?【高效培優(yōu)】2022—2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊必考重難點突破必刷卷（人教版）
【單元測試】第二十四章 圓（綜合能力拔高卷）
（考試時間：90分鐘 試卷滿分：100分）
學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．如圖，在⊙O中，弦AB等于⊙O的半徑，OC⊥AB交⊙O于點C，則∠AOC等于（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】弦AB等于⊙O的半徑，可得△AOB是等邊三角形，再由等邊三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵弦AB等于⊙O的半徑，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OC⊥AB，
∴．
故選：D
【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握圓的基本性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．如果一個圓的半徑由1厘米增加到2厘米．那么這個圓的周長增加了（????）
A．3.14厘米 B．2厘米 C．8厘米 D．4厘米
【答案】B
【分析】圓的周長計算公式是C=2πR，如果半徑增加n厘米，根據(jù)周長的計算公式可知周長增加2nπ，列式進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：（2-1）×2×π
=2π（厘米）．
故選：B．
【點睛】本題考查圓的周長的計算，在圓中，如果是圓的半徑增加n,則其周長增加2nπ，周長增加的值與原來圓的半徑大小無關(guān)．
3．如圖，將量角器按放置在上，使點與圓心重合，已知，．若點的刻度為，則點的對應(yīng)刻度為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接CD，求出∠D的度數(shù)，得到等邊△CDB，進(jìn)而得到∠DCB＝60°即可求解．
【詳解】解，如圖，連接CD，

∵點B的讀數(shù)為138°，
∴∠ECB＝138°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵CD＝CB，
∴△CDB為等邊三角形，
∴∠DCB＝60°，
∴∠ECD＝138°﹣60°＝78°，
∴點D的讀數(shù)應(yīng)該為78°．
故選：C．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)等知識，證明△CDB為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
4．矩形中，，，如果是以點為圓心，為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（???）
A．點、均在外 B．點在外，點在內(nèi)
C．點在內(nèi)，點在外 D．點 、均在內(nèi)
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，將圖形繪制出來，結(jié)合圖形分析可知，矩形的對角線可以利用勾股定理求出，即，而圓的半徑是，根據(jù)線段的大小關(guān)系即可求出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，繪制圖形如下，

連接AC,
∵矩形，，，
∴中，，
∴點在內(nèi)，點在外，
故選：C．
【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理，圓的知識，理解和掌握矩形、直角三角形、圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，則∠C的度數(shù)為（　?。?br />
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】D
【分析】根據(jù)圓中等弦對等弧對等角，以及圓內(nèi)接四邊形的對角互補，進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：∵AB＝AD＝CD，
∴ ，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC，
設(shè)∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝x，
∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
即3x+75°＝180°，
解得：x＝35°，
∴∠DBC＝35°，
在△BDC中，∠BDC＝75°，∠DBC＝35°，
∴∠BCD＝180°﹣75°﹣35°＝70°．
故選D．
【點睛】本題考查了圓中等弦對等弧對等角，以及圓內(nèi)接四邊形的對角互補，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，點，，都在格點上，的外接圓的圓心坐標(biāo)為（???）

A．（5，2） B．（2，4） C．（3，3） D．（4，3）
【答案】A
【分析】根據(jù)的外接圓的定義，作和的垂直平分線相交于點，則可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)的外接圓的定義，作和的垂直平分線相交于點，

∴點P（5，2），
故選：A．
【點睛】本題考查了三角形的外接圓，三角形的垂直平分線，正確作圖是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，中，是的直徑，交于點，交于點，點是中點，的切線交于點，則下列結(jié)論中①；②；③；④是中點，正確的個數(shù)是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】連接連接，、，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及等腰三角形的性質(zhì)可判斷結(jié)論③；根據(jù)同圓或等圓中，同弧所對的弦相等可得結(jié)論②；根據(jù)切線的性質(zhì)以及三角形中位線定理可得結(jié)論④；因為只有是等腰直角三角形時，才能滿足結(jié)論①．
【詳解】解：連接，、．

