人教版八年級上冊13.1.1 軸對稱同步練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題16.3 軸對稱十六大必考點
【人教版】

【考點1 軸對稱中坐標(biāo)與圖形變化】 1
【考點2 格點中的軸對稱】 3
【考點3 設(shè)計軸對軸圖案】 8
【考點4 鏡面對稱】 11
【考點5 利用軸對稱求最值】 12
【考點6 尋找構(gòu)成等腰三角形的點的個數(shù)】 17
【考點7 利用三線合一求值】 19
【考點8 利用三線合一證明】 23
【考點9 利用等角對等邊證明邊長相等】 28
【考點10 利用等角對等邊證明】 32
【考點11 作等腰三角形】 38
【考點12 等邊三角形的判定與性質(zhì)】 43
【考點13 含30度的直角三角形】 52
【考點14 尺規(guī)作垂直平分線或垂線】 61
【考點15 垂直平分線的判定與性質(zhì)】 65
【考點16 等腰三角形中的新定義問題】 74

【考點1 軸對稱中坐標(biāo)與圖形變化】
【例1】（2022·貴州省遵義市第一初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知點P1(2a-b,2)和P2(-7,4a+2b)關(guān)于x軸對稱，則ab=__．
【答案】-8
【分析】根據(jù)題意，列關(guān)于a、b的二元一次方程組，求解并計算即可；
【詳解】∵點P1(2a-b,2)和P2(-7,4a+2b)關(guān)于x軸對稱，
∴2a-b=-72+(4a+2b)=0
解得a=-2b=3，
∴ab=(-2)3=-8．
故答案為：-8
【點睛】本題考查了關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)，解二元一次方程組，掌握相關(guān)知識并熟練使用，同時注意解題中需注意的事項是本題的解題關(guān)鍵．
【變式1-1】（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第五中學(xué)七年級期中）將點A先向下平移3個單位，再向右平移2個單位后得B（﹣2，5），則A點關(guān)于y軸的對稱點坐標(biāo)為__________．
【答案】（4，8）
【分析】設(shè)A（x，y），根據(jù)向下平移縱坐標(biāo)減，向右平移橫坐標(biāo)加列方程求解，再根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．
【詳解】解：設(shè)A（x，y），
∵點A向下平移3個單位，再向右平移2個單位后得B（?2，5），
∴x＋2＝?2，y?3＝5，
解得x＝?4，y＝8，
∴點A的坐標(biāo)為（?4，8），
∴A點關(guān)于y軸的對稱點坐標(biāo)為（4，8）．
故答案為：（4，8）．
【點睛】本題考查了坐標(biāo)的平移規(guī)律，以及關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．
【變式1-2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）已知點P（2a+b，-3a）與點P′（8，b+2）．
(1)若點p與點p′關(guān)于x軸對稱，求a、b的值．
(2)若點p與點p′關(guān)于y軸對稱，求a、b的值．
【答案】(1)a=2，b=4
(2)a=6，b=-20

【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相等、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)方程組求解即可；
（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相等、橫坐標(biāo)互為相反數(shù)方程組求解即可．
（1）
解：∵點P與點P'關(guān)于x軸對稱，
∴2a+b=8，3a= b+2,解得a=2， b=4．
（2）
解：∵點P與點P'關(guān)于y軸對稱，
∴2a+b=-8，-3a= b+2
解得a=6， b=-20．
【點睛】本題主要考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點坐標(biāo)特征，關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相等、橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．
【變式1-3】（2022·吉林白山·八年級期末）在坐標(biāo)平面上有一個軸對稱圖形，其中A（3，﹣52）和B（3，﹣112）是圖形上的一對對稱點，若此圖形上另有一點C（﹣2，﹣9），則C點對稱點的坐標(biāo)是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣32） C．（﹣32，﹣9） D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
【分析】先利用點A和點B的坐標(biāo)特征可判斷圖形的對稱軸為直線y=-4，然后寫出點C關(guān)于直線y=-4的對稱點即可．
【詳解】解：∵A（3，﹣52）和B（3，﹣112）是圖形上的一對對稱點，
∴點A與點B關(guān)于直線y＝﹣4對稱，
∴點C（﹣2，﹣9）關(guān)于直線y＝﹣4的對稱點的坐標(biāo)為（﹣2，1）．
故選：A．
【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化，需要注意關(guān)于直線對稱：關(guān)于直線x=m對稱，則兩點的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)和為2m；關(guān)于直線y=n對稱，則兩點的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)和為2n．
【考點2 格點中的軸對稱】
【例2】（2022·湖北·武漢市光谷實驗中學(xué)八年級開學(xué)考試）如圖，是一個8×10正方形格紙，△ABC中A點坐標(biāo)為(﹣2，1)，B點的坐標(biāo)為(﹣1，2)．

(1)請在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，指出△ABC和△A'B'C'關(guān)于哪條直線對稱？（直接寫答案）
(2)作出△ABC關(guān)于x軸對稱圖形△A1B1C1；請直接寫出A'、B'、C'三點坐標(biāo)．
(3)在x軸上求作一點M，使△AB'M的周長最小，請直接寫出M點的坐標(biāo)．
【答案】(1)見解析，△ABC與△A'B'C'關(guān)于y軸對稱
(2)見解析，A'(2,1),B'(1,2),C'(3,3)
(3)見解析，M(﹣1，0)

【分析】（1）根據(jù)A，B兩點坐標(biāo)，確定平面直角坐標(biāo)系即可；
（2）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1,B1,C1即可；
（3）作點B'關(guān)于x軸的對稱點B″，連接AB″交x軸于點M，連接MB'，點M即為所求．
（1）
解：（1）如圖，平面直角坐標(biāo)系如圖所示：△ABC與△A'B'C'關(guān)于y軸對稱；

（2）
如圖，△A1B1C1即為所求，A'(2,1),B'(1,2),C'(3,3)；
（3）
如圖，點M即為所求．M（﹣1，0）．
此時：C△AB'M=AB'+AM+B'M=AB'+AM+B″M=AB'+AB″,
此時滿足周長最短．
【點睛】本題考查作圖﹣軸對稱變換，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱的性質(zhì)解決最短問題，屬于中考常考題型．
【變式2-1】（2022·山東濟(jì)南·八年級期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），過點（1，0）作x軸的垂線l．

(1)作出△ABC關(guān)于直線l的軸對稱圖形△A1B1C1；
(2)直接寫出A1（　　，　?。?，B1（　　，?。珻1（　　，　?。?br /> (3)在△ABC內(nèi)有一點P（m，n），則點P關(guān)于直線l的對稱點P1的坐標(biāo)為（　　，　?。ńY(jié)果用含m，n的式子表示）．
【答案】(1)見解析
(2)4，1；5，4；3，3
(3)2-m，n

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出△ABC關(guān)于直線l的軸對稱圖形△A1B1C1；
（2）根據(jù)坐標(biāo)系寫出點的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)△ABC與△A1B1C1關(guān)于直線l的軸對稱，則P與P1關(guān)于x=1對稱，據(jù)此即可求解．
（1）
解：如圖，△A1B1C1為所作；

（2）
由圖形可知：A1（4，1），B1（5，4），C1（3，3）；
故答案為：4，1；5，4；3，3；
（3）
點P關(guān)于直線l的對稱點P1的坐標(biāo)為（2﹣m，n）．
故答案為：2﹣m，n．
【點睛】本題考查了畫軸對稱圖形，軸對稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，M，N都在格點上．

(1)作△ABC關(guān)于直線MN對稱的圖形△A1B1C1；
(2)若網(wǎng)格中最小正方形邊長為1，求△ABC的面積；
(3)在直線MN上找一點P，使得PC-PA1的值最大，并畫出點P的位置．
【答案】(1)詳見解析
(2)72
(3)詳見解析

【分析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A、B、C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可．
（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
（3）連接A1C1交直線MN于點P，此時PC-PA1的值最大．
（1）
如圖，△A1B1C1即為所求．
（2）
△ABC的面積為3×3-12×1×3-12×3×2-12×1×2=72.
（3）
點P即為所求

【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，軸對稱一最短路徑問題，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)準(zhǔn)確作出點P．
【變式2-3】（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心八年級期中）如圖，已知三點A（-2，3），B（3，-3），C（-3，1），△ABC與△A1B1C1關(guān)于x軸對稱，其中A1，B1，C1分別是點A，B，C的對應(yīng)點．

(1)畫出△A1B1C1，并寫出三個頂點A1，B1，C1的坐標(biāo)；
(2)若點M(m+2，n-1)是△ABC上一點，其關(guān)于x軸的對稱點為M'(-m-4，n-3)，求m，n的值．
【答案】(1)圖見解析，A1（-2，-3），B1（3，3），C1（-3，-1）
(2)m=-3，n=2

【分析】（1）首先確定A、B、C三點的對稱點位置，再連接即可，然后再利用坐標(biāo)系寫出A1，B1，C1的坐標(biāo)；
（2）利用關(guān)于x軸的對稱的對稱點坐標(biāo)特點可得m+2=-m-4，n-1+n-3=0，再解方程即可．
（1）
如圖所示，△A1B1C1即為所求，

A1（-2，-3），B1（3，3），C1（-3，-1）；
（2）
∵點M（m+2，n-1）是△ABC上一點，其關(guān)于x軸的對稱點為M′（-m-4，n-3），
∴m+2=-m-4，n-1+n-3=0，
解得：m=-3，n=2．
【點睛】此題主要考查了作圖--軸對稱變換，關(guān)鍵是正確確定組成圖形的關(guān)鍵點的對稱點位置．
【考點3 設(shè)計軸對軸圖案】
【例3】（2022·江蘇·八年級課時練習(xí)）如圖所示的“鉆石”型網(wǎng)格（由邊長都為1個單位長度的等邊三角形組成），其中已經(jīng)涂黑了3個小三角形（陰影部分表示），請你再只涂黑一個小三角形，使它與陰影部分合起來所構(gòu)成的圖形是一個軸對稱圖形，一共有（????）種涂法．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】將一個圖形沿著某條直線翻折,直線兩側(cè)的部分能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形,根據(jù)軸對稱圖形的概念進(jìn)行設(shè)計即可．
【詳解】解：如圖所示：

