn)M，的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù) （3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P、Q在AB、BC的延長線上運(yùn)動時，直線AQ、CP相交于M，的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)證全等是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí) 1．（2020·內(nèi)蒙古林西初二期末）如圖，已知C是線段AB上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N．給出以下三個結(jié)論：①AE=BD ； ②CN=CM； ③MN∥AB； ④∠CDB=∠NBE．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2020·山東槐蔭初一期末）如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，A、C、B三點(diǎn)共線，AE與BD相交于點(diǎn)P，AE與BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N，有如下結(jié)論：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正確結(jié)論是__________（填序號） 3．（2020·武漢市梅苑學(xué)校初二期中）如圖，和都是等邊三角形，∠EBD=78°，則∠AEB=_________度． 4．（2020·河南嵩縣初二期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，將△ADE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，則∠BDF+∠CEF＝_____． 5．（2020·廣東新豐初三其他）如圖，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，，，△、△、△均為等邊三角形，則的長為__． 6．（2020·寧夏銀川市教育局初三其他）如圖，是由9個等邊三角形拼成的一個六邊形，如果中間最小的等邊三角形的邊長是1，則右上角的最大的正三角形的邊長是_____． 7．（2020·福建安溪初三二模）如圖，△ABC與△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接CE．求證：BD＝CE． 8．（2020·山東章丘初一期末）(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE． ①請直接寫出∠AEB的度數(shù)為_____； ②試猜想線段AD與線段BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明； (2)拓展探究：圖2， △ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同－直線上， CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 9．（2020·廣東龍崗初二期末）如圖，已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F．（1）求證：BE=AD；（2）求∠BFD的度數(shù)． 10．（2020·江西廣豐初一期末）在同一平面內(nèi)，將兩塊正三角形的紙板的兩個頂點(diǎn)重合在一起．（1）如圖1重疊部分∠AOD=30°，求∠COB的大小；（2）如圖2重疊部分∠AOD=15°，求∠COB的大?。?（3）如圖3，若兩圖形除O外沒有重疊，∠AOD=10°，求∠COB的大小；（4）求∠AOD和∠COB的數(shù)量關(guān)系． 11．（2020·陜西西安初一期末）（2020?錦州模擬）問題情境：已知，在等邊△ABC中，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在直線AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系．方法感悟：小芳的思考過程是在CM上取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題；小麗的思考過程是在AB取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題；問題解決：（1）如圖1，M、N分別在邊AC，AB上時，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，M在邊AC上，點(diǎn)N在BA的延長線上時，請你在圖2中補(bǔ)全圖形，標(biāo)出相應(yīng)字母，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．考點(diǎn)5：等邊三角形的判定典例：（2021·山西呂梁初二期末）問題情景：數(shù)學(xué)課上，老師布置了這樣一道題目，如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且滿足∠ADE＝60°，DE交等邊三角形外角平分線于點(diǎn)E．試探究AD與DE的數(shù)量關(guān)系．操作發(fā)現(xiàn)：（1）小明同學(xué)過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于F，通過構(gòu)造全等三角形經(jīng)過推理論證就可以解決問題，請您按照小明同學(xué)的方法確定AD與DE的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．類比探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)(除B、C外)，其他條件不變，試猜想AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且滿足CD＝BC，在圖3中補(bǔ)全圖形，直接判斷△ADE的形狀(不要求證明)．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握三角形綜合解決方法是解決本題的關(guān)鍵. 鞏固練習(xí) 1．（2020·山東廣饒初一期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有四個結(jié)論：①AC⊥BD；②BC=DC；③△ABC≌△ADC；④△ABD 是等邊三角形．其中正確的是( ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．（2022·山東肥城初二開學(xué)考試）如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點(diǎn)，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（）． A．等邊三角形 B．腰和底邊不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等邊三角形 3．（2022·湖南長沙初二期中）已知，如圖，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，下列結(jié)論：①AC平分∠PAD；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AC＝AO+AP；其中正確的序號是（　　） A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①③ 4．（2022·北京師大附中初二期中）如圖，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若點(diǎn)M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（） A．1個 B．2個 C．3個 D．3個以上 5．（2022·東安縣舜德學(xué)校初二期中）如圖所示，是等邊中邊上的點(diǎn)，，，則對的形狀判斷最準(zhǔn)確的是( ) A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．不等邊三角形 D．不能確定形狀 6．（2022·山東曹縣）如圖，為等邊三角形，為延長線上一點(diǎn)，CE=BD，平分，下列結(jié)論:(1)；(2)；(3)是等邊三角形，其中正確的個數(shù)為( ) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 7．（2020·廣西初三三模）如圖，中，，，，，平分，與相交于點(diǎn)，則的長等于_____. 8．