?第26課 圓章末復(fù)習(xí)

課程標(biāo)準(zhǔn)
（1）理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，探索并掌握?qǐng)A周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對(duì)的圓周角的特征；
（2）了解切線的概念，探索并掌握切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫圓的切線；
（3）了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；
（4）了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；
（5）結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

知識(shí)點(diǎn)01 圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角
1．圓的定義
(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓.
(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.
【注意】
①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。淮_定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
②圓是一條封閉曲線.
2．圓的性質(zhì)
(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心.
在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等.
(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸.
(3)垂徑定理及推論：
①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
③弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧.
④平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過(guò)圓心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夾的弧相等.
【注意】
在垂經(jīng)定理及其推論中：過(guò)圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.(注意：“過(guò)圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑)
3．兩圓的性質(zhì)
(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線.
(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn).
4．與圓有關(guān)的角
(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.
圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).
(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.
圓周角的性質(zhì)：
①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半.
②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.
③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角.
④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.
⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角.
【注意】
(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.
(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.
知識(shí)點(diǎn)02 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
1．判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上
設(shè)⊙O的半徑為r，OP=d，則有
點(diǎn)P在⊙O外；
點(diǎn)P在⊙O上；
點(diǎn)P在⊙O內(nèi)；
【注意】
點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對(duì)應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.
2．判定幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上的方法
當(dāng)時(shí)，在⊙O 上.
3．直線和圓的位置關(guān)系
設(shè)⊙O 半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d.
(1)直線l和⊙O沒有公共點(diǎn)直線和圓相離 .
(2)直線l和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線和圓相切 .
(3)直線l和⊙O有2個(gè)公共點(diǎn)直線和圓相交 .
4．切線的判定、性質(zhì)
(1)切線的判定：
①經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線.
(2)切線的性質(zhì)：
①圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.
②經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn).
③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心.
(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng).
(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.
5．圓和圓的位置關(guān)系
設(shè)的半徑為，圓心距.
(1)和沒有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外離；
(2)和沒有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的內(nèi)部?jī)?nèi)含；
(3)和有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外切；
(4)和有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的內(nèi)部 內(nèi)切；
(5)和有2個(gè)公共點(diǎn)相交；
知識(shí)點(diǎn)03 三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形
1．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心
(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn).
【注意】
(1) 任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；
(2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).
(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：
名稱
確定方法
圖形
性質(zhì)
外心(三角形外接圓的圓心)
三角形三邊中垂線的交點(diǎn)

(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部
內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)
三角形三條角平分線的交點(diǎn)

(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.
2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形
(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角.
(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等.
知識(shí)點(diǎn)04 圓中有關(guān)計(jì)算
圓的面積公式： ，周長(zhǎng).
圓心角為、半徑為R的弧長(zhǎng).
圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為l的扇形的面積.
弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l的圓柱的體積為 ，側(cè)面積為，全面積為.
圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為，全面積為 ，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有.
【注意】
(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；
(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.
(3)扇形面積公式S扇形，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；
(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：S扇形.


考法01 圓的基礎(chǔ)知識(shí)
【典例1】如下圖，菱形的三個(gè)頂點(diǎn)、、在上，則（????）．

A．100° B．150° C．120° D．60°
【答案】C
【詳解】：連結(jié)OC，
∵點(diǎn)、、在上，
∴OA=OB=OC，
又∵四邊形OACB為菱形，
∴OA=AC=CB=OB=OC，
∴△OAC和△OBC均為等邊三角形，
∴∠ACO=∠BCO=60°，
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=120°．
故選：C．

【即學(xué)即練】如圖，已知、是的弦，，點(diǎn)C在弦上，連接CO并延長(zhǎng)CO交于于點(diǎn)D，，則的度數(shù)是（????）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【詳解】解：連接OA，

∵OA=OB， ∴∠OAB=∠B=30°，
∵OA=OD， ∴∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，
故選：C．
【典例2】如圖，以C為圓心的圓過(guò)的中點(diǎn) D，則（ ）．

A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【詳解】解：如圖示，連接，

在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，則，
∴
∴依據(jù)勾股定理可得：．
故選：D．
【即學(xué)即練】如圖，為半徑，點(diǎn)為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，若，則的長(zhǎng)為（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：如圖，作OE⊥PQ于點(diǎn)E，連接OQ，

