班級(jí)              姓名             學(xué)號(hào)             分?jǐn)?shù)           第二十四章 圓（學(xué)霸加練卷）（時(shí)間：60分鐘，滿(mǎn)分：100分）一．選擇題（本題共14小題，每小題3分，共42分。）1．（2022?北碚區(qū)自主招生）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，交于點(diǎn)，若的半徑長(zhǎng)為1，，則線段的長(zhǎng)是　　A．1 B． C．2 D．【分析】連接，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，則利用勾股定理可計(jì)算出，然后計(jì)算即可．【解答】解：連接，如圖，是的切線，為切點(diǎn)，，，在中，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．2．（2022?渝北區(qū)自主招生）如圖，矩形中，，，以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，連接，則陰影部分的面積為　　A． B． C． D．【分析】連接交于點(diǎn)，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再證明四邊形和四邊形為矩形，則，，接著證明得到，所以陰影部分的面積，從而根據(jù)扇形的公式計(jì)算即可．【解答】解：連接交于點(diǎn)，如圖，以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，，，四邊形為矩形，，四邊形和四邊形為矩形，，，在和中，，，，陰影部分的面積．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了矩形的性質(zhì)和扇形面積的計(jì)算．3．（2022?南陵縣自主招生）如圖，和是的兩條弦（即是圓的一條折弦），，是的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為　　A． B． C． D．【分析】在上截取，連接，，，，證明，得出，進(jìn)而得出即可解答．【解答】解：如圖，在上截取，連接，，，，是的中點(diǎn)，，又，在和中，，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理以及圓心角，弦，弧之間的關(guān)系定理，熟記定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性．4．（2022?南岸區(qū)自主招生）如圖，在中，，則等于　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)圓周角定理即可解決問(wèn)題；【解答】解：，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題目考查了圓周角定理，屬于中考基礎(chǔ)題．5．（2021?武昌區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，在中，，，，是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)在上，與、相切于、，則的面積為　　．A． B． C． D．【分析】連接，，，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)已知可得求出，然后根據(jù)的面積的面積的面積，可求出，再利用圓的面積公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：連接，，，與、相切于、，，，，，，，，的面積的面積的面積，，，，的面積，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．（2021?巴南區(qū)自主招生）如圖，與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，．若，則的度數(shù)為　　A． B． C． D．【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得，則，然后根據(jù)圓周角定理得到的度數(shù)．【解答】解：如圖，連接，直線與相切于點(diǎn)，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．解決本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理．7．（2021?西湖區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，、是的兩條相交弦，，，則的直徑是　　A．2 B．4 C． D．【分析】連接，作于，由圓周角定理和已知得出，證出為等邊三角形，得，，由垂徑定理得，由直角三角形的性質(zhì)得，，即可得出結(jié)論．【解答】解：連接，作于，如圖所示：，，，為等邊三角形，，，，，，，的直徑；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．8．（2021?郎溪縣校級(jí)自主招生）如圖為圓的內(nèi)接三角形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，，則的大小為　　A． B． C． D．【分析】如圖，連接，取中點(diǎn)，連接、，根據(jù)圓周角定理得到，，求得，連接，推出為等邊三角形，得到，于是得到結(jié)論．【解答】解：如圖，連接，取中點(diǎn)，連接、，，，，連接，為中點(diǎn)，，，，，，，為中點(diǎn)，，為等邊三角形，，點(diǎn)是外接圓的圓心，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2021?武進(jìn)區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，正方形的邊，和都是以1為半徑的圓弧，則無(wú)陰影兩部分的面積之差是　　A． B． C． D．