10.1　隨機事件與概率10.1.1　有限樣本空間與隨機事件
結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關(guān)系．能夠在實際問題中抽象出隨機現(xiàn)象與隨機事件的概念，能夠用樣本空間去解釋相關(guān)問題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).
1．隨機試驗的概念和特點(1)隨機試驗：我們把對___________的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E來表示．(2)隨機試驗的特點：①試驗可以在相同條件下_______進行；②試驗的所有可能結(jié)果是___________的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．
[拓展]　關(guān)于樣本點和樣本空間(1)樣本點是指隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間；(2)只討論樣本空間為有限集的情況，即有限樣本空間．
練一練：從標(biāo)有1,2,3,4,5的5張卡片中任取兩張，觀察取出的卡片上的數(shù)字．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗的樣本點的總數(shù)；(3)“數(shù)字之和為5”這一事件包含哪幾個樣本點？[解析]　(1)這個試驗的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}((1,2)表示抽出標(biāo)有1,2的兩張卡片)．(2)樣本點的總數(shù)是10.(3)“數(shù)字之和為5”這一事件包含以下兩個樣本點：(1,4)，(2,3)．
[提醒]　(1)隨機事件是樣本空間的子集．隨機事件是由若干個基本事件構(gòu)成的，當(dāng)然，基本事件也是隨機事件．(2)必然事件與不可能事件不具有隨機性，是隨機事件的兩個極端情形．
練一練：(多選題)下列事件中是隨機事件的是( )A．連續(xù)擲一枚硬幣兩次、兩次都出現(xiàn)正面朝上B．異性電荷相互吸引C．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1 ℃結(jié)冰D．買一注彩票中了特等獎[解析]　A、D是隨機事件，B為必然事件，C為不可能事件．
在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機事件？(1)如果a、b都是實數(shù)，那么a＋b＝b＋a；(2)從分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6的6張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，得?號簽；(3)沒有水分，種子發(fā)芽；(4)某電話總機在60秒內(nèi)接到至少15個電話；(5)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的溫度達(dá)到50 ℃時會沸騰；(6)同性電荷相互排斥．
[分析]　依據(jù)事件的分類及其定義，在給出的條件下，判斷事件是否發(fā)生．[解析]　結(jié)合必然事件、不可能事件、隨機事件的定義可知．(1)對任意實數(shù)，都滿足加法的交換律，故此事件是必然事件．(2)從6張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，得?號簽，此事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故此事件是隨機事件．(3)適宜的溫度和充足的水分，是種子萌發(fā)不可缺少的兩個條件，沒有水分，種子就不可能發(fā)芽，故此事件是不可能事件．
(4)電話總機在60秒內(nèi)接到至少15個電話，此事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故此事件是隨機事件．(5)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的溫度達(dá)到100 ℃時，開始沸騰，水溫達(dá)到50 ℃，水不會沸騰，故此事件是不可能事件．(6)根據(jù)“同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引”的原理判斷，該事件是必然事件．
[歸納提升]　判斷一個事件是隨機事件、必然事件還是不可能事件，首先一定要看條件，其次是看在該條件下所研究的事件是一定發(fā)生(必然事件)、不一定發(fā)生(隨機事件)，還是一定不發(fā)生(不可能事件)．
(1)(多選題)下列現(xiàn)象中，是隨機現(xiàn)象的有( )A．在一條公路上，交警記錄某一小時通過的汽車超過300輛B．若a為整數(shù)，則a＋1為整數(shù)C．發(fā)射一顆炮彈，命中目標(biāo)D．檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品(2)從100個同類產(chǎn)品(其中有2個次品)中任取3個．①三個正品；②兩個正品，一個次品；③一個正品，兩個次品；④三個次品；⑤至少一個次品；⑥至少一個正品．其中必然事件是______，不可能事件是_____，隨機事件是______________.(填序號)
(3)下列事件中，不可能事件為( )A．鈍角三角形兩個小角之和小于90°B．三角形中大邊對大角，大角對大邊C．銳角三角形中兩個內(nèi)角和小于90°D．三角形中任意兩邊的和大于第三邊
[解析]　(1)當(dāng)a為整數(shù)時，a＋1一定為整數(shù)，是必然現(xiàn)象，其余3個均為隨機現(xiàn)象．故選ACD.(2)從100個同類產(chǎn)品(其中有2個次品)中任取3個，可能結(jié)果是“三個全是正品”“兩個正品一個次品”“一個正品兩個次品”．(3)若兩內(nèi)角的和小于90°，則第三個內(nèi)角必大于90°，故不是銳角三角形，所以C為不可能事件，而A，B，D均為必然事件.