是的直徑，
（直徑所對的圓周角是直角），
，
點是中點，
，，故③正確；
，
，故②正確；
是的切線，
，
，，
，
，
，
∵點是的中點，
點是的中點，故④正確；
只有當(dāng)是等腰直角三角形時，，
故①錯誤，
正確的有②③④共3個，
故選：C．
【點睛】本題考查了圓周角定理，圓切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理的應(yīng)用，題目難度適中，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．
8．把一張正方形紙片按如圖所示的方法對折兩次后剪去兩個角，打開后得到一個正多邊形，則這個正多邊形不可能是（????）

A．正十二邊形 B．正十邊形 C．正八邊形 D．正六邊形
【答案】B
【分析】由正多邊形和外接圓，找中心角，實際動手操作來進(jìn)行解題．
【詳解】解：經(jīng)過動手操作，如果過斜邊的中點，構(gòu)造頂角為45°的等腰三角形，剪去4個重合角，可以得出正八邊形；
如果過直角三等分線與邊的兩個交點，構(gòu)造頂角為30°的等腰三角形，剪去4個重合角，可以得出正十二邊形；
如果過三等分線與邊一個交點構(gòu)造頂角60°和30°的等腰三角形，剪去兩對重合角，可以得到正六邊形，
而得不出十邊形，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了與剪紙相關(guān)的知識，正多邊形和圓的綜合，熟練地動手操作能力是解決問題的關(guān)鍵．
9．如圖，在半徑為，圓心角等于45°的扇形AOB內(nèi)部作一個正方形CDEF，使點C在OA上，點D、E在OB上，點F在上，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）（???）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先要明確，然后依面積公式計算即可．
【詳解】解：連接OF，

∵∠AOD=45°，四邊形CDEF是正方形，
∴OD=CD=DE=EF，
在Rt△OFE中，OE=2EF，
∵OF=，，
∴，
解得：EF=1，
∴EF=OD=CD=1，
∴
．
故選：B．
【點睛】本題考查了扇形面積的計算，勾股定理的應(yīng)用，得到正方形和三角形的邊長是解題的關(guān)鍵．
10．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1．筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為6米，⊙O半徑長為4米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（　?。?br />
A．（4﹣）米 B．2米 C．3米 D．（4+）米
【答案】A
【分析】連接OC交AB于D，根據(jù)圓的性質(zhì)和垂徑定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根據(jù)勾股定理求得OD的長，由CD=OC﹣OD即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點C為的中點，
連接OC交AB于D，則OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即點到弦所在直線的距離是（4﹣）米，
故選：A．

【點睛】本題考查圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共有8小題，每題3分，共24分）
11．如圖，點在以為直徑的上，，，則的長為______．

【答案】5
【分析】根據(jù)直徑所對圓周角是直角，可知∠C=90°，再利用30°直角三角形的特殊性質(zhì)解出即可．
【詳解】解：∵AB是直徑，
∴∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴．
故答案為：5．
【點睛】本題考查圓周角定理的推論及特殊直角三角形，關(guān)鍵是掌握直徑所對的圓周角等于90°．
12．如圖，、是的切線，切點分別為A、B，若，則 ___________

【答案】70
【分析】首先連接OA，OB，由PA、PB是⊙O的切線，即可得∠PAO=∠PBO=90°，又由∠APB=40°，即可求得∠AOB的度數(shù)，然后由圓周角定理，即可求得答案．
【詳解】解：如圖，連接OA，OB，

∵PA、PB是⊙O的切線，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=360°-∠APB-∠PAO-∠PBO=140°，
∴∠ACB=∠AOB=70°．
故答案為：70．
【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)與圓周角定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
13．如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半徑OC為5m，則水面寬AB為__________．

【答案】
【分析】連接，根據(jù)題意，得出，，再根據(jù)勾股定理，得出的長，再根據(jù)垂徑定理，即可得出的長．
【詳解】解：連接，
∵橋拱半徑為，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

故答案為：
【點睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的定理．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的?。?br /> 14．圖1是一種推磨工具模型，圖2是它的示意圖，已知AB⊥PQ，AP＝AQ＝20cm，AB＝120cm，點A在中軸線l上運動，點B在以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓上運動，且OB＝35cm，
（1）如圖3，當(dāng)點B按逆時針方向運動到B′時，，則＝_____cm．
（2）在點B的運動過程中，點P與點O之間的最短距離為_____cm．????