【分析】圖中1、2、3、4圖形的面積和為正方形的面積，1、2和兩個(gè)3的面積和是兩個(gè)扇形的面積，因此兩個(gè)扇形的面積的和正方形的面積無(wú)陰影兩部分的面積之差，即．【解答】解：如圖：正方形的面積；①兩個(gè)扇形的面積；②②①，得：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形的面積計(jì)算公式及不規(guī)則圖形的面積計(jì)算方法．找出正方形內(nèi)四個(gè)圖形面積之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．10．（2021?武進(jìn)區(qū)校級(jí)自主招生）若一直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，內(nèi)切圓半徑是，則內(nèi)切圓的面積與三角形面積之比是　　A． B． C． D．【分析】連接內(nèi)心和直角三角形的各個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)直角三角形的兩條直角邊是，．則直角三角形的面積是；又直角三角形內(nèi)切圓的半徑，則，所以直角三角形的面積是；因?yàn)閮?nèi)切圓的面積是，則它們的比是．【解答】解：設(shè)直角三角形的兩條直角邊是，，則有：，又，，將代入得：．又內(nèi)切圓的面積是，它們的比是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題要熟悉直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半，能夠把直角三角形的面積分割成三部分，用內(nèi)切圓的半徑進(jìn)行表示，是解題的關(guān)鍵．11．（2020?連城縣校級(jí)自主招生）如圖，中，是的直徑，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，的切線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中①；②；③；④是中點(diǎn)，正確的個(gè)數(shù)是　　A．1 B．2 C．3 D．4【分析】連接、，首先由是的直徑，得出，推出，由等腰三角形的性質(zhì)及等角對(duì)等弧可得，從而可得，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，從而得，得，根據(jù)是的中點(diǎn)，得出是的中位線，得到點(diǎn)是的中點(diǎn)，最后由假設(shè)推出①不正確．【解答】解：連接，、．是的直徑，（直徑所對(duì)的圓周角是直角），，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，故③正確；，，故②正確；是的切線，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，故④正確；只有當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，，故①錯(cuò)誤，正確的有②③④共3個(gè)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及圓周角定理，解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)及圓周角定理及切線性質(zhì)作答．12．（2020?青田縣校級(jí)自主招生）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)在上，以為圓心的扇形與邊相切于點(diǎn)，與兩邊交于點(diǎn)，，則弧長(zhǎng)度的最小值是　　A． B． C． D．【分析】利用正方形的性質(zhì)可得弧長(zhǎng)度最小時(shí)的狀態(tài)．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)與或點(diǎn)重合時(shí)，圓心角為，可知此時(shí)弧最長(zhǎng)，根據(jù)正方形和扇形的對(duì)稱(chēng)性可得，當(dāng)點(diǎn)在中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弧的長(zhǎng)度最短，，，，弧的長(zhǎng)度為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及弧長(zhǎng)的計(jì)算，確定點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，弧的長(zhǎng)度最短是解決此題的關(guān)鍵．13．（2020?金東區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，是直徑，點(diǎn)，在半圓上，若，則　　A． B． C． D．【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得出，求出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，再求出答案即可．【解答】解：連接，是直徑，，，，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解此題的關(guān)鍵．14．（2020?和平區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，為的直徑，為的中點(diǎn)，為劣弧上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），過(guò)作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③可能成為的平分線；④若的半徑為1，則；⑤．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為　　A．5 B．4 C．3 D．