故選：C
【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的概念,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握軸對稱圖形的概念．
【變式3-1】（2022·河北·九年級專題練習(xí)）如圖為5×5的方格，其中有A、B、C三點，現(xiàn)有一點P在其它格點上，且A、B、C、P為軸對稱圖形，問共有幾個這樣的點P（　?。?br />
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的點即可．
【詳解】解：如圖所示：A、B、C、P為軸對稱圖形，共有4個這樣的點P．
答案：B．

【點睛】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案,正確把握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．
【變式3-2】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）在3×3的正方形網(wǎng)格中，有三個小方格涂上陰影，請再在余下的6個空白的小方格中，選兩個小方格并涂成陰影，使得圖中的陰影部分組成一個軸對稱圖形，共有 ( )種不同的填涂方法．

A．3種 B．4種 C．5種 D．6種
【答案】D
【分析】如圖，將圖中的空白正方形標(biāo)號，然后根據(jù)軸對稱圖形的定義對其不同的組合進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：如圖所示：
當(dāng)將①②、①⑤、②③、②⑥、④⑤、④⑥分別組合，都可以得到軸對稱圖形，共有6種方法．
故選：D．

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的設(shè)計，熟知概念、明確方法是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）現(xiàn)有如圖1所示的兩種瓷磚，請你從兩種瓷磚中各選兩塊，拼成一個新的正方形，使拼成的圖案為軸對稱圖形，如圖2，要求：在圖3，圖4中各設(shè)計一種與示例拼法不同的軸對稱圖形．

【答案】見解析
【分析】利用軸對稱的性質(zhì)，以及軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換對稱軸來得到不同的圖案即可．
【詳解】解：依照軸對稱圖形的定義，設(shè)計出圖形，如圖所示．

【點睛】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，利用軸對稱定義得出是解題關(guān)鍵．
【考點4 鏡面對稱】
【例4】（2022·江蘇·宜興外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）小明在鏡中看到身后墻上的時鐘如下，你認(rèn)為實際時間最接近9：00（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的鐘面上的時針、分針的位置和實物應(yīng)關(guān)于過12時、6時的直線成軸對稱．
【詳解】9點的時鐘，在鏡子里看起來應(yīng)該是3點，所以最接近9點的時間在鏡子里看起來就更接近3點，所以應(yīng)該是圖B所示，最接近9點時間．
故選：B．
【點睛】主要考查鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．
【變式4-1】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）某公路急轉(zhuǎn)彎處設(shè)立了一面圓形大鏡子，從鏡子中看到汽車車牌的部分號碼如圖所示，則該車牌照的部分號碼為____．

【答案】E6395
【分析】利用鏡面對稱的性質(zhì)求解．鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．
【詳解】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的圖片中的數(shù)字與“E6395”成鏡面對稱，則該車牌照的部分號碼為E6395．
故答案為：E6395．
【點睛】本題考查了鏡面對稱的性質(zhì)，掌握鏡面對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·黑龍江·哈爾濱順邁學(xué)校八年級階段練習(xí)）從鏡子中看到背后墻上電子鐘的示意數(shù)為10：05,這時的實際時間為______.
【答案】20：01
【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．
【詳解】解：由圖分析可得題中所給的“10：05”與“20：01”成軸對稱，這時的時間應(yīng)是20：01．
故答案為：20：01．
【點睛】本題考查了鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧．
【變式4-3】（2022·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壠谥校┬∶鲝钠矫骁R子中看到鏡中電子鐘示數(shù)的像如圖所示，這時的時刻應(yīng)是________．

【答案】16:25:08
【分析】關(guān)于鏡子的像，實際數(shù)字與原來的數(shù)字關(guān)于豎直的線對稱，根據(jù)相應(yīng)數(shù)字的對稱性可得實際數(shù)字．
【詳解】解：∵是從鏡子中看，
∴對稱軸為豎直方向的直線，
∵5的對稱數(shù)字為2，2的對稱數(shù)字是5，鏡子中數(shù)字的順序與實際數(shù)字順序相反，
∴這時的時刻應(yīng)是16:25:08.
故答案為16:25:08.
【點睛】本題考查鏡面對稱，得到相應(yīng)的對稱軸是解決本題的關(guān)鍵；若是豎直方向的對稱軸，數(shù)的順序正好相反，注意2的對稱數(shù)字為5，5的對稱數(shù)字是2．
【考點5 利用軸對稱求最值】
【例5】（2022·湖南·李達(dá)中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分線，若P，Q分別是AD何AC上的動點，則PC＋PQ的最小值是（????）

A．2.4 B．4 C．4.8 D．5
【答案】C
【分析】由題意可以把Q反射到AB的O點，如此PC+PQ的最小值問題即變?yōu)镃與線段AB上某一點O的最短距離問題，最后根據(jù)“垂線段最短”的原理得解．
【詳解】解：如圖，作Q關(guān)于AP的對稱點O，則PQ=PO，所以O(shè)、P、C三點共線時，CO=PC+PO=PC+PQ，此時PC+PQ有可能取得最小值，
∵當(dāng)CO垂直于AB即CO移到CM位置時，CO的長度最小，
∴PC+PQ的最小值即為CM的長度，
∵S△ABC=12AB×CM=12AC×CB，
∴CM=6×810=4.8，即PC+PQ的最小值為 4.8，
故選C．

【點睛】本題考查了軸對稱最短路徑問題，垂線段最短，通過軸反射把線段和最小的問題轉(zhuǎn)化為線段外一點到線段某點連線段最短問題是解題關(guān)鍵．
【變式5-1】（2022·河南駐馬店·七年級期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，當(dāng)△AMN周長最小時，則∠MAN的度數(shù)為（????）

A．12α B．2α-180° C．180°-α D．α-90°
【答案】B
【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【詳解】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．作DA延長線AH，

∵∠DAB=α ，
∴∠HAA′=180°-α，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=180°-α，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2180°-α=360°-2α，
∴∠MAN=180°-∠AMN+∠ANM=180°-360°-2α=2α-180°．
故選：B．
【點睛】本題主要考查軸對稱-最段路線問題，熟練掌握平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．
【變式5-2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，AC＝5，動點M在線段AC上運動(不與端點重合)，點M關(guān)于邊AD，DC的對稱點分別為M1，M2，連接M1M2，點D在M1M2上，則在點M的運動過程中，線段M1M2長度的最小值是_______．

【答案】245
【分析】過D作DM'⊥AC于M'，連接DM，根據(jù)已知，由面積法先求出DM'=125，由M關(guān)于邊AD，DC的對稱點分別為M1，M2，可得DM1=DM=DM2，M1M2=2DM，故線段M1M2長度最小即是DM長度最小，此時DM⊥AC，M與M'重合，即可得M1M2最小值為2DM'=245．
【詳解】解：過D作DM'⊥AC于M'，連接DM，如圖：

長方形ABCD中，AD=BC=3，AB=CD=4，AC=5，
∴S△ADC=12AD?CD=12AC?DM'，
∴DM'=AD·CDAC=3×45=125，
∵M(jìn)關(guān)于邊AD，DC的對稱點分別為M1，M2，
∴DM1=DM=DM2，
∴M1M2=2DM，
線段M1M2長度最小即是DM長度最小，此時DM⊥AC，即M與M'重合，M1M2最小值為2DM'=245．
故答案為：245．
【點睛】本題考查對稱變換，涉及三角形面積、點到直線的距離等知識，解題的關(guān)鍵是將求M1M2長度的最小值轉(zhuǎn)化為求DM長度的最小值.
【變式5-3】（2022·福建龍巖·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動點，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是 _______．

【答案】485
【分析】如圖，作點P關(guān)于AB，AC的對稱點E，F(xiàn)，連接PE，PF，PA，EM，F(xiàn)N，AE，AF．首先證明E，A，F(xiàn)共線，則PM+MN+PN=EM+MN+NF≥EF，推出EF的值最小時，PM+MN+PN的值最小，求出PA的最小值，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，作點P關(guān)于AB，AC的對稱點E，F(xiàn)，連接PE，PF，PA，EM，F(xiàn)N，AE，AF．

由對稱的性質(zhì)可知，AE=AP=AF，∠BAP=∠BAE，∠CAP=∠CAF，
∵∠PAB+∠PAC=∠BAC=90°，
∴∠EAF=180°，
∴E，A，F(xiàn)共線，
∵M(jìn)E=MP，NF=NP，
∴PM+MN+PN=EM+MN+NF，
∵EM+MN+NF≥EF，
∴EF的值最小時，PM+MN+PN的值最小，
∵EF=2PA，
∴當(dāng)PA⊥BC時，PA的值最小，此時PA=6×810=245，
∴PM+MN+PN≥485，
∴PM+MN+PN的最小值為485．
故答案為：485．
【點睛】本題考查了軸對稱最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱的性質(zhì)添加輔助線，把問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短．
【考點6 尋找構(gòu)成等腰三角形的點的個數(shù)】
【例6】（2022·廣東·豐順縣潘田中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，請在圖中找一個頂點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點C有（????）

A．8個 B．7個 C．6個 D．5個
【答案】A
【分析】當(dāng)AB為底時，作AB的垂直平分線，當(dāng)AB為腰時，分別以A、B點為頂點，以AB為半徑作弧，分別找到格點即可求解．
【詳解】解：當(dāng)AB為底時，作AB的垂直平分線，可找出格點C的個數(shù)有5個，
當(dāng)AB為腰時，分別以A、B點為頂點，以AB為半徑作弧，可找出格點C的個數(shù)有3個；
∴這樣的頂點C有8個．

故選：A．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P有___個．
【答案】4
【分析】分別以A、B為圓心，以AB為半徑作圓，再作AB的垂直平分線，即可得出答案．
【詳解】解：以A為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有一個交點；
同理以B為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有兩個交點；
作AB的垂直平分線與BC有一個交點，
即有1+2+1＝4個，
故答案為4．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和動手操作能力．
【變式6-2】（2022·安徽·利辛縣汝集鎮(zhèn)西關(guān)學(xué)校八年級期末）如圖，△ABC的點A、C在直線l上，∠B=120°,?∠ACB=40°，若點P在直線l上運動，當(dāng)△ABP成為等腰三角形時，則∠ABP度數(shù)是_______．

