10.1　隨機(jī)事件與概率10.1.2　事件的關(guān)系和運(yùn)算
了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件的運(yùn)算．通過相關(guān)概念的學(xué)習(xí)及對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的運(yùn)算，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生
事件A與事件B同時(shí)發(fā)生
[拓展]　1.互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系(1)區(qū)別：兩個(gè)事件A與B是互斥事件，包括如下三種情況：①若事件A發(fā)生，則事件B就不發(fā)生；②若事件B發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；③事件A，B都不發(fā)生．而兩個(gè)事件A，B是對(duì)立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與B是對(duì)立事件，則A∪B是必然事件，但若A與B是互斥事件，則A∪B不一定是必然事件，即事件A的對(duì)立事件只有一個(gè)，而事件A的互斥事件可以有多個(gè)．(2)聯(lián)系：互斥事件和對(duì)立事件在一次試驗(yàn)中都不可能同時(shí)發(fā)生，而事件對(duì)立是互斥的特殊情況，即對(duì)立必互斥，但互斥不一定對(duì)立．
2．從集合的角度理解互斥事件與對(duì)立事件(1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．
練一練：1．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3}，B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，則事件A與事件B的關(guān)系是( )A．A?BB．A∩B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}C．事件A與B互斥D．事件A與B是對(duì)立事件[解析]　由題意事件A表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1或2或3；事件B表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2或4或6.故A∩B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}．
2．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶[解析]　事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶兩次”兩種情況．由互斥事件的定義，可知“兩次都不中靶”與之互斥．
從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中，任取一張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．判斷上面給出的每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說明理由．
[解析]　(1)是互斥事件，不是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件．同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對(duì)立事件．(2)既是互斥事件，又是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件．
(3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得牌點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．
[歸納提升]　辨析互斥事件與對(duì)立事件的思路辨析互斥事件與對(duì)立事件，可以從以下幾個(gè)方面入手：(1)從發(fā)生的角度看①在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生；②兩個(gè)對(duì)立事件必有一個(gè)發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生．即兩事件對(duì)立，必定互斥，但兩事件互斥，未必對(duì)立．對(duì)立事件是互斥事件的一個(gè)特例．(2)從事件個(gè)數(shù)的角度看互斥的概念適用于兩個(gè)或多個(gè)事件，但對(duì)立的概念只適用于兩個(gè)事件．
(1)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( )A．兩次都中靶 B．至少有一次中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶(2)一個(gè)人連續(xù)射擊三次，則事件“至少擊中兩次”的對(duì)立事件是( )A．恰有一次擊中 B．三次都沒擊中C．三次都擊中 D．至多擊中一次
[解析]　(1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“兩次都不中靶”，因此不會(huì)與其同時(shí)發(fā)生的事件是“兩次都中靶”．(2)根據(jù)題意，一個(gè)人連續(xù)射擊三次，事件“至少擊中兩次”包括“擊中兩次”和“擊中三次”兩個(gè)事件，其對(duì)立事件為“一次都沒有擊中和擊中一次”，即“至多擊中一次”.
在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義許多事件．例如，事件C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，事件C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事件C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，事件C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，事件C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，事件C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，事件D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事件D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事件D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事件E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事件F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事件G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，請(qǐng)根據(jù)上述定義的事件，回答下列問題：(1)請(qǐng)舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件．
[解析]　(1)因?yàn)槭录﨏1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1與事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因?yàn)槭录﨑2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
[歸納提升]　事件運(yùn)算應(yīng)注意的2個(gè)問題(1)進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．(2)在一些比較簡(jiǎn)單的題目中，需要判斷事件之間的關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)常識(shí)來判斷．但如果遇到比較復(fù)雜的題目，就得嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來推理．
在試驗(yàn)“連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”中，事件A表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)”；事件Aj表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)，第二次擲出j點(diǎn)”；事件B表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6”；事件C表示隨機(jī)事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)比第一次的大3”．(1)試用樣本點(diǎn)表示事件A∩B與A∪B；(2)試判斷事件A與B，A與C，B與C是否為互斥事件；(3)試用事件Aj表示隨機(jī)事件A.