2【分析】為的中點(diǎn)，可得，由為的直徑，可得是等腰直角三角形，所以，①若，得，再結(jié)合切線性質(zhì)，得是等腰直角三角形，所以，即可求出圓周角度數(shù)；②若，可證是等邊三角形，即可求出；③由①即可得可能成為的平分線；④證明，得；⑤不可能等于，而，所以⑤錯(cuò)誤．【解答】解：為的中點(diǎn)，，為的直徑，是等腰直角三角形，，①，，是切線，，是等腰直角三角形，，，故①正確；②若，，，，，，是等邊三角形，，，故②正確；③由①即可得可能成為的平分線，故③正確；④為的中點(diǎn)，，，，，，，，故④正確；⑤，，所以⑤錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理及推論，三角形相似的性質(zhì)及判定，等邊三角形的性質(zhì)及判定，解題關(guān)鍵是抓住幾個(gè)等腰直角三角形．二．填空題（共6小題，滿(mǎn)分18分，每小題3分）15．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，一個(gè)較大的圓內(nèi)有15個(gè)半徑為1的小圓，所有的交點(diǎn)都為切點(diǎn)，圖中陰影為大圓內(nèi)但在所有小圓外部分，則陰影部分的面積為 　　．【分析】如圖，為邊的高，利用兩圓相切的性質(zhì)得到，則可判斷為等邊三角形，則，利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到，再利用圓與圓相切的性質(zhì)得到的半徑，然后用大圓的面積減去15個(gè)小圓的面積得到陰影部分的面積．【解答】解：如圖，為邊的高，所有小圓相切，，為等邊三角形，，，，，與相切，的半徑，陰影部分的面積．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．16．（2022?寧波自主招生）如圖，在中、三條劣弧、、的長(zhǎng)都相等，弦與相交于點(diǎn)，弦與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，且，則的度數(shù)為 　　．【分析】連接，根據(jù)弧相等，得到，設(shè)出，根據(jù)外角的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和求出即可解答．【解答】解：連接，弧、、的長(zhǎng)相等，，設(shè)，，，，在中，，解得，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟記定理并靈活運(yùn)用，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．17．（2022?南陵縣自主招生）如圖，是半圓的直徑，四邊形和都是正方形，其中，，在上，、在半圓上．若則正方形的面積與正方形的面積之和是16，則的長(zhǎng)為 　8　．【分析】連接，，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，正方形邊長(zhǎng)為，，根據(jù)正方形的性質(zhì)，，設(shè)，根據(jù)勾股定理得出①，②，①②得出，把等式的左邊分解因式后得出，求出，再代入①，即可求出答案．【解答】解：連接，，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，正方形邊長(zhǎng)為，，則，，四邊形和都是正方形，，，設(shè)，由勾股定理得：，，①，②，①②，得，，，，，，，，即，把代入①，得，正方形的面積與正方形的面積之和是16，，，解得（負(fù)值舍去），．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出是解此題的關(guān)鍵．18．（2022?海曙區(qū)自主招生）如圖，點(diǎn)、、均在坐標(biāo)軸上，，過(guò)、、作，是上任意一點(diǎn)，連結(jié)，，則的最大值是 　6　．【分析】連接，，，設(shè)，利用的圓周角所對(duì)的弦是直徑可得，是的直徑，再利用平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)間距離公式求出，，可得當(dāng)為的直徑時(shí)，最大，的值最大，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：連接，，，設(shè)，，是的直徑，，，，，，，，，，當(dāng)為的直徑時(shí)，最大，的值最大，，的最大值，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，圓周角定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．19．（2022?九龍坡區(qū)自主招生）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，以為圓心，4為半徑作圓弧，再分別以，為圓心，2為半徑作圓弧，，則圖中陰影部分的面積為 　　．（結(jié)果保留【分析】連接，根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧，所對(duì)的弦分別相等，利用面積割補(bǔ)法可得陰影部分的面積等于弓形面積，即等于扇形減去直角三角形的面積之差．【解答】解：連接，，如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，為對(duì)角線的交點(diǎn)，由題意可得：，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，．點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，．弓形弓形．陰影部分的面積等于弓形的面積．．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算．通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線將不規(guī)則的陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的差是解題的關(guān)鍵．