知識精講
知識點01 圓的定義、性質(zhì)及與圓有關的角
1．圓的定義
(1)線段OA繞著它的一個端點O ，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.
(2)圓是 的集合.
【注意】
①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
②圓是一條封閉曲線.
2．圓的性質(zhì)
(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是 圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是 對稱圖形，對稱中心是圓心.
在同圓或等圓中， ，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等.
(2)軸對稱：圓是 圖形， 都是它的對稱軸.
(3)垂徑定理及推論：
① .
②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.
③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.
④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夾的弧相等.
【注意】在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.(注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑)
3．兩圓的性質(zhì)
(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.
(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點.
4．與圓有關的角
(1)圓心角： 叫圓心角.
圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).
(2)圓周角： .
圓周角的性質(zhì)：
①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的 .
②同弧或等弧所對的 ；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的 .
③90°的圓周角所對的弦為 ；半圓或直徑所對的圓周角為 .
④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.
⑤圓內(nèi)接四邊形的 ；外角等于它的 .
【注意】
(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.
(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.
知識點02 與圓有關的位置關系
1．判定一個點P是否在⊙O上
設⊙O的半徑為r，OP=d，則有
；
；
；
【注意】
點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數(shù)量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數(shù)量關系；知道數(shù)量關系也可以確定位置關系.
2．判定幾個點在同一個圓上的方法
當時，在⊙O 上.
3．直線和圓的位置關系
設⊙O 半徑為R，點O到直線l的距離為d.
(1)直線l和⊙O沒有公共點直線和圓 .
(2)直線l和⊙O有唯一公共點直線和圓 .
(3)直線l和⊙O有2個公共點直線和圓 .
4．切線的判定、性質(zhì)
(1)切線的判定：
①經(jīng)過半徑的外端并且 這條半徑的直線是圓的切線.
②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線.
(2)切線的性質(zhì)：
①圓的切線 過切點的 .
②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點.
③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心.
(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.
(4)切線長定理：從圓外一點 ，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.
5．圓和圓的位置關系
設的半徑為，圓心距.
(1)和沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的 ；
(2)和沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的 ；
(3)和有唯一公共點，除這個點外，每一個圓上的所有點在另一個圓的外部
；
(4)和有唯一公共點，除這個點外，每一個圓上的所有點在另一個圓的內(nèi)部
；
(5)和有2個公共點 ；
知識點03 三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形
1．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心
(1)三角形的內(nèi)心：是三角形 的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形 的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形 的交點，在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形 的交點.
【注意】
(1) 任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；
(2) 解決三角形內(nèi)心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).
(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：
2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形
(1) 的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形 ，外角等于 .
(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形 .
知識點04 圓中有關計算
圓的面積公式： ，周長 .
圓心角為、半徑為R的弧長 .
圓心角為，半徑為R，弧長為l的扇形的面積 .
弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.
圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為 ，側(cè)面積為，全面積為.
圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為，全面積為 ，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有 .
【注意】
(1)對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即 ；
(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
(3)扇形面積公式S扇形，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；
(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：S扇形 .
能力拓展
考法01 圓的基礎知識
【典例1】如下圖，菱形的三個頂點、、在上，則（ ）．
A．100°B．150°C．120°D．60°
【即學即練】如圖，已知、是的弦，，點C在弦上，連接CO并延長CO交于于點D，，則的度數(shù)是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【典例2】如圖，以C為圓心的圓過的中點 D，則（ ）．
A．2B．3C．D．
【即學即練】如圖，為半徑，點為中點，為上一點，且，若，則的長為（ ）
A．B．C．D．
【典例3】如圖，中，，O是的中點，以O為圓心，長為半徑畫弧，分別交于點D，E，連接，測量的度數(shù)是_____．
【即學即練】如圖，圓內(nèi)4個正方形的邊長均為2a，若點A，B，C，D，E在同一條直線上，點E，F(xiàn)，G在同一個圓上，則此圓的半徑為______．
【典例4】如圖，在中，，以點C為圓心，為半徑的圓交于點D，交于點E，若，求的度數(shù)；
【即學即練】如圖，線段過圓心交于，兩點，交于點，且．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，，求的長．
考法02 弧、弦、圓心角、圓周角的關系及垂徑定理