由題意，OA=OQ=2，∠OEP=90°，
∵點(diǎn)P是OA的中點(diǎn)，
∴OP=1，
∵，
∴∠EPO=∠EOP=45°，
∴PE=OE=，
在Rt△OEQ中，由勾股定理，得：
，
∴；
故選擇：D.
【典例3】如圖，中，，O是的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)D，E，連接，測(cè)量的度數(shù)是_____．

【答案】##80度
【詳解】解：如圖，連接OE、OD，

根據(jù)題意得：OC=OB=OD=OE，
∵∠A=50°，
∴∠B+∠C=130°，
∴∠CEO+∠BDO=130°，
∴∠AEO+∠ADO=230°，
∴∠EOD=360°-∠A-∠AEO-∠ADO=360°-50°-230°=80°，
故答案為：．
【即學(xué)即練】如圖，圓內(nèi)4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為2a，若點(diǎn)A，B，C，D，E在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)，G在同一個(gè)圓上，則此圓的半徑為______．

【答案】a
【詳解】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)在⊙O上，
∴圓心O在EF的垂直平分線PQ上，連接OG、OE，

∵4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為2a，
∴PQ=8a，EQ=a，PG=3a，
設(shè)PO=x，則OQ=8a-x，
∵OG=OE，即OG2=OE2，
∴PG2+PO2=OQ2+QE2，即(3a)2+x2=(8a-x)2+a2，
解得：x=a，即PO=a，
∴OG2=(3a)2+(a)2=a2，
∴OG=a，
故答案為a．
【典例4】如圖，在中，，以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若，求的度數(shù)；

【答案】40°
【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-25°=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=180°-65°-65°=50°，
∴∠DCE=90°-50°=40°．
【即學(xué)即練】如圖，線段過(guò)圓心交于，兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．

（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）75°；（2）．
【詳解】（1）連接．

∵，∴，
∵，∴，
∴．
（2）∵，∴（由（1）證明可知）
∴，
設(shè)，∴，解得，
∴．
考法02 弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理
【典例5】如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D ，且AB=6，OD=4，則DC的長(zhǎng)為（???）

A．1 B．2 C．2.5 D．5
【答案】A
【詳解】解：如圖，連接AO，
∵半徑與點(diǎn)D，
∴，
∵，
∴根據(jù)勾股定理，，
∴，
∴．
故選A．

【即學(xué)即練】如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D ，且AB=6，OD=4，則DC的長(zhǎng)為（???）

A．1 B．2 C．2.5 D．5
【答案】A
【詳解】解：如圖，連接AO，
∵半徑與點(diǎn)D，
∴，
∵，
∴根據(jù)勾股定理，，
∴，
∴．
故選A．

【典例6】如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D ，且AB=6，OD=4，則DC的長(zhǎng)為（???）

A．1 B．2 C．2.5 D．5
【答案】A
【詳解】解：如圖，連接AO，
∵半徑與點(diǎn)D，
∴，
∵，
∴根據(jù)勾股定理，，
∴，
∴．
故選A．

【即學(xué)即練】如圖，AB為⊙O直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上且．AD與CO交于點(diǎn)E，∠DAB＝30°，若，則CE的長(zhǎng)為（????）

A．1 B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵
∴
又∵∠DAB＝30°
∴
由勾股定理得，
∴
∴(負(fù)值舍去)
∴
故選：C
【典例7】已知四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，若AB＝8，CD＝6，⊙O的半徑為5，則線段EF長(zhǎng)的最大值為_____．
【答案】7
【詳解】解：連接OA、OD、OE、OF，

∵點(diǎn)E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，
∴OE⊥AB，AEAB＝4，OF⊥CD，DFCD＝3，
由勾股定理得，OE3，OF4，
當(dāng)E、O、F在同一條直線上時(shí)，EF最大，最大值為3+4＝7，
故答案為：7．
【即學(xué)即練】如圖，已知半圓直徑，點(diǎn)C、D三等分半圓弧，那么的面積為________．

【答案】
【詳解】解：連接OC，OD，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，如圖，

∵點(diǎn)C、D三等分半圓弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴是等邊三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴，
∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠COD=30°，
∴，
在中，，
∴．
故答案為：．
【典例8】如圖，在平行四邊形ABCD中，AD是⊙的弦，BC是⊙的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)B．

(1)求證：；
(2)若，，求⊙的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)
【詳解】(1)證明：連接，交于點(diǎn)．

是的切線，切點(diǎn)為，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
；
(2)解：，過(guò)圓心
，
在中，，
，
設(shè)的半徑為，則，
連接，