【答案】10°或80°或20°或140°
【分析】分三種情形：AB=AP，PA=PB，BA=BP分別求解即可解決問題．
【詳解】解：如圖，

在ΔABC中，∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-120°-40°=20°，
①當(dāng)AB=AP時，∠ABP1=∠AP1B=10°，∠ABP3=∠AP3B=12(180°-20°)=80°，
②當(dāng)PA=PB時，∠ABP2=∠AP2B=20°，
③當(dāng)BA=BP時，∠ABP4=180°-20°-20°=140°，
綜上所述，滿足條件的∠ABP的值為10°或80°或20°或140°．
【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于?？碱}型．
【變式6-3】（2022·天津市武清區(qū)楊村第五中學(xué)八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別是A（3，0），B（0，4），若點P在坐標(biāo)軸上，且△PAB是等腰三角形，則滿足條件的點P有_____個．
【答案】8
【分析】分三種情況①以B為圓心，以AB為半徑作圓與兩軸的交點，②以A為圓心，以AB為半徑作圓與兩軸的交點，，③以AB為底， AB的垂直平分線與兩軸的交點即可
【詳解】解：如圖所示：
①以B為圓心，以AB為半徑作圓，交y軸有2點，交x軸有1點（點A除外），此時共3個點；
②以A為圓心，以AB為半徑作圓，交y軸有1點（點B除外），交x軸有2點，此時共3個點，
③以AB為底的三角形有2個，點P在AB的垂直平分線上，分別交x軸、y軸各1個點，此時共2個點；
3+3+2＝8，
因此，滿足條件的點P有8個，
故答案為：8．

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、熟練掌握等腰三角形的判定，分三種情況討論圓與坐標(biāo)軸的交點以及線段垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點是解決問題的關(guān)鍵．
【考點7 利用三線合一求值】
【例7】（2022·河北保定·八年級期末）如圖，一位同學(xué)拿了兩塊同樣的含45°的三角尺，即等腰直角△MNK，等腰直角△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設(shè)AC＝BC＝a，猜想此時重疊部分四邊形CEMF的面積為（????）

A．12a2 B．13a2 C．14a2 D．15a2
【答案】C
【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)證得MC=MB，∠ACM =∠B，∠CMF=∠BME，從而證明△CMF≌△BME，根據(jù)四邊形CEMF的面積=S△CMF+S△CEM=S△BCM求出答案．
【詳解】解：連接MC，
∵△ACB是等腰直角三角形，M是AB的中點，
∴MC⊥AB，∠ACM=∠BCM=∠B=45°，
∴MC=MB，∠BMC=90°，
∵∠EMF=90°=∠BMC，
∴∠EMF-∠CME=∠BMC-∠CME，即∠CMF=∠BME，
在△CMF和△BME中，
∠FCM=∠EBM=45°MC=MB∠CMF=∠BME,
∴△CMF≌△BMEASA，
∴S△CMF=S△BME，
∴四邊形CEMF的面積=S△CMF+S△CEM=S△BME+S△CEM=S△BCM=12S△ABC =14a2，
故選：C．

【點睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△CMF≌△BME．
【變式7-1】（2022·廣東·深圳市布心中學(xué)七年級期末）如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E中同一條直線上，CM平分∠DCE，連接BE，以下結(jié)論：①AD=DC；②CM⊥AE；③AE-BE=2CM；④∠BCM=∠CBE，正確的有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得AD=BE，∠ADC=∠BEC，可判斷①，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CDE=∠CED=45°，CM⊥AE，可判斷②，由全等三角形的性質(zhì)可求∠AEB=∠CME=90°，可得CM∥BE，可證∠BCM=∠CBE，可判斷④，由線段和差關(guān)系可判斷③，即可求解．
【詳解】解：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，{AC=BC∠ACD=∠BCE,CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，故①錯誤，
∵△DCE為等腰直角三角形，CM平分∠DCE，
∴∠CDE=∠CED=45°，CM⊥AE，故②正確，
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，
∴∠AEB=∠CME=90°，
∴CM∥BE，
∴∠BCM=∠CBE，故④正確，
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
∴AE-BE=2CM，故③正確，
故選：C．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明△ACD≌△BCE是本題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2022·浙江·平陽蘇步青學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點E，AC＝6，DE＝2，則△BCE的面積是(???)

A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF=DE=2，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．
【詳解】解：作EF⊥BC于F，

∵AC=BC=6，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴△BCE的面積=12×BC×EF=6，
故選：B．
【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，DE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，若DE＝4，則CF的長為_____.

【答案】8
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得到△ABC是△ACD的面積的兩倍，然后用等面積法求得DE和CF的關(guān)系，進(jìn)而得到CF的長．
【詳解】∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中線，
∴S△ABC=2S△ACD＝2×12×DE?AC＝DE?AC，
∵S△ABC=12AB?CF，
∴12AB?CF＝DE?AC，
∵AC＝AB，
∴12CF＝DE，
∵DE＝4，
∴CF＝8；
故答案為：8
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等面積法求高．
【考點8 利用三線合一證明】
【例8】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級）已知：如圖△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點H，且AE=BE．求證：

(1)△AHE≌△BCE；
(2)AH=2BD．
【答案】(1)見解析
(2)見解析

【分析】（1）由△ABC是等腰三角形，AD和BE是高，可知∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°，通過ASA即可證明△AEH≌△BEC，
（2）由（1）可知△AHE≌△BCE，則AH=BC，△ABC是等腰三角形，AD是底邊上的高，可知BC=2BD，即可進(jìn)行證明．
（1）
證明：∵AD是高，BE是高
∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°
∴∠EBC=∠CAD
又∵AE＝BE，∠AEH=∠BEC
∴△AEH≌△BEC(ASA)；
（2）
∵△AEH≌△BEC
∴AH＝BC
∵AB＝AC，AD是高
∴BC=2BD
∴AH＝2BD ．
【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、及三角形全等的判定方法．解決本題的關(guān)鍵是證明△AEH?△BEC．
【變式8-1】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，連接EF交AD于G，試判斷AD與EF垂直嗎？并說明理由．

【答案】AD⊥EF，理由見解析
【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE＝DF，然后再證Rt△AED≌Rt△AFD可得AE＝AF，即△AEF是等腰三角形，最后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可．
【詳解】解：AD⊥EF，理由如下：
∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∵AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形
∵AD平分∠EAF，
∴AD⊥EF（等腰三角形三線合一）．
【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，說明△AEF是等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2022·北京·垂楊柳中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求證：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．

【答案】證明見解析．
【分析】先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAD，再由三角形的高的定義得出∠BEC＝∠ADC＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠EBC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，根據(jù)同角的余角相等得出∠EBC＝∠CAD，等量代換得到∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．
【詳解】證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵BE⊥CE，AD⊥BC，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2022·山東青島·七年級期末）已知，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于點D，點E是AB邊上的一動點（不與點A、B重合），連接CE．

(1)如圖①，若E運動到BD上，過點A作CE的垂線交CD于點G，CE于點F，CB于點H，求證：CG=BE；
(2)如圖②，若E運動到AD上，過點A作CE的垂線與CE延長線交于點F，延長AF交CD延長線于點G，試猜想CG、BE的數(shù)量關(guān)系并證明．
【答案】(1)證明見解析
(2)CG=BE，證明見解析

【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠ACG=45°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠CAG=∠BCE，然后根據(jù)三角形全等的判定證出△CAG?△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；
（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=BD=AD,CD⊥AB，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠G=∠DEC，然后根據(jù)三角形全等的判定證出△ADG?△CDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DG=DE，最后根據(jù)線段和差即可得證．
（1）
證明：∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴∠B=∠ACG=45°，∠CAG+∠AHC=90°，
∵AH⊥CE，
∴∠BCE+∠AHC=90°，
∴∠CAG=∠BCE，
在△CAG和△BCE中，∠ACG=∠BAC=CB∠CAG=∠BCE，
∴△CAG?△BCEASA，
∴CG=BE．
（2）
解：CG=BE，證明如下：
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴CD=BD=AD,CD⊥AB，
∴∠DCE+∠DEC=90°，
∵AG⊥CF，
∴∠DCE+∠G=90°，
∴∠G=∠DEC，
在△ADG和△CDE中，∠ADG=∠CDE=90°∠G=∠DECAD=CD，
∴△ADG?△CDEAAS，
∴DG=DE，
又∵CD=BD，
∴DG+CD=DE+BD，
即CG=BE．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，正確找出全等三角形是解題關(guān)鍵．
【考點9 利用等角對等邊證明邊長相等】
【例9】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，過點D作BC的平行線，分別交AB，AC于E，F(xiàn)，則△AEF的周長是_____.

【答案】14
【分析】根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的等角對等邊得出EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，即可得出答案．
【詳解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC，
∴EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△AEF的周長＝AE＋EF＋AF＝AE＋ED＋FD＋AF＝AE＋EB＋FC＋AF＝AB＋AC＝14，
故答案為：14．
【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形等角對等邊，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【變式9-1】（2022·湖南長沙·八年級期中）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于點F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的長為__cm．

【答案】5．
【分析】根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)可證BD＝FD，EF＝CE，再根據(jù)線段和差可求CE的長．
【詳解】解：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACG，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∵BD＝9cm，DE＝4cm，，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），
∴EC＝5cm，
故答案為：5．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是理解已知條件，根據(jù)角平分線和平行線得出等腰三角形．
【變式9-2】（2022·浙江·樂清市知臨寄宿學(xué)校八年級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AC上一點，AE＝AB，連接DE.