【答案】???? 30???? ##
【分析】（1）根據(jù)，即可求解；
（2）當(dāng)B、O、P三點共線時，OP的距離最短，即可求解．
【詳解】解：（1）∵，
∴是圓O的切線
∴
＝120+35﹣
＝155﹣
＝155﹣125，
＝30，
故答案為：30；
（2）當(dāng)B、O、P三點共線時，OP的距離最短，
則OP＝BP﹣OB＝＝＝
故答案為：．
【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是確定轉(zhuǎn)動后圖形上各個點的位置關(guān)系．
15．如圖，已知點G是正六邊形對角線上的一點，滿足，聯(lián)結(jié)，如果的面積為1，那么的面積等于_______.

【答案】4
【分析】解：如圖，連接CE，由得，由六邊形是正六邊形證明，從而得的面積為的面積的4倍即可求解．
【詳解】解：如圖，連接CE，

，
，
六邊形是正六邊形，
AB=AF=EF=BC，，
，
，
，
，
四邊形BCEF是平行四邊形，
，
的面積為1，，
的面積為，
故答案為4．
【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)及平行四邊形的判定及性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，從一塊直徑為24cm的圓形紙片上剪出一個圓心角為90°的扇形ABC，使點A，B，C在圓周上，將剪下的扇形作為一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的半徑是_____cm．

【答案】3
【分析】連接BC，根據(jù)圓周角定理求出BC是⊙O的直徑，BC=24cm，根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)弧長公式求出的長度，最后求出圓錐的底面圓的半徑．
【詳解】解：連接BC，由題意知∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直徑，BC=24cm，
∵AB=AC，
∴，
∴AB＝＝＝12（cm），
∴＝＝6π（cm）
∴圓錐的底面圓的半徑＝6π÷（2π）＝3（cm）．
故答案為：3．
【點睛】此題考查了圓周角定理，弧長公式，勾股定理，連接BC得到BC是圓的直徑是解題的關(guān)鍵．
17．正方形的邊長為4，E是邊上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形，其中點F、G都在直線上，如圖．當(dāng)點E到達(dá)點B時，點F、G、H與點B重合．則點H所經(jīng)過的路徑長為_____________．

【答案】π
【分析】連接AC，交BD于點O，取BC的中點N，連接NH，利用SAS證明△MBF≌△NBH，得NH＝MF＝BM＝BN，可知點H在以點N為圓心，BN長為半徑的圓上，確定圓心角度數(shù)即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接AC，交BD于點O，取BC的中點N，連接NH，
∴MF＝BM＝BNAB，
∴點F的運動軌跡為以點M為圓心，BM長為半徑的圓上，
∵∠ABC＝∠FBH＝90°，
∴∠ABC﹣∠FBC＝∠FBH﹣∠FBC，
即∠ABF＝∠CBH，
∴△MBF≌△NBH（SAS），
∴NH＝MF＝BM＝BN，
∴點H在以點N為圓心，BN長為半徑的圓上，
∴當(dāng)點E在C處時，點F與O重合，
當(dāng)點E在B處時，點F與點B重合，
∴點H所在的圓弧的圓心角為90°，
∴點H所經(jīng)過的路徑長，
故答案為：π．

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定點H的運動路徑是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，O為格點，⊙經(jīng)過格點A．
（1）⊙的周長等于____；
（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出⊙的內(nèi)接等邊，并簡要說明點B，C的位置是如何找到的（不要求證明）_____．

【答案】???? ???? 見解析
【分析】（1）利用勾股定理可得答案；
（2）延長交網(wǎng)格線于點D，取格點E，F(xiàn)，連接交網(wǎng)格線于點G，作直線交于點B，C，連接，，則即為所求．
【詳解】（1）∵⊙的半徑為：，
∴⊙的周長，
故答案為：
（2）如圖：
∵，
又∵，
∴，
∴．
∵，??
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．??
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴是矩形．
∴，
∴，
∵，
∴，??
∴，
∴．
∵，
∴，
∵過圓心, ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形．