在中，，

即，
，
的半徑為．
【即學(xué)即練】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，且AB⊥CD，垂足為G，點(diǎn)E在劣弧上，連接CE．

（1）求證：CE平分∠AEB；
（2）連接BC，若BC//AE，求證：BC=BE．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【詳解】（1）證明：，是直徑，
．
，
平分；
（2）解：如圖，

∵ ，
∴．
又∵，
??
．
考法03 圓中有關(guān)的計(jì)算
【典例9】已知：如圖，是的兩條半徑，且，點(diǎn)在上，則的度數(shù)為（???）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：，
，
．
故選：A．
【即學(xué)即練】已知扇形的半徑為6，圓心角為，則它的弧長(zhǎng)是（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：由弧長(zhǎng)公式可知，
，
故選：B．
【典例10】如圖，，是的弦，，，則的直徑等于（????）

A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【詳解】解：連接OB、OC，如圖，

∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC為等邊三角形，
∴OB＝BC＝2，
∴⊙O的直徑等于4．
故答案為：4．
【即學(xué)即練】如圖，矩形ABCD中，，，將矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形EBGF，再將矩形EBGF繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形IHGJ，則點(diǎn)D在兩次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)是（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：如圖，

第一次旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)D繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)半徑為BD，到達(dá)點(diǎn)F處，
BD==6，
此時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑為：3π，
第二次旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)F繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)半徑為GF=AB=3，到達(dá)點(diǎn)J處，
點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為：，
故點(diǎn)D在兩次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)為：，
故選：D．
【典例11】如圖，⊙O與AB相切于點(diǎn)A，BO與⊙O交于點(diǎn)C，，則∠B等于 _____．

【答案】
【詳解】解：如圖，連接OA．則OA⊥AB．
∴，
∵，

∴．
∵OA＝OC，
∴．
∴．
故答案為： ．
【即學(xué)即練】如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是_______．

【答案】
【詳解】解：如圖，連接OD，交AC于F，

∵D是的中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，??
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF=DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴．
故答案為：．
【典例12】如圖，在⊙O中，弦BC垂直于半徑OA，垂足為點(diǎn)E，D是優(yōu)弧BC上一點(diǎn)，連接BD，AD，OC，

(1)求∠ADB的度數(shù)；
(2)若OE＝3，OA＝5，求BC的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)8
【詳解】（1）解：連接OB，

∵OA⊥BC，OA過(guò)圓心O，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵OA⊥BC，BC＝2，OA過(guò)圓心O，
∴BE＝EC，
∵OB＝OA＝5，OE＝3，
∴BE＝＝＝4，
∴BC＝2BE＝8．
【即學(xué)即練】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BE交AC于點(diǎn)E，⊙O是△BEF的外接圓，交AB于點(diǎn)F，圓心O在AB上．

(1)求證：AC是⊙O的切線；
(2)過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，求證：EF平分∠AEH；
(3)求證：CD＝HF．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）證明：連接OE，如圖所示：

∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圓O的直徑，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切線；
（2）證明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，
∴∠BEC＝∠BEH，
∵BF是⊙O是直徑，
∴∠BEF＝90°，
∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEH＝∠FEA，
∴FE平分∠AEH．
（3）證明：連接DE，如圖所示：

∵BE是∠ABC的平分線，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE，
∵∠C＝∠EHF＝90°，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF，
考法04 圓與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用
【典例13】如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD=DE，AE與BD交于點(diǎn)C，則圖中與∠BCE相等的角除對(duì)頂角外還有（????）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】C
【詳解】解：∵在△ADO和△DOE中
，
∴△OAD≌△ODE（SSS），
∴∠DAB=∠EDO，∠ADO=∠DEO，
∵AO=DO，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∵AD=DE，
∴，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DAB=90°-∠ABD，∠BCE=90°-∠DBE，
∴∠DAB=∠BCE，
∴∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO，
則與∠ECB相等的角有5個(gè)．
圖中與∠BCE相等的角除對(duì)頂角外還有4個(gè)
故選C．
【即學(xué)即練】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在上，以為圓心的扇形與邊相切于點(diǎn)，與兩邊交于點(diǎn)，，則弧長(zhǎng)度的最小值是（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)與或點(diǎn)重合時(shí)，圓心角為，此時(shí)弧最長(zhǎng)，
根據(jù)正方形和扇形的對(duì)稱性可得，當(dāng)點(diǎn)在中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弧的長(zhǎng)度最短，且，
∵正方形的邊長(zhǎng)為，以為圓心的扇形與邊相切，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弧的長(zhǎng)度為．
故選：C．