(1)求證：△ABD≌△AED；
(2)已知∠ABC＝2∠C且BD＝5，AB＝9，求AC長．
【答案】(1)見解析；
(2)AC＝14．

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD＝∠CAD，然后利用“邊角邊”證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得AE＝AB，DE＝BD，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得∠AED＝∠B，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠AED＝∠C＋∠CDE，從而求出∠C＝∠CDE，根據(jù)等角對等邊可得CE＝DE，然后根據(jù)AC＝AE＋CE計算即可得解．
（1）
證明：∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△AED中，AB=AE∠BAD=∠EADAD=AD，
∴△ABD≌△AED（SAS）；
（2）
解：∵△ABD≌△AED，
∴AE＝AB＝9，DE＝BD＝5，∠AED＝∠B，
∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠B＝2∠C，
∴∠C＝∠CDE，
∴CE＝DE＝5，
∴AC＝AE＋CE＝9＋5＝14．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等角對等邊等知識，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2022·福建·廈門雙十中學(xué)八年級期末）如圖，為的角平分線．

(1)如圖1，若于點，交于點，，．則_______；
(2)如圖2，于點，連接，若的面積是6，求的面積；
(3)如圖3，若，，，則的長為_______．（用含的式子表示）
【答案】(1)3；
(2)12；
(3)

【分析】（1）依題意可證，從而AF=AE=4，可由FC=AC-AF求得問題的解；
（2）延長CG，AB交于點H，可證，從而AH=AC，HG=GC，又，，，由問題可解；
（3）在AC上取一點N，使得AN=AB，從而，所以BD=DN=NC=n-m，從而由求得DC的長．
（1）
解：，
，
∵為的角平分線，
，
，
，
，
，
故答案為：3；
（2）
解：延長CG，AB交于點H，

由（1）知，
，
，
，
，
，
故答案為：12；
（3）
解：在AC上取一點N，使得AN=AB

,
(SAS)
,,
，
,
,
,
，
由角平分線的性質(zhì)得：點D到AB，AC的距離相等，
，
又，
，

故答案為：
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【考點10 利用等角對等邊證明】
【例10】（2022·天津·八年級期中）如圖：E在△ABC的AC邊的延長線上，AB＝AC，D點在AB邊上，DE交BC于點F，DF＝EF，求證：BD＝CE．

【答案】見解析
【分析】過D作DG∥CE，交BC于點G，證明△DGF≌△ECF，可得DG＝CE，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等角對等邊可得BD＝DG，等量代換即可證明BD＝CE．
【詳解】證明：過D作DG∥CE，交BC于點G，

則∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB，
在△DGF和△ECF中，
∠GDF=∠EDF=EF∠DFG=∠CFE，
∴△DGF≌△ECF（ASA），
∴DG＝CE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠DGB，
∴BD＝DG
∴ BD＝CE．
【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等角對等邊，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2022·浙江·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過點B作AD的垂線，垂足為點D，DE∥AC，交AB于點E，CD∥AB．

(1)求證：△BDE是等腰三角形；
(2)求證：CD=BE．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析

【解析】（1）
證明：如圖，∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵DE∥AC，CD∥AB，
∴∠1=∠2=∠3=∠4．
∵∠2+∠ABD=90°，∠5+∠4=90°，
∴∠5=∠ABD，
∴DE=BE，
∴△BDE是等腰三角形；

（2）
證明：由（1）得∠4=∠2
∴AE=DE，
∵AD=AD，∠1=∠4，∠2=∠3，
∴△ACD≌△AED，
∴CD=AE，
∴CD=AE=DE=BE．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式10-2】（2022·陜西西安·七年級期末）已知∠AOB=60°，小新在學(xué)習(xí)了角平分線的知識后，做了一個夾角為120°（即∠DPE=120°）的角尺來作∠AOB的角平分線．

問題發(fā)現(xiàn)
(1)如圖1，他先在邊OA和OB上分別取OD=OE，再移動角尺使PD=PE，然后他就說射線OP是∠AOB的角平分線．請問小新的觀點是否正確，為什么？
問題探究
(2)如圖2，小新在確認(rèn)射線OP是∠AOB的角平分線后，一時興起，將角尺繞點P旋轉(zhuǎn)了一定的角度，若角尺旋轉(zhuǎn)后恰好使得DP∥OB，發(fā)現(xiàn)線段OD與OE有一定的數(shù)量關(guān)系．請你直接寫出線段OD與OE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)小新的觀點正確，理由見解析；
(2)OE＝2OD，理由見解析．

【分析】（1）根據(jù)SSS證明△OPD≌△OPE（SSS），求出∠POD＝∠POE可得結(jié)論；
（2）如圖，在OB上取一點T，使得OT＝OD，連接PT，證明△POD≌△POT（SAS），可得∠ODP＝∠OTP，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ODP＝120°，∠PEO＝60°，然后根據(jù)等角對等邊求出PT＝OT，PT＝TE，可得結(jié)論．
（1）
解：小新的觀點正確；
理由：在△OPD和△OPE中，OD=OEPD=PEOP=OP，
∴△OPD≌△OPE（SSS），
∴∠POD＝∠POE，
即射線OP是∠AOB的角平分線；
（2）
OE＝2OD；
理由：如圖，在OB上取一點T，使得OT＝OD，連接PT．

∵OP平分∠AOB，
∴∠POD＝∠POT，
在△POD和△POT中，OD=OT∠POD=∠POTOP=OP，
∴△POD≌△POT（SAS），
∴∠ODP＝∠OTP，
∵PD∥OB，
∴∠PDO＋∠AOB＝180°，∠DPE＋∠PEO＝180°，
∵∠AOB＝60°，∠DPE＝120°，
∴∠ODP＝120°，∠PEO＝60°，
∴∠OTP＝∠ODP＝120°，
∴∠PTE＝60°，
∴∠TPE＝∠PET＝60°，
∴TP＝TE，
∵∠PTE＝∠TOP＋∠TPO，∠POT＝30°，
∴∠TOP＝∠TPO＝30°，
∴OT＝TP，
∴OT＝TE，
∴OE＝2OD．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊，三角形外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
【變式10-3】（2022·江西·吉安縣文博國際學(xué)校八年級開學(xué)考試）如圖①，ΔABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F．

(1)圖①中有幾個等腰三角形？猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系．
(2)如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，在第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？
(3)如圖③，若ΔABC中∠B的平分線BO與∠ACG平分線CO交于O，過O點作OE∥BC，交AB于E，交AC于F．EF與BE、CF關(guān)系又如何？說明你的理由．
【答案】(1)圖中是等腰三角形的有：ΔAEF,ΔOEB,ΔOFC,ΔOBC,ΔABC，共5個等腰三角形；EF,BE,FC的關(guān)系是EF=BE+FC．理由見解析
(2)當(dāng)AB≠AC時，（1）的結(jié)論仍然成立，見解析
(3)EF=BE-FC．理由見解析

【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）利用（1）的方法解答即可；
（3）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可以判定△BEO和△CFO為等腰三角形，利用線段和差的關(guān)系可得結(jié)論．
（1）
解：圖中是等腰三角形的有：ΔAEF,ΔOEB,ΔOFC,ΔOBC,ΔABC，共5個等腰三角形；EF,BE,FC的關(guān)系是EF=BE+FC．理由如下：
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，F(xiàn)O=FC，
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（2）
當(dāng)AB≠AC時，（1）的結(jié)論仍然成立．
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO，
即EO=EB，F(xiàn)O=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）
EF=BE-FC．理由如下：
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠FOC=∠OCG，∠EOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，
∴BE=OE，
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，
∴EF=EO-FO=BE-FC．
【點睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，利用角平分線與平行線的組合模型得出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
【考點11 作等腰三角形】
【例11】（2022·山東青島·九年級專題練習(xí)）如圖，已知：點P和直線BC．
求作：等腰直角三角形MPQ，是∠PMQ=45°，點M落在BC上．

【答案】見解析
【分析】作PF⊥BC交BC于點E，以點E為圓心EP為半徑畫弧交BC于M、Q，連接PM、PQ，△PMQ即為所求．
【詳解】解：作PF⊥BC交BC于點E，以點E為圓心EP為半徑畫弧交BC于M、Q，連接PM、PQ，△PMQ即為所求．

【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖方法，靈活運用所學(xué)知識．
【變式11-1】（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級期中）我們知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一個頂角等于36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”．在△ABC中，已知：AB=AC，且∠B=36°，請用兩種不同的尺規(guī)作圖在BC上找點D，使得△ABD是黃金三角形，并說明其中一種做法的理由．

【答案】見解析
【分析】方法1，作線段AB的垂直平分線交BC于D；方法2，以B為圓心BA為半徑作弧交BC于D．
【詳解】如圖1所示，△ABD是黃金三角形：

如圖2所示，△ABD是黃金三角形：

根據(jù)作圖，可知：AB=AD，
∵∠B=36°，
∴△ABD是黃金三角形．
【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖－作等腰三角形以及線段的垂直平分線，仔細(xì)閱讀理解黃金三角形的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式11-2】（2022·福建龍巖·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，射線CM∥AB．

(1)在線段AB上取一點E，使得CE=CB，在射線CM上確定一點D，使△CDE是以CE為底邊的等腰三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)在（1）的條件下，連接AD，求證：AD=BC．
【答案】(1)見解析
(2)見解析

【分析】（1）以點C為圓心，CB為半徑畫弧，交AB于一點，該點即為點E，作CE的垂直平分線，交CM于一點，該點即為點D，連接CD、ED即可；
（2）證明四邊形ABCD是平行四邊形即可．
（1）
解：以點C為圓心，CB為半徑畫弧，交AB于一點，該點即為所求作的點E，作CE的垂直平分線，交CM于一點，該點即為所求作的點D，如圖所示：

（2）
證明：連接AD，如圖所示：

∵AC＝AB，CE＝CB，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠CEB，
∵CD∥AB，
∴∠CEB＝∠DCE，
∵DE＝DC，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠ABC＝∠ACB，
∴△DCE≌△ABC（ASA），
∴CD＝AB，
∵CD∥AB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC．
【點睛】本題主要考查作圖?復(fù)雜作圖，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．
【變式11-3】（2022·山東省青島第六十三中學(xué)八年級期中）已知∠α，線段a，求作：等腰△ABC，使得頂角∠A=∠α，BC上的高為a．