【典例5】如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D ，且AB=6，OD=4，則DC的長為（ ）
A．1B．2C．2.5D．5
【即學即練】如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D ，且AB=6，OD=4，則DC的長為（ ）
A．1B．2C．2.5D．5
【典例6】如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D ，且AB=6，OD=4，則DC的長為（ ）
A．1B．2C．2.5D．5
【即學即練】如圖，AB為⊙O直徑，點C，D在⊙O上且．AD與CO交于點E，∠DAB＝30°，若，則CE的長為（ ）
A．1B．C．D．
【典例7】已知四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，點E、F分別為AB、CD的中點，若AB＝8，CD＝6，⊙O的半徑為5，則線段EF長的最大值為_____．
【即學即練】如圖，已知半圓直徑，點C、D三等分半圓弧，那么的面積為________．
【典例8】如圖，在平行四邊形ABCD中，AD是⊙的弦，BC是⊙的切線，切點為點B．
(1)求證：；
(2)若，，求⊙的半徑．
【即學即練】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，且AB⊥CD，垂足為G，點E在劣弧上，連接CE．
（1）求證：CE平分∠AEB；
（2）連接BC，若BC//AE，求證：BC=BE．
考法03 圓中有關的計算
【典例9】已知：如圖，是的兩條半徑，且，點在上，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【即學即練】已知扇形的半徑為6，圓心角為，則它的弧長是（ ）
A．B．C．D．
【典例10】如圖，，是的弦，，，則的直徑等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
【即學即練】如圖，矩形ABCD中，，，將矩形ABCD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形EBGF，再將矩形EBGF繞點G順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形IHGJ，則點D在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長是（ ）
A．B．C．D．
【典例11】如圖，⊙O與AB相切于點A，BO與⊙O交于點C，，則∠B等于 _____．
【即學即練】如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則AC的長是_______．
【典例12】如圖，在⊙O中，弦BC垂直于半徑OA，垂足為點E，D是優(yōu)弧BC上一點，連接BD，AD，OC，
(1)求∠ADB的度數(shù)；
(2)若OE＝3，OA＝5，求BC的長．
【即學即練】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BE交AC于點E，⊙O是△BEF的外接圓，交AB于點F，圓心O在AB上．
(1)求證：AC是⊙O的切線；
(2)過點E作EH⊥AB于點H，求證：EF平分∠AEH；
(3)求證：CD＝HF．
考法04 圓與其他知識的綜合運用
【典例13】如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD=DE，AE與BD交于點C，則圖中與∠BCE相等的角除對頂角外還有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【即學即練】如圖，正方形的邊長為，點在上，以為圓心的扇形與邊相切于點，與兩邊交于點，，則弧長度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例14】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分別以點A，B，C為圓心，AB的長為半徑畫弧，與該三角形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．96﹣πB．96﹣25πC．48﹣πD．48﹣π
【即學即練】如圖，在⊙O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，∠CAD=35°，∠B+∠E=（ ）
A．325°B．145°C．215°D．395°
【典例15】如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，分別以點A，C為圓心，AO長為半徑畫弧，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)．若BD＝6，∠CAB＝30°，則圖中陰影部分的面積為 _____．（結果保留π）
【即學即練】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB過點A（－3，0），B（0，3），⊙O的半徑為1（O為坐標原點），點P在直線AB上，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，則切線長PQ的最小值為____．
【典例16】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AE是⊙O的直徑，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足為D．若BE=6，AB=8．
(1)求證：BE=CF；
(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的長．
【即學即練】接BD和CD．
(1)求證：．
(2)，，，求AD．
(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積．
考法05 與圓的切線相關的證明與計算
【典例17】下列命題中的真命題是（ ）
①相等的角是對頂角 ②矩形的對角線互相平分且相等 ③垂直于半徑的直線是圓的切線 ④順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形．
A．①②B．②③C．③④D．②④
【即學即練】下列命題中，
①直徑是弦；
②平分弦的直徑必垂直于弦；
③相等的圓心角所對的弧相等；
④等弧所對的弦相等．
⑤經(jīng)過半徑的一端并垂直于半徑的直線是圓的切線．正確的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【典例18】如圖，點B在⊙A上，點C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2D．⊙A與AC的交點是AC中點
【即學即練】如圖，矩形ABCD中，G是BC的中點，過A、D、G三點的⊙O與邊AB、CD分別交于點E、點F，給出下列判斷：（1）AC與BD的交點是⊙O的圓心；（2）AF與DE的交點是⊙O的圓心；（3）AE=DF；（4）BC與⊙O相切，其中正確判斷的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【典例19】在正方形ABCD中，以AB為直徑做半圓，過點D做DE切圓O于點F，交BC于點E，正方形的邊長為2，求陰影面積______．
【即學即練】如圖，在△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的半圓O交AC于D，交AB于E，連接BD，CE交于點F，經(jīng)過點E作EG⊥BC于G，交BD于H，過點E作EM⊥AC于M．則下列結論：①BE＝EM；②∠ECA＝∠BEG；③EH＝BF；④EM是⊙O的切線．其中正確的結論是_____．（填寫所有正確結論的序號）
【典例20】如圖，已知 AB、AC 分別為⊙O 的直徑和弦，D 為弧 BC 的中點，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16．
(1)求證：DE 是⊙O 的切線；
(2)求直徑AB的長．
【即學即練】如圖，直線經(jīng)過上的點C，并且，，交直線于E、D，連，．
(1)求證：直線是的切線；
(2)試猜想，，三者之間的等量關系，并加以證明；
(3)若，的直徑為5，求的長．
課程標準
（1）理解圓及其有關概念，理解弧、弦、圓心角的關系，探索并了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系，探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征；
（2）了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線；
（3）了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；
（4）了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；