故答案為：如圖，延長交網(wǎng)格線于點D，取格點E，F(xiàn)，連接交網(wǎng)格線于點G，作直線交于點B，C，連接，，則即為所求．
【點睛】此題考查作圖中的復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題,屬于中考?？碱}型．
三、解答題（本大題共有6小題，共46分；第19-20小題每小題6分，第21-22小題每小題7分，第23小題8分，第24小題10分）
19．如圖，是直徑，弦于點，過點作的垂線，交的延長線于點，垂足為點，連結(jié)，其中．

(1)求證：；
(2)若，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)5
【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義、對頂角相等可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；
（2）連接，設(shè)的半徑為，則，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，根據(jù)垂徑定理可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【詳解】（1）證明：，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如圖，連接，

設(shè)的半徑為，則，
，，，
，，
，
在中，，即，
解得，
的半徑為5．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識點，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．
20．如圖，在的方格紙中，A，B，C均為格點，按要求畫圖：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的畫圖痕跡；③標(biāo)注相關(guān)字母．

(1)找出過A，B，C三點的圓的圓心O，連結(jié)AO，BO．
(2)在⊙O上找到一點P，畫出∠BCP，使得．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）利用垂徑定理確定圓心，然后連接AO，BO即可；
（2）利用圓周角定理，即可作出圖形．
【詳解】（1）解：如圖：取線段AD和AC的垂直平分線，交點是點O；連接OA、OB；

（2）
解：如（1）圖，由圓周角定理得，
取格點P，使得，
則有；
【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理，網(wǎng)格問題，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識，正確的作出圖形．
21．如圖，是半圓的直徑，是半圓的切線（即圓的切線）．連接，交半圓于點，連接．過點作直線，且．

(1)求證：直線是半圓的切線；
(2)求證：點是線段的中點；
(3)若，，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）連接，根據(jù)等邊對等角，得出，再根據(jù)等量代換，得出，再根據(jù)直徑所對的圓周角等于，得出，根據(jù)垂線的定義，得出，再根據(jù)等量代換，得出，即可得出，再根據(jù)切線的判定定理，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)角的關(guān)系和等量代換，得出，，再根據(jù)等角對等邊，得出，，然后根據(jù)等量代換，得出，根據(jù)中線的定義，即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)長為，則，根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)等面積法，得出用含的式子表示，再根據(jù)勾股定理，即可得出線段的長．
【詳解】（1）證明：連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是半圓的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直線是半圓的切線；

（2）證明：∵為半圓的切線，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴點是線段的中點；
（3）解：設(shè)長為，則，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
在中，
根據(jù)勾股定理，可得：，
解得：，（舍去），
∴．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、等量代換、勾股定理、等面積法，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)、定理．
22．如圖，在Rt△ABC中，點O在斜邊AB上，以點O為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點D、E，連接AD，已知∠CAD＝∠ABC．

(1)求證：AD是⊙O的切線：
(2)若∠ABC＝30°，AC＝3，求陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)陰影部分的面積4
【分析】（1）連接OD，由OD=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由已知角相等，等量代換得到∠CAD=∠ODB，求出∠ADO為90°，即可證AD是⊙O的切線；
（2）連接OD，作OF⊥BD于F，由直角三角形的性質(zhì)得出CD=AC=3，BC=9，得出BD=BC-CD=6，由直角三角形的性質(zhì)得出DF=BF，OF=，得出OB=2OF=2，由扇形面積公式和三角形面積公式即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）證明：連接OD，如圖1所示：

∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵∠B＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODB，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠ADO＝180°﹣(∠ADC+∠ODB)＝90°，
∴OD⊥AD，
∵OD是半徑，
∴AD為⊙O的切線；
（2）解：連接OD，作OF⊥BD于F，如圖2所示：