【答案】見詳解
【分析】作∠MAN=∠α，作∠MAN的平分線AP，并在射線AP上截取AD=h，過點D作直線BC⊥AD分別交∠MAN的兩邊于B，C，則得所求三角形．
【詳解】作法：1．作∠MAN=∠α
2．作∠MAN的平分線AP，并在射線AP上截取AD=a；
3．過點D作直線BC⊥AD分別交∠MAN的兩邊于B，C，

由作圖可知：∠MAN=∠α，AD=h，BC⊥AD，AP是∠MAN的平分線，
∵AP是∠MAN的平分線，
∴∠MAP=∠NAP，
∵BC⊥AD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD=AD，
∴△ADB≌ADC，
∴AB=AC，
則△ABC就是所求三角形．
【點睛】本題考查了復(fù)雜作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握基本作圖，等腰三角形的判定是解本題的關(guān)鍵．
【考點12 等邊三角形的判定與性質(zhì)】
【例12】（2022·全國·八年級期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別是BC，AB上的點，且BE＝CD，AD與CE相交于點F，連接BF，延長FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面積為m，AF：EF＝5：3，則△AEG的面積是（　?。?br />
A．25m B．13m C．38m D．35m
【答案】A
【分析】先根據(jù)SAS定理證出△ACD?△CBE，從而可得∠AFG=60°，根據(jù)等邊三角形的判定可得△AFG是等邊三角形，再根據(jù)SAS定理證出△ACF?△ABG，從而可得∠BGC=∠BAC=60°=∠AFG，根據(jù)平行線的判定可得AF∥BG，從而可得S△AFG=S△ABF=m，然后根據(jù)AF:EF=5:3可得EG:FG=2:5，最后根據(jù)三角形的面積公式即可得．
【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC=AB,∠ACB=∠CBA=∠BAC=60°，
在△ACD和△CBE中，BC=AC∠ACD=∠CBECD=BE，
∴△ACD?△CBESAS，
∴∠CAD=∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，
∴∠AFG=∠CAD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，
∵FG=FA，
∴△AFG是等邊三角形，
∴AF=AG,∠FAG=60°，
∴∠BAC-∠BAD=∠FAG-∠BAD，即∠CAF=∠BAG，
在△ACF和△ABG中，AC=AB∠CAF=∠BAGAF=AG，
∴△ACF?△ABGSAS，
∴∠ACF=∠ABG，
又∵∠AEC=∠BEG，
∴∠BGC=∠BAC=60°，
∴∠BGC=∠AFG，
∴AF∥BG，
∴S△AFG=S△ABF=m（同底等高），
∵AF:EF=5:3，F(xiàn)G=FA，
∴FG:EF=5:3，
∴EG:FG=2:5，
∴S△AEG:S△AFG=2:5，
∴S△AEG=25S△AFG=25m，
即△AEG的面積為25m，
故選：A．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，正確找出兩組全等三角形是解題關(guān)鍵．
【變式12-1】（2022·河南·鄭州市第四初級中學(xué)八年級期中）如圖，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝2b，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是（　?。?br />
A．12a+2b B．12a+43b C．a(chǎn)+2b D．32a
【答案】A
【分析】因為C△AEF=AF+AE+EF=12a+AE+EF，所以當(dāng)AE+EF最小時，△AEF周長取得最小值，由此作出軸對稱圖形，利用全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：連接CE并延長，作點A關(guān)于射線CE的對稱點M，連接AM，CM，連接FM交CE延長線于點N，連接AN，如下圖：

∵△ABC和△ADE是等邊三角形
∴AB=AC=a，AD=AE，∠BAC=∠ABC=∠DAE=60°
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE
即∠BAD=∠CAE
∴△BAD?△CAE(SAS)
∴∠ABD=∠ACE
∵AB=AC,AF=CF
∴BF⊥AC,且BF平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°
∴∠BCE=90°
即點E在射線CE上運動
∵點A和點M關(guān)于射線CE對稱
∴∠MCE=∠ACE=30°，CE⊥AM
∴∠ACM=60°
又∵CA=CM
∴△ACM是等邊三角形
∴AM=AC
∵BF⊥AC
∴FM=BF=2b
又∵C△AEF=AF+AE+EF=12a+AE+EF
∴當(dāng)AE+EF最小時，△AEF周長取得最小值
即AE+EF=MN+FN時，△AEF周長取得最小值
∴C△AEF=12a+FM=12a+2b
故選：A
【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)判定，以及軸對稱求最值，能夠根據(jù)題意作出相關(guān)的圖形是解題的關(guān)鍵.
【變式12-2】（2022·廣東·東華學(xué)校八年級期中）如圖，已知△ABC和△CDE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，

(1)求證：BD=AE，并求出∠DOE的度數(shù)；
(2)判斷△CFG的形狀并說明理由；
(3)求證：OA+OC=OB．
【答案】(1)證明見解析，∠DOE=60°
(2)△CFG是等邊三角形，理由見解析
(3)見解析

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合題意易證△BCD≌△ACE（SAS），即得出BD=AE，∠BDC=∠AEC，∠CBD=∠CAE．再根據(jù)∠DGO=∠CGE，即得出∠DOE=∠DCE=60°；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得出∠ACB=∠DCE=60°，即可求出∠BCF=∠ACG=60°，易證△BCF≌△ACG（ASA），即得出CG=CF，即證明△CFG是等邊三角形；
（3）在AE上尋找點P，連接CP使得CP=CO，過點C作CM⊥AE于點M，CN⊥BD于點N．易證△CDN≌△CEM（AAS），得出EM=DN，CM=CN，即證明OC為∠BOE的角平分線，得出∠BOC=∠EOC．又易證△CMG≌△CNF（SSS），得出∠MCG=∠NCF，從而得出∠MCN=∠GCF=60°，即可求出∠MON=120°，從而可求出∠BOC=∠EOC=12∠MON=60°，進(jìn)而可求出∠COD=180°?∠BOC=120°．易證△COP為等邊三角形，即得出∠CPO=60°，OP=OC，從而可求出∠CPE=120°=∠COD，進(jìn)而可證△COD≌△CPE（AAS），得出OD=PE．最后即可求出BO=BD?OD=AE?PE=AO+OP=AO+OC，即AO+OC= BO；
（1）
∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE =60°，
∴∠BCD=∠ACE =180°?60°=120°，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，∠BDC=∠AEC，∠CBD=∠CAE．
又∵∠DGO=∠CGE，
∴∠DOE=∠DCE=60°；
（2）
∵△ACB和△DCE是等邊三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=180°?60°?60°=60°，
∴∠BCF=∠ACG=60°，
在△BCF與△ACG中，∠CBF=∠CAGBC=AC∠BCF=∠ACG ，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴CG=CF．
∵∠FCG=60°，
∴△CFG是等邊三角形；
（3）
如圖，在AE上尋找點P，連接CP使得CP=CO，過點C作CM⊥AE于點M，CN⊥BD于點N．

∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDN=∠CEM．
在△CDN和△CEM中，∠CDN=∠CEM∠CND=∠CME=90°CD=CE，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴EM=DN，CM=CN，
∴OC為∠BOE的角平分線，
∴∠BOC=∠EOC．
∵BD=AE，BF=AG，
∴MG=NF．
在△CMG和△CNF中，CM=CNCG=CFMG=NF，
∴△CMG≌△CNF（SSS），
∴∠MCG=∠NCF，
∴∠MCN=∠GCF=60°，
∴∠MON=360°?∠MCN?90°?90°=120°．
∴∠BOC=∠EOC=12∠MON=60°，
∴∠COD=180°?∠BOC=120°．
∵CP=CO，∠COP=60°，
∴△COP為等邊三角形，
∴∠CPO=60°，OP=OC，
∴∠CPE=180°?∠CPO=120°=∠COD．
在△COD和△CPE中，∠CDO=∠CEP∠COD=∠CPECO=CP，
∴△COD≌△CPE（AAS），
∴OD=PE．
∴BO=BD?OD=AE?PE=AO+OP=AO+OC，即AO+OC= BO；
【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和定義．在證明（3）時正確的作出輔助線是解決的關(guān)鍵，較難．
【變式12-3】（2022·廣東·汕頭市金平區(qū)金園實驗中學(xué)八年級期末）曉芳利用兩張正三角形紙片，進(jìn)行了如下探究：

初步發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE交BD延長線于點F，求證：∠AFB＝60°；
深入探究：如圖2，在正三角形紙片△ABC的BC邊上取一點D，作∠ADE＝60°交∠ACB外角平分線于點E，探究CE，DC和AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；
拓展創(chuàng)新：如圖3，△ABC和△DCE均為正三角形，連接AE交BD于P，當(dāng)B，C，E三點共線時，連接PC，若BC＝3CE，直接寫出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個進(jìn)行證明：
（1）AP-3PDPC；
（2）AP+PC+2PDBD-PC+PE．
【答案】初步發(fā)現(xiàn)：證明見解析；深入探究：CE+DC=AC，證明見解析；拓展創(chuàng)新：（1）2，證明見解析；（2）1，證明見解析
【分析】初步發(fā)現(xiàn)：只需要利用SAS證明△BCD≌△ACE得到∠CBD=∠CAE，由∠BOC=∠AOF，推出∠AFO=∠BCO=60°，由此即可證明結(jié)論；
深入探究：在AB上取一點G使得BG=BD，連接DG，先證明△BDG是等邊三角形，得到BG=BD=DG，∠BGD=60°，再利用ASA證明△AGD≌△DCE得到CE=GD=BD，即可證明CE+DC=AC；
拓展創(chuàng)新：（1）如圖所示，在AE上取一點F，使得EF=PD，先證明△ACE≌△BCD得到AE=BD，∠AEC=∠BDC，再證明△CPD≌△CFE得到PD=FE，∠PCD=∠FCE，PC=CF，進(jìn)而證明△PCF是等邊三角形，得到PC=PF；過點C作CG⊥BD于G，CH⊥AE于H，利用面積法證明CG=CH，得到BP=3PE，得到AE=BD=3PC+4PD AP=2PC+3PD，由此即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）所求分別用PC和PD表示出分子和分母的線段的和差即可得到答案．
【詳解】解：初步發(fā)現(xiàn)：如圖所示，設(shè)AC與BF交于O，
∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴CB=CA，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠BOC=∠AOF，∠AOF+∠AFO+∠OAF=180°，∠CBO+∠BOC+∠BCO=180°，
∴∠AFO=∠BCO=60°，即∠AFB=60°；