（2022·廣西興賓初二期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足為H，D為直線BC上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）求證：BD=CE；（2）若點(diǎn)D在線段BC上，問點(diǎn)D運(yùn)動到何處時，AC⊥DE？請說明理由；（3）當(dāng)CE∥AB時，若△ABD中最小角為20°，試探究∠ADB的度數(shù)．(直接寫出結(jié)果，無需寫出求解過程) 　　　　　　　　 9．（2020·佛山市南海區(qū)桂城街道映月中學(xué)初二月考）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，兩線相交于F點(diǎn)．（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小；（2）若D是BC的中點(diǎn)，∠ABE=30°，求證：△ABC是等邊三角形．考點(diǎn)6：含30°銳角三角函數(shù)的直角三角形典例：（2020·廣西東蘭初二期末）如圖，已知為等邊三角形，AE=CD,,相交于點(diǎn) F,于點(diǎn)Q．（1）求證：≌；（2）若，求的長．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形，在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．鞏固練習(xí) 1．（2020·甘肅蘭州初二期末）如圖，在中，，，AD是的中線，AE是的角平分線，交AE的延長線于點(diǎn)F，則DF的長是 A．2 B．4 C．5 D． 2．（2020·內(nèi)蒙古杭錦后旗初二期末）如圖，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P為OC上一點(diǎn)，PD∥OA交OB于點(diǎn)D，PE⊥OA于點(diǎn)E．若OD＝4，則PE的長為（　?。? A．2 B．2.5 C．3 D．4 3．（2020·廣西防城港初二期中）如圖5，一棵大樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面5米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角，這棵大樹在折斷前的高度為（） A．10米 B．15米 C．25米 D．30米 4．（2020·山東嵐山初二期末）如圖，邊長為12的等邊三角形ABC中，E是高AD上的一個動點(diǎn)，連結(jié)CE，將線段CE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，連結(jié)DF．則在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，線段DF長度的最小值是__________． 5．（2020·湖南淥口初三其他）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，點(diǎn)P是BC邊上的動點(diǎn)，則在①3.6②4，③5.5，④7，這四個數(shù)中AP長不可能是_____ （填序號） 6．（2020·廣東南海初二期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，將△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四邊形ABED的面積為20，則平移距離為___________． 7．（2020·貴州銅仁偉才學(xué)校初二期中）如圖，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，則CD=_______. 8．（2020·山西壽陽初二期中）如圖，將一幅三角尺如圖所示疊放在一起，若AB=24cm，則陰影部分的面積是__． 9．（2020·廣東高州初二期中）如圖，已知在中，，為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為，. （1）求證：；（2）若，，求的周長. 10．（2020·甘肅省武威市第十中學(xué)初三三模）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，求OM的長．考點(diǎn)7：最短路徑問題典例：（2022·湖北十堰初二期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中（1）做出△ABC關(guān)于y軸對稱的,并求出三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）計(jì)算△ABC的面積；（3）在x軸上畫點(diǎn)P，使PA+PC最?。?方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了作坐標(biāo)系中的對稱圖形，利用構(gòu)造法來求三角形面積和將軍飲馬的問題，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí) 1．（2020·山東槐蔭初一期末）某平原有一條很直的小河和兩個村莊，要在此小河邊的某處修建一個水泵站向這兩個村莊供水. 某同學(xué)用直線（虛線）表示小河，兩點(diǎn)表示村莊，線段（實(shí)線）表示鋪設(shè)的管道，畫出了如下四個示意圖，則所需管道最短的是（）. A． B． C． D． 2．（2020·河南內(nèi)黃初二期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個動點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長最小時，點(diǎn)C的坐標(biāo)是 A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3） 3．（2022·河南汝州初二期末）如圖，等腰三角形的底邊長為，面積是，腰的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)．若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段EF上一動點(diǎn)，則周長的最小值為（） A． B． C． D． 4．（2020·山東歷下初一期末）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP＝8，M、N分別是射線OA和OB上的動點(diǎn)，若△PMN周長的最小值為8，則∠AOB＝__________． 5．（2020·山東歷下初一期末）如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時，∠AFB＝_______°． 6．（2020·武漢市梅苑學(xué)校初二期中）如圖，在Rt中，AC⊥BC，若AC＝7，BC＝24，AB＝25，將Rt折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AB邊的點(diǎn)E處，折痕為AD，點(diǎn)P為AD上一動點(diǎn)，則的周長最小值為___________． 7．（2020·沈陽市第一二七中學(xué)初一期中）如圖，等邊△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，AD＝3.5cm，點(diǎn)P、Q分別為AB、AD上的兩個定點(diǎn)且BP＝AQ＝2cm，若在BD上有一動點(diǎn)E使PE＋QE最短，則PE＋QE的最小值為_____cm 8．（2020·上饒市廣信區(qū)第七中學(xué)初二月考）如圖，等腰三角形的底邊長為6，面積是36，腰的垂直平分線分別交，邊于，點(diǎn)，若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，則周長的最小值____． 9．（2020·重慶南岸初一期末）如圖所示，在街道的同一側(cè)，有兩個居民區(qū)A，B，兩個居民區(qū)門口到街道的距離分別為AC，BD．現(xiàn)準(zhǔn)備在街道旁設(shè)置一個快遞中轉(zhuǎn)站．（1）如果設(shè)置的快遞中轉(zhuǎn)站到A，B兩個小區(qū)的距離相等，如圖1，當(dāng)∠A=∠BPD時，請說明AC+BD=CD的理由；（2）如果設(shè)置的快遞中轉(zhuǎn)站到A，B兩個小區(qū)的距離之和最短，請?jiān)趫D2中作出點(diǎn)P的位置，連接AP，BP，直接寫出此時∠PAC與∠PBD的數(shù)量關(guān)系；（3）為了能錯峰進(jìn)行取送快遞，決定設(shè)置的快遞中轉(zhuǎn)站到A，B兩個小區(qū)的距離之差最大，請?jiān)趫D3中作出點(diǎn)P的位置，連接AP，BP，直接寫出此時∠PAC與∠PBD的數(shù)量關(guān)系． 10．（2022·河南汝州初一期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有兩個格點(diǎn)A、B和直線．（1）求作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)；（2）為直線上的點(diǎn)，連接、，求周長的最小值．