20．（2021?太倉(cāng)市自主招生）如圖，有一塊矩形木板，，，工人師傅在該木板上鋸下一塊寬為的矩形木板，并將其拼接在剩下的矩形木板的正下方，其中、、、分別與、、、對(duì)應(yīng)．現(xiàn)在這個(gè)新的組合木板上畫(huà)圓，要使這個(gè)圓最大，則的取值范圍是 　　，且最大圓的面積是 　　．【分析】如圖，設(shè)與相切于點(diǎn)，交與，連接，延長(zhǎng)交于，設(shè)的半徑為．在中，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的面積最大，此時(shí)，利用勾股定理求出半徑，再構(gòu)建不等式求出的取值范圍即可；【解答】解：如圖，設(shè)與相切于點(diǎn)，交與，連接，延長(zhǎng)交于，設(shè)的半徑為．在中，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的面積最大，此時(shí)，，則有：，．的最大面積為，由題意：，，故答案為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．三．解答題（共4小題，滿(mǎn)分40分，每小題10分）21．（2021?太倉(cāng)市自主招生）如圖，為直徑，點(diǎn)為下方上一點(diǎn)，點(diǎn)為弧中點(diǎn)，連接，．（1）若，求（用表示）；（2）過(guò)點(diǎn)作于，交于，，求（用表示）；（3）在（2）的條件下，若，，求線段的長(zhǎng)．【分析】（1）連接，設(shè)，，則，證明，，，得出，即可得出結(jié)果；（2）連接，由直角三角形內(nèi)角和證明，由點(diǎn)為弧中點(diǎn)，得出，即可得出結(jié)果；（3）連接，證明，得出，則，求出，由勾股定理得出，則，，證明，得出，求出，即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）連接，如圖1所示：設(shè)，，則，點(diǎn)為弧中點(diǎn)，，，，為直徑，，，，，，；（2）連接，如圖2所示：為直徑，，即，，，，點(diǎn)為弧中點(diǎn)，，，；（3）連接，如圖3所示：，，，，，，，，，，，，，，，即，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理等知識(shí)；正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（2021?成都自主招生）如圖，是的外接圓，為直徑，，于，于，（1）判斷的形狀；（2）設(shè)的半徑為1，且，求證：．【分析】（1）為等腰三角形，理由為：根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍，由圓周角的度數(shù)，求出圓心角的度數(shù)為，再由，得到三角形為等邊三角形，可得出三內(nèi)角為，再由與垂直，根據(jù)垂直的定義得到為直角，利用平角的定義求出為，又垂直于，得到為直角，由為，得出為，可得出，根據(jù)等角對(duì)等邊可得出，即三角形為等腰三角形；（2）由半徑為1及的長(zhǎng)，根據(jù)求出的長(zhǎng)，在直角三角形中，根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由的長(zhǎng)得出的長(zhǎng)，再由求出的長(zhǎng)，在直角三角形中，由為直徑，為，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)，再由三角形與三角形都為底角為的等腰三角形，得到兩對(duì)底角相等，利用可得出兩三角形全等．【解答】解：（1）為等腰三角形，理由為：，圓周角與圓心角都對(duì)，，又，為等邊三角形，，，，，又，，，，，則為等腰三角形； （2），，，，在中，，，，又為圓的直徑，，在中，，，即，，在和中，，．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，含直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的題．23．（2021?武進(jìn)區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，的內(nèi)接四邊形中，，是它的對(duì)角線，的中點(diǎn)是的內(nèi)心．求證：（1）是的外接圓的切線；（2）．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)，以及等角對(duì)等邊即可證得是的外心，然后證得，即可證得是的外接圓的切線；（2）根據(jù)（1）可以得到，，即可證得．【解答】解：（1），，．同理，．故點(diǎn)是的外心．連接，，是的中點(diǎn)，且，，即．是外接圓的切線．（2）由（1）可得：的中點(diǎn)是的內(nèi)心，，又，，，同理可得：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線的證明，以及三角形的內(nèi)心的計(jì)算，證得是的外心是關(guān)鍵．24．（2017?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，已知是某圓的內(nèi)接四邊形，，于，求證：．【分析】首先在上截取，連接，由，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可得到，得到；再由，得到，而，則，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，易得，從而可證出，得到，即有．【解答】證明：在上截取，連接，，，，，，，而，，又，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)與在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等定理的應(yīng)用．
 

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