[解析]　依題意可知樣本空間為
(1)因?yàn)槭录嗀表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)”，所以A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)}．因?yàn)槭录﨎表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6”，所以B＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．所以A∩B＝{(1,5)}，A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)} .(2)因?yàn)槭录﨏表示隨機(jī)事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)比第一次的大3”，所以C＝{(1,4)，(2,5)，(3,6)}．因?yàn)锳∩B＝{(1,5)}≠?，A∩C＝{(1,4)}≠?，B∩C＝?，所以事件A與事件B，事件A與事件C不是互斥事件，事件B與事件C是互斥事件．
(3)因?yàn)槭录嗀j表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)，第二次擲出j點(diǎn)”，所以A1＝{(1,1)}，A2＝{(1,2)}，A3＝{(1,3)}，A4＝{(1,4)}，A5＝{(1,5)}，A6＝{(1,6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
設(shè)A，B，C表示三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用A，B，C表示出來．(1)三個(gè)事件都發(fā)生；(2)三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生；(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生；(4)A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；(5)A，B至少有一個(gè)發(fā)生，C不發(fā)生；(6)A，B，C中恰好有兩個(gè)發(fā)生．
[解析]　(1)ABC　(2)A∪B∪C
[歸納提升]　利用隨機(jī)事件的運(yùn)算與集合運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以有效地解決此類問題．
從某大學(xué)數(shù)學(xué)系圖書室中任選一本書．設(shè)A表示事件“任選一本書，這本書為數(shù)學(xué)書”；B表示事件“任選一本書，這本書為中文版的書”；C表示事件“任選一本書，這本書為2000年后出版的書”．問：
(2)在“圖書室中所有數(shù)學(xué)書都是2000年后出版的且為中文版”的條件下才有ABC＝A.
不能正確區(qū)分對(duì)立事件和互斥事件致錯(cuò)進(jìn)行拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，有下列各組事件：(1)“出現(xiàn)1點(diǎn)”與“出現(xiàn)2點(diǎn)”；(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；(3)“出現(xiàn)大于3的點(diǎn)”與“出現(xiàn)大于4的點(diǎn)”．其中是對(duì)立事件的組數(shù)是( )A．0 B．1 C．2 D．3
[錯(cuò)解]　C[錯(cuò)因分析]　錯(cuò)解混淆了互斥事件與對(duì)立事件，誤將互斥事件當(dāng)作了對(duì)立事件．只有(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是對(duì)立事件，而(1)中“出現(xiàn)1點(diǎn)”與“出現(xiàn)2點(diǎn)”是互斥事件，但不是對(duì)立事件，(3)中“出現(xiàn)大于3的點(diǎn)”與“出現(xiàn)大于4的點(diǎn)”不是互斥事件，所以也不是對(duì)立事件．[正解]　B
[誤區(qū)警示]　對(duì)立事件一定是互斥事件，而互斥事件卻不一定是對(duì)立事件．忽略互斥事件與對(duì)立事件之間的區(qū)別與聯(lián)系，對(duì)“恰”“至少”“都”等詞語理解不透徹．判斷兩個(gè)事件是否互斥，就要看它們是否能同時(shí)發(fā)生；判斷兩個(gè)互斥事件是否對(duì)立，就要看它們是否有一個(gè)必然發(fā)生．
(2023·廣東省茂名市期末)若干人站成一排，其中為互斥事件的是( )A．“甲站排頭”與“乙站排頭”B．“甲站排頭”與“乙站排尾”C．“甲站排頭”與“乙不站排頭”D．“甲不站排頭”與“乙不站排頭”[解析]　根據(jù)互斥事件不能同時(shí)發(fā)生，判斷A是互斥事件；B，C，D中兩事件能同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件．
1．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件具有包含關(guān)系的是( )A．“出現(xiàn)小于2點(diǎn)”與“出現(xiàn)大于2點(diǎn)”B．“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”C．“出現(xiàn)2點(diǎn)”與“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”D．“出現(xiàn)小于4點(diǎn)”與“出現(xiàn)大于2點(diǎn)”[解析]　出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，即出現(xiàn)2點(diǎn)、4點(diǎn)或6點(diǎn)，與出現(xiàn)2點(diǎn)是包含關(guān)系．
2．給出事件A與B的關(guān)系示意圖，如圖所示，則( )A．A?B B．A?BC．A與B互斥 D．A與B互為對(duì)立事件
3．已知A、B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則“A、B為互斥事件”是“A、B為對(duì)立事件”的( )A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．非充分非必要條件[解析]　根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念可知，互斥不一定對(duì)立，對(duì)立一定互斥，所以“ A、B為互斥事件”是“ A、B 為對(duì)立事件”的必要非充分條件．故選B.
4．設(shè)M，N，P是三個(gè)事件，則M，N至少有一個(gè)不發(fā)生且P發(fā)生可表示為( )
5．盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}，事件E＝{3個(gè)球都是紅球}，事件F＝{3個(gè)球中至少有一個(gè)白球}．(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事件C與A的交事件是什么事件？(3)事件C與A、B、E是什么運(yùn)算關(guān)系？C與F的交事件是什么？

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