下列隨機事件中，一次試驗各指什么？試寫出試驗的樣本空間．(1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣多次；(2)從集合A＝{a，b，c，d}中任取3個元素；(3)從集合A＝{a，b，c，d}中任取2個元素．
[解析]　(1)一次試驗是指“先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次”，試驗的樣本空間為：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}．(2)一次試驗是指“從集合A中一次選取3個元素組成集合”，試驗的樣本空間為：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}．(3)一次試驗是指“從集合A中一次選取2個元素”，試驗的樣本空間為：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}．
[歸納提升]　不重不漏地列舉試驗的所有樣本點的方法(1)結(jié)果是相對于條件而言的，要弄清試驗的結(jié)果，必須首先明確試驗中的條件．(2)根據(jù)日常生活經(jīng)驗，按照一定的順序列舉出所有可能的結(jié)果，可應(yīng)用畫樹狀圖、列表等方法解決．
從含有6件次品的200件產(chǎn)品中任取7件，觀察其中次品數(shù)，寫出對應(yīng)的樣本空間，并說出事件A＝{1,2}，B＝{0}的實際意義．[解析]　樣本空間為Ω＝{0,1,2,3,4,5,6}，事件A＝{1,2}表示抽取的7件產(chǎn)品中，恰有一件次品或恰有兩件次品，事件B＝{0}表示抽取的7件產(chǎn)品中，沒有次品.
一個口袋內(nèi)裝有除顏色外完全相同的5個球，其中3個白球，2個黑球，從中一次摸出2個球．(1)一共有多少個樣本點？(2)寫出“2個球都是白球”這一事件的集合表示．[解析]　(1)分別記白球為1,2,3號，黑球為4,5號，則這個試驗的樣本點為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個[其中(1,2)表示摸到1號球和2號球]．(2)記A表示“2個球都是白球”這一事件，則A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}．
[歸納提升]　1.判斷隨機事件的結(jié)果是相對于條件而言的，要確定樣本空間，(1)必須明確事件發(fā)生的條件；(2)根據(jù)題意，按一定的次序列出所有樣本點．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機會是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏．2．試驗中當(dāng)試驗的結(jié)果不唯一時，一定要將各種可能都要考慮到，尤其是有順序和無順序的情況最易出錯．
做拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子的試驗，用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示紅色骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示藍(lán)色骰子出現(xiàn)的點數(shù)．寫出：(1)這個試驗的樣本空間；(2)指出事件A＝{(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}的含義；(3)寫出“點數(shù)之和大于8”這一事件的集合表示．
[解析]　(1)這個試驗的樣本空間Ω為{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．(2)事件A的含義為拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子，擲出的點數(shù)之和為7.(3)記B＝“點數(shù)之和大于8”，則B＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
忽視試驗結(jié)果與順序的關(guān)系而致誤已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，從這兩個集合中各取一個元素分別作為點的橫、縱坐標(biāo)．(1)寫出這個試驗的基本事件空間；(2)求這個試驗的基本事件的總數(shù)．[錯解]　(1)這個試驗的基本事件空間Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)， (－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)}．(2)這個試驗的基本事件的總數(shù)是6.
[錯因分析]　題中要求從兩個集合中各取一個元素分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，所以集合N中的元素也可以作為橫坐標(biāo)，錯解中少了以下基本事件：(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)．[正解]　(1)這個試驗的基本事件空間Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)， (－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)}．(2)這個試驗的基本事件的總數(shù)是12.
同時拋擲兩枚大小相同的骰子，用(x，y)表示結(jié)果，記A為“所得點數(shù)之和小于5”，則事件A包含的樣本點的個數(shù)是( )A．3 B．4 C．5 D．6[解析]　(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6個樣本點．
1．給出下列事件：①任取一個整數(shù)，能被2整除；②小明同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測試中成績一定不低于120分；③甲、乙兩人進行競技比賽，甲的實力遠(yuǎn)勝于乙，在一次比賽中甲獲勝；④當(dāng)圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍時，圓的面積是原來的4倍，其中隨機事件的個數(shù)是( )A．1 B．3C．0 D．4[解析]　①②③為隨機事件，④為必然事件．
2．一個家庭有兩個小孩兒，則可能的結(jié)果為( )A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}[解析]　隨機試驗的所有結(jié)果要保證等可能性．兩個小孩兒有大小之分，所以(男，女)與(女，男)是不同的樣本點．
3．一個不透明的袋子中裝有5個黑球和3個白球，這些球的大小、質(zhì)地完全相同，隨機從袋子中摸出4個球，則下列事件是必然事件的是( )A．摸出的4個球中至少有一個是白球B．摸出的4個球中至少有一個是黑球C．摸出的4個球中至少有兩個是黑球D．摸出的4個球中至少有兩個是白球
[解析]　因為袋中有大小、質(zhì)地完全相同的5個黑球和3個白球，所以從中任取4個球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四種情況．故事件“摸出的4個球中至少有一個是白球”是隨機事件，故A錯誤；事件“摸出的4個球中至少有一個是黑球”是必然事件，故B正確；事件“摸出的4個球中至少有兩個是黑球”是隨機事件，故C錯誤；事件“摸出的4個球中至少有兩個是白球”是隨機事件，故D錯誤．故選B.
4．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，從集合A中選取不相同的兩個數(shù)，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系上的點，觀察點的位置，則事件“點落在x軸上”包含的樣本點共有( )A．7個 B．8個C．9個 D．10個[解析]　點落在x軸上所包含的樣本點為(－9,0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1,0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)，共9個．

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10.1 隨機事件與概率

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