【典例14】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與該三角形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br />
A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π
【答案】D
【詳解】解：作AD⊥BC于點(diǎn)D，

∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BD＝CD＝6，
∴AD＝＝8，
∴＝×12×8﹣π×＝48﹣．
故選：D．
【即學(xué)即練】如圖，在⊙O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，∠CAD=35°，∠B+∠E=（????）

A．325° B．145° C．215° D．395°
【答案】C
【詳解】解：如圖，連接CE，

∵五邊形ABCDE是圓內(nèi)接五邊形，
∴四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠CED=∠CAD=35°，
∴∠B+∠AED=180°+35°=215°．
故選：C．
【典例15】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若BD＝6，∠CAB＝30°，則圖中陰影部分的面積為 _____．（結(jié)果保留π）

【答案】
【詳解】解：∵矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，且BD=6，
∴AC=BD＝6，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∴，
故答案為：．
【即學(xué)即練】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB過(guò)點(diǎn)A（－3，0），B（0，3），⊙O的半徑為1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P在直線AB上，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)PQ的最小值為____．

【答案】
【詳解】解：連接、．

是的切線，
；
根據(jù)勾股定理知，
當(dāng)時(shí)，線段最短；
又，，，，
，
，
，
．
故答案為：．
【典例16】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AE是⊙O的直徑，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足為D．若BE=6，AB=8．

(1)求證：BE=CF；
(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)
【詳解】（1）證明：∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴弧BE=弧FC
∴BE=CF．
（2）解：連接OC，如圖所示：

∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝∠CAE，
∴∠AOC＝2∠CAE，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO＝∠AOC，
∵，
∴，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵BE=6，AB=8，∠ABE=90°
∴，
∴AO＝CO＝5，
∴．
【即學(xué)即練】接BD和CD．

(1)求證：．
(2)，，，求AD．
(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）證明：如圖，連接，

∵I為三角形ABC的內(nèi)心，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，，則，
，，則，
，
，
，
，，
，
，
過(guò)點(diǎn)，作的垂線，垂足分別為，如圖，

I為三角形ABC的內(nèi)心，
，
設(shè)，
，
即，
解得，
中，，
，
，
（3）如圖，設(shè)為三角形ABC的外接圓的圓心，連接，

，
，
，
，且，
，
是等邊三角形，
，
圓的半徑為，



．
考法05 與圓的切線相關(guān)的證明與計(jì)算
【典例17】下列命題中的真命題是（　?。?br /> ①相等的角是對(duì)頂角???②矩形的對(duì)角線互相平分且相等???③垂直于半徑的直線是圓的切線???④順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【詳解】①相等的角不一定是對(duì)頂角，故①錯(cuò)誤；
②矩形的對(duì)角線互相平分且相等，故②正確；
③經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線，故③錯(cuò)誤；
④順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形，故④正確，
所以正確的是②④，
故選D．
【即學(xué)即練】下列命題中，
①直徑是弦；
②平分弦的直徑必垂直于弦；
③相等的圓心角所對(duì)的弧相等；
④等弧所對(duì)的弦相等．
⑤經(jīng)過(guò)半徑的一端并垂直于半徑的直線是圓的切線．正確的個(gè)數(shù)為（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【詳解】解：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，所以①正確；
平分弦（非直徑）的直徑必垂直于弦，所以②錯(cuò)誤；
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所以③錯(cuò)誤；
等弧所對(duì)的弦相等．所以④正確；
經(jīng)過(guò)半徑的外端并垂直于半徑的直線是圓的切線．所以⑤錯(cuò)誤．
故選B．
【典例18】如圖，點(diǎn)B在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（　　）