深入探究：CE+DC=AC，證明如下：
如圖所示，在AB上取一點G使得BG=BD，連接DG，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=AB，∠ACB=∠B=60°，
∴∠ACF=120°，△BDG是等邊三角形，
∴BG=BD=DG，∠BGD=60°，
∴∠AGD=120°，AG=DC，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ECF=∠ACE=12∠ACF=60°，
∴∠DCE=120°，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠B=∠ADE=60°，
∴∠CDE=∠BAD，
在△AGD和△DCE中，
∠DAG=∠EDCAG=DC∠AGD=∠DCE，
∴△AGD≌△DCE（ASA），
∴CE=GD=BD，
∴CE+DC=BD+DC=BC，
∴CE+DC=AC；

拓展創(chuàng)新：（1）AP-3PDPC=2，證明如下：
如圖所示，在AE上取一點F，使得EF=PD，
∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
在△CPD和△CFE中，
CD=CE∠CDP=∠CEFDP=EF，
∴△CPD≌△CFE（SAS），
∴PD=FE，∠PCD=∠FCE，PC=CF，
∴∠PCD+∠DCF=∠FCE+∠DCF，
∴∠PCF=∠DCE=60°，
∴△PCF是等邊三角形，
∴PC=PF；
過點C作CG⊥BD于G，CH⊥AE于H，
∵△ACE≌△BCD，
∴S△ACE=S△BCD，
∴12BD?CG=12AE?CH，
∴CG=CH，
∵BC=3CE，
∴S△BCP=3S△PCE，
∴12BP?CG=3×12PE?CH，
∴BP=3PE，
∴AE=BD=BP+PD=3PE+PD=3PF+3EF+PD=3PC+4PD，
∴AP=AE-PE=3PC+4PD-PF-EF=2PC+3PD，
∴AP-3PDPC=2PC+3PD-2PDPC=2；

（2）AP+PC+2PDBD-PC+PE=1，證明如下：
由（1）可得AP+PC+2PD=2PC+3PD+PC+2PD=3PC+5PD，
BD-PC+PE=3PC+4PD-PC+PF+EF=3PC+4PD-PC+PC+PD=3PC+5PD，
∴AP+PC+2PDBD-PC+PE=1；
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形面積等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【考點13 含30度的直角三角形】
【例13】（2022·廣東·豐順縣球山中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，在 △ABC 中，AB=AC，D，E 在 △ABC 內(nèi)部，AD 平分 ∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若 BE=6，DE=2，則 BC 的長為____．

【答案】8
【分析】延長ED交BC于M，延長AD交BC于N，根據(jù)∠EBC=∠E=60°得出△BEM是等邊三角形，從而得出BM=EM=6，然后通過求出DM長度得出NM，最后得出BN，從而進(jìn)一步解出答案即可．
【詳解】解：如圖，延長ED交BC于M，延長AD交BC于N，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM是等邊三角形，
∵BE=6，DE=2，
∴EM=BE=6，
∴DM=4，
∵△BEM是等邊三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠ANC=90°
∴∠NDM=30°，
∴NM=12DM=2，
∴BN=4，
∴BC=2BN=8．
故答案為：8．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)與30°角對應(yīng)直角邊等于斜邊一半，熟練掌握相關(guān)概念并且正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．
【變式13-1】（2022·福建省永春崇賢中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，且點E落在AB上，DE的延長線與AC相交于點F，連接DA，BF，若∠ABC=60°，BF=AF．

(1)求證△ADF≌△BDF；
(2)若AF=2，求DF的長．
【答案】(1)見解析
(2)4

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及已知條件，證明△ABD是等邊三角形，然后根據(jù)SSS證明△ADF≌△BDF；
（2）由△ADF≌△BDF，得到∠ADF=∠BDF=30°，再證明∠DBF=90°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可解決問題．
（1）
證明：∵將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE，
∴AB=DB，∠DBE=∠ABC=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，
在△ADF與△BDF中，
AD=BDAF=BFDF=DF，
∴△ADF≌△BDF（SSS）；
（2）
∵△ABD是等邊三角形，
∴∠ADB=60°，
∵△ADF≌△BDF，
∴∠ADF=∠BDF=12∠ADB=30°，AF=BF，
∴DF⊥AB，∠DEB=∠C=90°，
∴∠BAC=30°，
∵AF=BF，
∴∠EBF=∠BAC=30°，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=60°+30°=90°，
∵BF=AF=2，∠BDF=30°，
∴DF=2BF=4．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【變式13-2】（2022·福建省長樂第七中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知∠ABC＝60°，AB＝BC，D是BC邊上一點，延長AD到點E，使得AD＝DE，連接CE，過點D作BC的垂線，交CE的垂直平分線于點F，連接EF．

(1)如圖1，當(dāng)點D與點C重合時，證明：BF＝2DF；
(2)如圖2，當(dāng)點D不與B，C兩點重合時，（1）中的結(jié)論是否還成立？并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)仍然成立，理由見解析

【分析】（1）先證明△ABD是等邊三角形，推出BD＝DE，求出∠BED＝30°，由點F在DE的垂直平分線上，得到DF＝EF，求出∠FED＝∠BED，得B、E、F三點共線，證得∠FBD＝30°，即可得到BF＝2DF；
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．延長FD至點G，使得DG＝DF，連接BG，AG，證明△ADG≌△EDF（SAS），得到AG＝EF．由FC＝FE得到AG＝CF，推出△ABG≌△CBF（SSS），得到∠ABG＝∠GBD，求出∠DBF＝∠GBD＝30°，即可推出BF＝2DF．
（1）
解：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，點D與點CA重合，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ADB＝60°，
∵AD＝DE，
∴BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∵∠ADB＝∠DBE+∠DEB，
∴2∠BED＝60°，
∴∠BED＝30°，
∵DF⊥BD，
∴∠BDF＝90°，
∴∠FDE＝30°．
∵點F在DE的垂直平分線上，
∴DF＝EF，
∴∠FED＝∠FDE＝30°，
∴∠FED＝∠BED，
由題意知，點B，F(xiàn)在AE的同側(cè)，
∴B、E、F三點共線，
∴∠FBD＝30°，
∴BF＝2DF；
（2）
（1）中的結(jié)論仍然成立．
理由如下：延長FD至點G，使得DG＝DF，連接BG，AG，

∵DF⊥BC于點D，
∴∠BDF＝90°，
∴BG＝BF，
∴∠DBF＝∠DBG．
又AD＝DE，∠ADG＝∠EDF，
∴△ADG≌△EDF（SAS），
∴AG＝EF．
∵點F在CE的垂直平分線上，
∴FC＝FE，
∴AG＝CF，
又AB＝BC，
∴△ABG≌△CBF（SSS），
∴∠ABG＝∠CBF，
∴∠ABG＝∠GBD，
又∠ABC＝60°，
∴∠GBD＝30°，
∴∠DBF＝∠GBD＝30°，
∴BF＝2DF．
【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形30°角的性質(zhì)，熟記各知識點并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【變式13-3】（2022·福建·莆田哲理中學(xué)八年級期末）如圖1，在△ABD中，點E，F(xiàn)分別是AB和AD上的點，滿足AE=EF，連接EF并延長交BD延長線于點C．

(1)若DC=DF=EF，求證：AB=BC；
(2)如圖2，過B作BG⊥AD，垂足為G．
（i）求證：∠ABG=∠GBD+∠C；
（ii）如圖3，連接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面積為4，求△AFC的面積．
【答案】(1)見解析
(2)（i）見解析；（ii）S△ACF＝8

【分析】
（1）先證明∠AEF＝∠CDF，然后證明△AEF≌△FDC（SAS），得到AF＝CF，進(jìn)一步證明△ABD≌△CBF（ASA），即可證明AB＝BC；
（2）（i）如圖1，延長BG交CE于H，先證明∠ABG＝∠FHG，再由∠FHG是△CBH的外角，得到∠FHG＝∠GBD+∠C，則∠ABG＝∠GBD+∠C；（ii）在AD上截取DN＝BD，連接BN，作CM⊥AD于M，先證明△BDN是等邊三角形，得到BN＝BD＝DN，∠BND＝∠BDN＝60°，則∠ANB＝∠CDG＝120°，再證△ABN≌△FCD（AAS），推出CD＝BD，證明△BDG≌△CDM（AAS），得到CM＝BG，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到DG＝12BD，DG＝12AF，據(jù)此求解即可．
（1）
解：∵AE＝EF，
∴∠A＝∠AFE，
同理可得：∠C＝∠CFD，
∴∠AFE＝∠CFD，
∴∠A＝∠AEF＝∠CFD＝∠C，
∴∠AEF＝∠CDF，
在△AEF和△CDF中，
AE=DF∠AEF=∠CDFEF=CD，
∴△AEF≌△FDC（SAS），
∴AF＝CF，
∴AF+DF＝CF+EF，
∴AD＝CE，
∵∠AEF＝∠CDF，
∴∠BEC＝∠ADB，
又∵∠C=∠A，
∴△ABD≌△CBF（ASA），
∴AB＝BC；
（2）
（i）如圖1，延長BG交CE于H，

∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝∠FGH＝90°，
∴∠A+∠ABG＝∠HFG+∠FHG＝90°，
由（1）得，∠A＝∠HFG，
∴∠ABG＝∠FHG，
∵∠FHG是△CBH的外角，
∴∠FHG＝∠GBD+∠C，
∴∠ABG＝∠GBD+∠C；
（ii）解：如圖2，