∵OB＝OD，∠B＝30°，
∴∠ODB＝∠B＝30°，
∴∠DOB＝120°，
∵∠C＝90°，∠CAD＝∠B＝30°，
∴CDAC＝3，BCAC＝9，
∴BD＝BC﹣CD＝6，
∵OF⊥BD，
∴DF＝BFBD＝3，OFBF，
∴OB＝2OF＝2，
∴陰影部分的面積＝扇形ODB的面積﹣△ODB的面積
=
=．
【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、扇形面積公式、三角形面積公式等知識，熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．
23．材料：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．

證明：如圖2，在上截取，連接和，∵M(jìn)是的中點，∴，……
(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；
(2)如圖3，已知內(nèi)接于，D是的中點，依據(jù)（1）中的結(jié)論可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為__________；
(3)如圖4，已知等腰內(nèi)接于，D為上一點，連接于點E，的周長為，請求出的長．
【答案】(1)該證明的剩余部分見解析
(2)
(3)4
【分析】（1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD，即可證明結(jié)論；
（2）直接根據(jù)“截長法”即可證明結(jié)論；
（3）根“截長法”得出CE=BD+DE，進(jìn)而求出CE，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．

∵M(jìn)是的中點，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中
，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵M(jìn)D⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD．
（2）解：根據(jù)（1）中的結(jié)論可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為
故答案為：．
（3）解：∵AB=AC，D為上一點
∴A是的中點，
根據(jù)“截長法”可得：CE=BD+DE，
∵△BCD的周長為4+2，
∴BD+CD+BC=4+2，
∴BD+DE+CE+BC=2CE+BC=4+2，
∵BC=2，
∴CE=2，
在Rt△ACE中，∠ACD=45°，
∴AC=CE=4．
【點睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，理解“截長法”是解答本題的關(guān)鍵．
24．如圖1，邊長為2的正方形ABCD中，點E在AB邊上（不與點A、B重合），點F在BC邊上（不與點B、C重合）·
第一次操作：將線段EF繞點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E落在正方形上時，記為點G；第二次操作：將線段FG繞點G順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點F落在正方形上時，記為點H；依此操作下去…

(1)圖2中的△EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為_______，求此時線段EF的長；
(2)若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH．
①請判斷四邊形EFGH的形狀為________，此時AE與BF的數(shù)量關(guān)系是_________．
②以①中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍．
(3)若經(jīng)過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是多少？它可能是正多邊形嗎？如果是，請求出其邊長；如果不是，請說明理由．
【答案】(1)的形狀為等邊三角形，的長為
(2)①正方形，；②，
(3)經(jīng)過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是8，它可能為正多邊形，邊長為
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，易得是等邊三角形；利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理求出的長；
（2）①四邊形的四邊長都相等，所以是正方形；利用三角形全等證明；
②求面積的表達(dá)式，這是一個二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值及的取值范圍．
（3）如答圖2所示，經(jīng)過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，可能是正多邊形，最大邊數(shù)為8，邊長為．
【詳解】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，則為等邊三角形．
在與中，
，

．
設(shè)，則
為等腰直角三角形．
．
．
在中，由勾股定理得：，即：，
解得：，（舍去）
．
的形狀為等邊三角形，的長為．
（2）四邊形的形狀為正方形，此時．理由如下：
依題意畫出圖形，如答圖1所示：連接、，作于，于．設(shè)交于，交于，交于．

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，
四邊形是菱形，
，
，
，
，
，
由，，，可得，可知，
四邊形的形狀為正方形．

，，
．
，，
．
在與中，
，

．
②利用①中結(jié)論，易證、、、均為全等三角形，
，．
．

，
當(dāng)時，取得最小值2；當(dāng)或時，，
的取值范圍為：．
（3）過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是8，它可能為正多邊形，邊長為．
如答圖2所示，粗線部分是由線段經(jīng)過7次操作所形成的正八邊形．

設(shè)邊長，則，
，解得：．
【點睛】本題是幾何變換綜合題，以旋轉(zhuǎn)變換為背景考查了正方形、全等三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、正多邊形、勾股定理、二次函數(shù)等知識點．本題難度不大，著重對于幾何基礎(chǔ)知識的考查，是一道好題．

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