A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)
【答案】D
【詳解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵點(diǎn)B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半徑，
∴BC是⊙A切線；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵點(diǎn)B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半徑，
∴BC是⊙A切線；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵點(diǎn)B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半徑，
∴BC是⊙A切線；
D、∵⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)，
∴AB＝AC，但不能證出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切線；
故選：D．
【即學(xué)即練】如圖，矩形ABCD中，G是BC的中點(diǎn)，過(guò)A、D、G三點(diǎn)的⊙O與邊AB、CD分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，給出下列判斷：（1）AC與BD的交點(diǎn)是⊙O的圓心；（2）AF與DE的交點(diǎn)是⊙O的圓心；（3）AE=DF；（4）BC與⊙O相切，其中正確判斷的個(gè)數(shù)是（????）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【詳解】解：連接DG、AG，作GH⊥AD于H，連接OD，如圖，
∵G是BC的中點(diǎn)，
∴CG＝BG，
∵CD＝BA，根據(jù)勾股定理可得，
∴AG＝DG，
∴GH垂直平分AD，
∴點(diǎn)O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC與圓O相切；
∵OG＝OD，
∴點(diǎn)O不是HG的中點(diǎn)，
∴圓心O不是AC與BD的交點(diǎn)；
∵∠ADF＝∠DAE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴四邊形AEFD為⊙O的內(nèi)接矩形，
∴AF與DE的交點(diǎn)是圓O的圓心；AE=DF；
∴（1）錯(cuò)誤，（2）（3）（4）正確．
故選：B．

【典例19】在正方形ABCD中，以AB為直徑做半圓，過(guò)點(diǎn)D做DE切圓O于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，正方形的邊長(zhǎng)為2，求陰影面積______．

【答案】1.5
【詳解】∵四邊形ABCD正方形，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，∠C＝90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD，BC是⊙O的切線，
∵DE切圓O于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，
∴BE＝EF，AD＝DF＝2，
設(shè)CE＝x，則BE＝EF＝2－x，DE＝DF＋EF＝4－x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
，
∴，
解得x＝1.5，
∴CE＝1.5，
∴陰影面積＝，
故答案為：1.5
【即學(xué)即練】如圖，在△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的半圓O交AC于D，交AB于E，連接BD，CE交于點(diǎn)F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G，交BD于H，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于M．則下列結(jié)論：①BE＝EM；②∠ECA＝∠BEG；③EH＝BF；④EM是⊙O的切線．其中正確的結(jié)論是_____．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】②③④
【詳解】解：∵BC為⊙O直徑，
∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC，
又∵AC＝BC，
∴AE＝BE，
∵EM⊥AC，
∴EM＜AE，
∴BE＞EM，
故①錯(cuò)誤；
連接OE．
∵由以上證明過(guò)程得到CE是等腰△ABC的中垂線，則∠BCE＝∠ECA，故∠BCE＝∠DCE，
∴，
∴OE⊥BD，
∵BC是直徑，
∴BD⊥AC
又∵EM⊥AC，
∴，
∴EM⊥OE，
∴EM是切線．
故④正確；
∵在直角△EBC中，EG⊥BC，∠BEC=90°，
∴，
∴∠ECG＝∠BEG，
又∵∠BCE＝∠ECA，即∠ECG＝∠ECA
∴∠ECA＝∠BEG．
故②正確；
∵∠EBD＝∠ECD（同弧所對(duì)的圓周角相等），∠BEG＝∠ECA（已證），
∴∠EBH＝∠BEH，
∴BH＝EH，
∵∠BEG+∠GEC＝∠EBD+∠EFB＝90°，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴EH＝FH，
∴EH＝FH＝BH＝BF，即EH＝BF．
故③正確．
故答案為：②③④．

【典例20】如圖，已知 AB、AC 分別為⊙O 的直徑和弦，D 為弧 BC 的中點(diǎn)，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16．

(1)求證：DE 是⊙O 的切線；
(2)求直徑AB的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)20
【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，BC；

∵AB為⊙O的直徑，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BCDE；
∵D為弧BC的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．
（2）設(shè)BC與DO交于點(diǎn)F，
由（1）可得四邊形CFDE為矩形；
∴CF=DE=6，
∵OD⊥BC，
∴BC=2CF=12，
在Rt△ABC中，
AB==20．
【即學(xué)即練】如圖，直線經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)C，并且，，交直線于E、D，連，．

(1)求證：直線是的切線；
(2)試猜想，，三者之間的等量關(guān)系，并加以證明；
(3)若，的直徑為5，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)，理由見解析
(3)6.5
【詳解】（1）證明：連接OC，

∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是的半徑，
∴AB是的切線；
（2）解：，理由如下：
∵ED是直徑，
∴∠ECD=90°．
∴∠E+∠EDC=90°，
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E，
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵△BCD∽△BEC，
∴，
設(shè)BD=2x，則BC=3x，
∵，
∴，
解得：x=2或0（舍去），
∴BD=2x=4，
∵的直徑為5，
∴OD=2.5，
∴OA=OB=BD+OD=6.5．

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