在AD上截取DN＝BD，連接BN，作CM⊥AD于M，
∴∠M＝90°，
∵∠BGD＝90°，∠GBD＝30°，
∴∠BDG＝90°﹣∠GBD＝60°，
∴△BDN是等邊三角形，
∴BN＝BD＝DN，∠BND＝∠BDN＝60°，
∴∠ANB＝∠CDG＝120°，
∵BD＝DN，BD＝AF，
∴AF＝DN，
∴AN＝DF，
由（1）知：∠BAN＝∠CFD，
∴△ABN≌△FCD（AAS），
∴CD＝BN，
∴CD＝BD，
∵∠M＝∠BGD＝90°，∠BDG＝∠CDM，
∴△BDG≌△CDM（AAS），
∴CM＝BG，
∵∠BGD＝90°，∠DBG＝30°，
∴DG＝12BD，
∴DG＝12AF，
∵SΔBDG=12DG?BG＝12?(12AF)?BG，SΔACF=12AF?CM＝12AF?BG，
∴S△ACF＝2S△BDG＝2×4＝8．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，等邊對等角，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【考點14 尺規(guī)作垂直平分線或垂線】
【例14】（2022·陜西省西安愛知中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，已知△ABC，P為邊AB上一點，請用尺規(guī)作圖的方法在邊AC上求作一點E，使AE+EP=AC．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，連接PC，作PC的垂直平分線即可求解．
【詳解】解：如圖所示：先連接PC，再分別以P、C為圓心，大于12PC長為半徑畫弧，分別交于M、N兩點，連接MN，MN與AC的交點即為所求的E點，

點E即為所求．
【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的作法以及性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的作法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式14-1】（2022·重慶市第十一中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，已知∠β、∠α和線段m，請用尺規(guī)完成如下作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．

(1)求作△ABC，使∠B=∠β,∠A=∠α,AB=m；
(2)作出（1）中△ABC的三條高．
【答案】(1)見解析
(2)見解析

【分析】（1）先作線段AB=m，再分別以A、B為頂點，作∠B=∠β,∠A=∠α，則可得到△ABC；
（2）利用基本作圖作△ABC的三邊上的高．
（1）
解：如圖，△ABC即為所求，

；
（2）
解：如圖，CE，BF，AG即為所求，
．
【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
【變式14-2】（2022·廣東廣州·八年級期中）如圖，在鈍角△ABC中．

(1)用尺規(guī)作圖法作AC的垂直平分線，與邊BC、AC分別交于點D、E（保留作圖痕跡，不用寫作法）；
(2)在（1）的條件下，畫出△ABC的AC邊上的高BH（可用三角板畫圖），連接AD，直接寫出∠ADE和∠HBC的大小關(guān)系．
【答案】(1)見解析
(2)圖見解析，∠ADE＝∠HBC

【分析】（1）利用尺規(guī)作圖法作AC的垂直平分線即可；
（2）在(1 )的條件下，畫出△ABC的AC邊上的高BH (可用三角板畫圖)即可，進(jìn)而可以寫出∠ADE和∠HBC的大小關(guān)系．
（1）
解：如圖，AC的垂直平分線DE即為所求；

（2）
解：在（1）的條件下，AC邊上的高BH即為所求．

∠ADE=∠HBC，理由如下：
∵DE是AC的垂直平分線，
∴DA＝DC，AE＝EC，
又DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE，
∵BH⊥AC，DE⊥AC，
∴DE∥BH，
∴∠CDE＝∠HBC，
∴∠ADE＝∠HBC．
【點睛】本題考查了作圖一復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．
【變式14-3】（2022·江蘇·八年級階段練習(xí)）小宇遇到了這樣一個問題：
已知：如圖，∠MON=90°，點A，B分別在射線OM，ON上，且滿足OB>2OA．
求作：線段OB上的一點C，使△AOC的周長等于線段OB的長．
以下是小宇分析和求解的過程，請補充完整：首先畫草圖進(jìn)行分析，如圖1所示，若符合題意得點C已經(jīng)找到，即△AOC得周長等于OB的長，那么由OA+OC+AC=OB=OC+BC，可以得到OA+AC= ．
對于這個式子，可以考慮用截長得辦法，在BC上取一點D，使得BD=AO，那么就可以得到CA= ．
若連接AD，由．（填推理依據(jù)）．可知點C在線段AD得垂直平分線上，于是問題得解法就找到了．
請根據(jù)小宇得分析，在圖2中完成作圖（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）．

【答案】圖見解析，BC，DC，線段的垂直平分線的判定
【分析】在線段BO上截取BD=OA，連接AD，作線段AD的垂直平分線交OD于點C，連接AC，△AOC即為所求．
【詳解】解：如圖，△AOC即為所求．

如圖1所示，若符合題意得點C已經(jīng)找到，即△AOC得周長等于OB的長，那么由OA+OC+AC=OB=OC+BC，可以得到OA+AC=BC．
對于這個式子，可以考慮用截長得辦法，在BC上取一點D，使得BD=AO，那么就可以得到CA=DC．
若連接AD，由線段的垂直平分線的判定．（填推理依據(jù)）．可知點C在線段AD得垂直平分線上，于是問題得解法就找到了．
故答案為：BC，DC，線段的垂直平分線的判定．
【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
【考點15 垂直平分線的判定與性質(zhì)】
【例15】（2022·廣東·廣州市第九十七中學(xué)八年級期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延長線于N．

（1）證明：BM=CN；
（2）當(dāng)∠BAC=70°時，求∠DCB的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）∠DCB=35°
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可得到DM=DN，DB=DC，根據(jù)HL證明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM=CN；
（2）由HL證明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出∠ADM=∠ADN=55°，由于∠BDM=∠CDN，因此∠BDC=110°，因此∠EDC=55°，根據(jù)兩角互余的關(guān)系即可求得∠DCB的度數(shù)．
【詳解】（1）證明：連接BD、CD，如圖所示：
∵AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，

∵DE垂直平分線BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
DB=DCDM=DN
∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=CN；
（2）由（1）得：∠BDM=∠CDN，
∵AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，
DA=DADM=DN
∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，
∴∠ADM=∠ADN
∵∠BAC=70°
∴∠MDN=110°，∠ADM=∠ADN=55°，
∵∠BDM=∠CDN
∴∠BDC=∠MDN=110°
∵AD是BC的垂直平分線
∴∠EDC=55°
∴∠DCB=90°-∠EDC=35°
∴∠DCB=35°
故答案為∠DCB=35°．
【點睛】考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟悉角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
【變式15-1】（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，△ABC中，BE平分∠ABC，E在AC垂直平分線上，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，

求證：（1）AG＝CF；
（2）BC﹣AB＝2FC．
【答案】見詳解．
【分析】（1）連接AE、EC，證明RT△AGE≌RT△CFE，即可證明AG=CF．
（2）先證BG=BF，現(xiàn)由（1）的結(jié)論得BC-AB=BF+FC-AB=BG-AB+FC=AG+CF=2CF．
【詳解】證明：（1）如圖1

連接AE、EC
∵E在AC的垂直平分線上
∴AE=CE
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，
∴GE=FE
在RT△AGE和RT△CFE中
∵{GE=FEAE=CE
∴RT△AGE≌RT△CFE（斜邊直角邊對應(yīng)相等的直角三角形全等）
∴AG＝CF．
（2）由（1）知GE=EF
在RT△BGE和RT△BFE中
∵{GE=EFBE=BE
∴RT△BGE≌RT△BFE（斜邊直角邊對應(yīng)相等的直角三角形全等）
∴BG=BF
∴BC-AB=BF+FC-AB
=BG-AB+FC
=GA+FC
由（1）知GA=FC代入得
BC﹣AB＝2FC．
【點睛】本題綜合考查角平分線的性質(zhì)定理和垂直平分線的性質(zhì)定理．本題關(guān)鍵是尋找條件運用“斜邊直角邊對應(yīng)相等的直角三角形全等”證明全等．
【變式15-2】（2022·山西臨汾·八年級階段練習(xí)）情景一：小明在數(shù)學(xué)興趣小組探究活動課上發(fā)現(xiàn)：對于一個△ABC，分別作邊AB，AC的垂直平分線DM，EN相交于點O，如圖1所示，此時經(jīng)過測量后，得到∠MAN＝30°，根據(jù)上述條件，能不能得到∠BAC的度數(shù)呢？小明結(jié)合所學(xué)過的知識進(jìn)行了以下論證．
證明：∵DM是邊AB的垂直平分線，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠B．
同理可得∠NAC＝∠C，
則∠BAC-∠B+∠C=30°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
解得∠BAC＝105°．
情景二：小明繼續(xù)對上述問題進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)：若邊AB，AC的垂直平分線DM，EN相交于點O，如圖2所示，試判斷∠MAN與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系．

(1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______．
(2)在圖1的情況下，若∠MAN的度數(shù)為α，則∠BAC的大小為______（用含α的代數(shù)式表示）．
(3)請寫出情景二中∠MAN與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)△ADM?△BDM
(2)90°+12α
(3)∠MAN+2∠BAC=180°；理由見解析

【分析】（1）利用邊角邊可證得△ADM?△BDM；
（2）利用∠BAC-∠B+∠C=∠MAN=α，∠BAC+∠B+∠C=180°，可得答案；
（3）證得∠ABC=∠BAM，∠NAC=∠BCA，結(jié)合∠BAM=∠ABC=∠BAN+∠MAN，∠NAC=∠BCA=∠CAM+∠MAN，∠BAC=∠BAN+∠MAN+∠CAM，可得答案；
（1）
解：∵ DM是AB的垂直平分線，
∴ BD=AD,∠BDM=∠ADM=90°，
∵DM=DM，
∴△ADM?△BDM(SAS)，
∴∠MAB=∠B，
故答案為：△ADM?△BDM；
（2）
由(1)知，∠MAB=∠B，
同理可得，∠NCA=∠CAN，
∵ ∠BAC-∠B+∠C=∠MAN=α，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=90°+12∠MAN=90°+12α，
故答案為：90°+12α；
（3）
∠MAN+2∠BAC=180°．
理由：∵ DM是AB的垂直平分線，
∴AD=BD,∠ADM=∠BDM=90°，
∴△ADM?△BDMSAS，
∴∠ABC=∠BAM，
同理可得，∠NAC=∠BCA，
∵ ∠BAM=∠ABC=∠BAN+∠MAN，∠NAC=∠BCA=∠CAM+∠MAN，
∠BAC=∠BAN+∠MAN+∠CAM，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴ ∠BAN+∠MAN+∠CAM+∠BAC=180°，
∴ ∠MAN+∠BAC+∠BAC=180°，
∴ ∠MAN+2∠BAC=180°．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定方法：邊邊邊，邊角邊，角角邊，解題關(guān)鍵靈活結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)．
【變式15-3】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，CA＝CB，過點A作射線AP∥BC，點M、N分別在邊BC、AC上（點M、N不與所在線段端點重合），且BM＝AN，連結(jié)BN并延長交射線AP于點D，連結(jié)MA并延長交AD的垂直平分線于點E，連結(jié)ED．

【猜想】如圖①，當(dāng)∠C＝30°時，可證△BCN≌△ACM，從而得出∠CBN＝∠CAM，進(jìn)而得出∠BDE的大小為______度．
【探究】如圖②，若∠C＝β．
（1）求證：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE的大小為______度（用含β的代數(shù)式表示）．
【應(yīng)用】如圖③，當(dāng)∠C＝120°時，AM平分∠BAC，若AM、BN交于點F，DE＝12DF，DE＝1，則△DEF的面積為______．
【答案】【猜想】150；【探究】（1）見解析；（2）(180﹣β)；【應(yīng)用】1
【分析】猜想：延長ED交BC于點F，交AC于點O．證明∠BNC＝∠BFE，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題；
探究：（1）同理根據(jù)SAS證明：△BCN≌△ACM；（2）延長ED交BC于點F，方法同（1）證出∠ACB＝∠BDF＝β，則可得出答案；
應(yīng)用：證明∠E＝90°，求出DF＝2，根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論．
【詳解】證明：如圖，延長ED交BC于點F，交AC于點O，

∵CB＝CA，
∴∠ABM＝∠BAN，
∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CM＝CN，
∵∠C＝∠C，
∴△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
∵E是AD的垂直平分線上的點，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠EMF，∠EDA＝∠EFM，
∴∠BNC＝∠BFE，
∴∠NOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，
∵∠C＝30°，∠FOC＝∠NOD，
∴∠NDO＝30°，
∴∠BDE＝150°，
故答案為：150°；
探究：
（1）證明：∵CA＝CB，BM＝AN，
∴CA﹣AN＝CB﹣BM，
∴MC＝NC，
在△BCN和△ACM中，BC=AC∠C=∠CCN=CM，
∴△BCN≌△ACM（SAS）；
（2）如圖，延長ED交BC于點F，

同理得△BCN≌△ACM（SAS），
∴∠CBN＝∠CAM，
同理得：∠BNC＝∠AMC＝∠BFE，
∴∠BNC+∠NBC＝∠NBC+∠BFE，
∴∠ACB＝∠BDF＝β，
∴∠BDE＝180°﹣β．
故答案為：（180﹣β）；
應(yīng)用：
∵∠C＝120°，CA＝CB，
∴∠BAC＝30°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAC＝12∠BAC＝15°，
∵AP∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝120°，
∴∠EAD＝180°﹣∠MAC﹣∠CAD＝45°，
由（2）可知，∠BDE＝180°﹣120°＝60°，∠CBN＝∠CAM＝∠ADB＝15°，
∴∠ADE＝45°，
∴∠E＝90°，
∵DE＝12DF，DE＝1，
∴DF＝2，
∴△DEF的面積為12DE?DF=12×1×2=1．
故答案為：1．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
【考點16 等腰三角形中的新定義問題】
【例16】（2022·山西臨汾·八年級階段練習(xí)）綜合實踐
在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE，則△ABD≌△ACE(SAS)．

(1)【初步把握】如圖2，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有_______≌________．
(2)【深入研究】如圖3，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE，并連接BE，CD，求證：BE=CD．
(3)【拓展延伸】如圖4，在兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，交于點P，請判斷BD和CE的關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)△BAD；△CAE
(2)證明見解析
(3)BD⊥CE且BD=CE

【分析】（1）根據(jù)SAS證明△BAD≌△CAE即可
（2）根據(jù)SAS證明△ACD≌△AEB，再由全等的性質(zhì)得到
（3）根據(jù)SAS證明△EAC≌DAB，由全等的性質(zhì)可得BD=CE，∠ACE=∠ABD，進(jìn)而可證BD⊥CE
（1）
證明：∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△BAD≌△CAE
（2）
證明：由等邊△ABD和等邊△ACE知
AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°
由（1）的推理，同理可知：∠DAC=∠BAE
在△ACD和△AEB中，
AB=AD∠DAC=∠BAEAE=AC
∴△ACD≌△AEB
∴BE=CD
（3）
BD⊥CE且BD=CE,理由如下
證明：如下圖所示，AB交CE于點O

由以上推理，同理可知：∠DAB=∠EAC
在△ABD和△ACE中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC
∴△ABD≌△ACE
∴BD=CE，∠ACE=∠ABD
∵∠AOC+∠ACE=90°,∠AOC=∠POB
∴∠POB+∠ABD=90°
即∠OPB=90°
∴BD⊥CE
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出對應(yīng)邊和對應(yīng)角，準(zhǔn)確理解“手拉手模型”．
【變式16-1】（2022·福建廈門·八年級期末）定義：一個三角形，若過一個頂點的線段將這個三角形分為兩個三角形，其中一個是直角三角形，另一個是等腰三角形，則稱這個三角形是等直三角形，這條線段叫做這個三角形的等直分割線段．
例如：
如圖，在△ABC中，
∵AD⊥BC于D，且BD=AD，
∴△ACD是直角三角形，△ABD是等腰三角形，
∴△ABC是等直三角形，
AD是△ABC的一條等直分割線段．

(1)如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分線，請說明AD是△ABC的一條等直分割線段．
(2)若△ABC是一個等直三角形，恰好有兩條等直分割線，∠B和∠C均小于45°，求證：△ABC是等腰三角形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析

【分析】（1）根據(jù)等直分割線的定義解答即可；
（2）根據(jù)等直三角形可得：AD=BD，AE=CE，∠BAE=90°，∠CAD=90°，結(jié)合等腰三角形的判定和性質(zhì)即可解答．
（1）
如圖：

∵DE是AB的垂直平分線，
∴AD=BD
∵∠C=90°
∴△ACD是直角三角形
∴AD是△ABC的一條等直分割線段
（2）
如圖，AD，AE是△ABC的兩條等直分割線

∴AD=BD，∠BAE=90°，AE=CE，∠CAD=90°
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°，∠CAD=∠DAE+∠CAE=90°
∴∠BAD=∠CAE
∴∠B=∠C
∴△ABC是等腰三角形
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，以及等直三角形的定義，解題關(guān)鍵是讀懂題目中給的等直三角形定義，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)．
【變式16-2】（2022·浙江·八年級單元測試）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．

(1)如圖1，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點．求證：BD=CE．
(2)如圖2，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點，點D、E均在△ABC外，連接BD、CE交于點M，連接AM，求證：AM平分∠BME．
【答案】(1)證明過程見解析
(2)證明過程見解析

【分析】（1）根據(jù)“兄弟三角形”的定義得到∠BAC=∠DAE，進(jìn)而得到∠CAE=∠BAD，再證明△BAD≌△CAE即可得到答案；
（2）過點A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)高相等得到AG=AH，根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論．
（1）
證明：∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，
∴∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠CAE=∠BAD，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE．
（2）
證明：如圖，過點A作AG⊥BM于G，AH⊥EM于H，

∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，
∴∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠CAE=∠BAD，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠ACH，
∵AG⊥BM，AH⊥EM，
∴∠AGB=∠AHC=90°，
∴△BAG≌△CAH（SAS），
∴AG=AH，
∴AM平分∠BME．
【點睛】本題考查的是“兄弟三角形”的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確理解“兄弟三角形”的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式16-3】（2022·河南省直轄縣級單位·八年級期末）閱讀下列材料，解答問題：
定義：線段BM把等腰△ABC分成△ABM與△BCM（如圖1），如果△ABM與△BCM均為等腰三角形，那么線段BM叫做△ABC的完美分割線．

(1)如圖1，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，BM為△ABC的完美分割線，且CMNC，將△ACN沿直線AN折疊后，點C落在點C1處，AC1交BN于點M．求證：BM=C1N．
【答案】(1)72，108；
(2)見解析
(3)見解析

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠C=（180°-∠BAC）÷2，∠AMB=180°-∠BAC-∠ABM即可求出兩角的度數(shù)；
（2）根據(jù)兩底角相等的三角形為等腰三角形證△ABN、△ACN均為等腰三角形，即可得證結(jié)論；
（3）根據(jù)ASA證△AC1N≌△ABM，即可得證結(jié)論．
（1）
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠C=（180°-∠BAC）÷2=144°÷2=72°，
∵BM為△ABC的完美分割線，且CM＜AM，
∴∠ABM=∠BAC=36°，
∴∠AMB=180°-∠BAC-∠ABM=180°-36°-36°=108°
故答案為：72，108；
（2）
∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B＝∠C＝12 (180°?∠BAC)＝36°，
∵AC=CN，
∴∠CAN＝∠CNA＝12 (180°?∠C)＝72°，
∴∠BAN=∠BAC-∠NAC=108°-72°=36°，
∴∠BAN=∠B，
∴NA=NB，
∴△ABN、△ACN均為等腰三角形，
∴AN為△ABC的完美分割線；
（3）
∵AN是△ABC的一條完美分割線，
∴AN=CN，AB=BN，
∴∠C=∠CAN，∠BAN=∠BNA，
∴∠BNA=∠C+∠CAN=2∠CAN，
∴∠BAN=2∠CAN，
∵∠CAN=∠C1AN，
∴∠BAN=2∠C1AN，
∵∠BAN=∠C1AN+∠BAM，
∴∠C1AN=∠BAM，
∵AC=AB，
∴∠C=∠B，
∵∠C=∠C1，
∴∠C1=∠B，
∵AC=AC1，
∴AC1=AB，
∴△AC1N≌△ABM（ASA），
∴NC1=BM．
【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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