（5）結合相關圖形性質(zhì)的探索和證明，進一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的學習，進一步培養(yǎng)綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力.
名稱
確定方法
圖形
性質(zhì)
外心(三角形外接圓的圓心)
三角形三邊中垂線的交點
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部
內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)
三角形三條角平分線的交點
(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.
第26課 圓章末復習
目標導航
知識精講
知識點01 圓的定義、性質(zhì)及與圓有關的角
1．圓的定義
(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.
(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.
【注意】
①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
②圓是一條封閉曲線.
2．圓的性質(zhì)
(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.
在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等.
(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.
(3)垂徑定理及推論：
①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.
③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.
④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夾的弧相等.
【注意】
在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.(注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑)
3．兩圓的性質(zhì)
(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.
(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點.
4．與圓有關的角
(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.
圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).
(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.
圓周角的性質(zhì)：
①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.
②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.
③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.
④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.
⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補；外角等于它的內(nèi)對角.
【注意】
(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.
(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.
知識點02 與圓有關的位置關系
1．判定一個點P是否在⊙O上
設⊙O的半徑為r，OP=d，則有
點P在⊙O外；
點P在⊙O上；
點P在⊙O內(nèi)；
【注意】
點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數(shù)量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數(shù)量關系；知道數(shù)量關系也可以確定位置關系.
2．判定幾個點在同一個圓上的方法
當時，在⊙O 上.
3．直線和圓的位置關系
設⊙O 半徑為R，點O到直線l的距離為d.
(1)直線l和⊙O沒有公共點直線和圓相離 .
(2)直線l和⊙O有唯一公共點直線和圓相切 .
(3)直線l和⊙O有2個公共點直線和圓相交 .
4．切線的判定、性質(zhì)
(1)切線的判定：
①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線.
(2)切線的性質(zhì)：
①圓的切線垂直于過切點的半徑.
②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點.
③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心.
(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.
(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.
5．圓和圓的位置關系
設的半徑為，圓心距.
(1)和沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離；
(2)和沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的內(nèi)部內(nèi)含；
(3)和有唯一公共點，除這個點外，每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外切；
(4)和有唯一公共點，除這個點外，每一個圓上的所有點在另一個圓的內(nèi)部 內(nèi)切；
(5)和有2個公共點相交；
知識點03 三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形
1．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心
(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形三邊高線的交點.
【注意】
(1) 任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；
(2) 解決三角形內(nèi)心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).
(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：
2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形
(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角.
(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.
知識點04 圓中有關計算
圓的面積公式： ，周長.
圓心角為、半徑為R的弧長.
圓心角為，半徑為R，弧長為l的扇形的面積.
弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.
圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為 ，側(cè)面積為，全面積為.
圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為，全面積為 ，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.
【注意】
(1)對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；
(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
(3)扇形面積公式S扇形，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；
(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：S扇形.
能力拓展
考法01 圓的基礎知識
【典例1】如下圖，菱形的三個頂點、、在上，則（ ）．
A．100°B．150°C．120°D．60°
【答案】C
【詳解】：連結OC，
∵點、、在上，
∴OA=OB=OC，
又∵四邊形OACB為菱形，
∴OA=AC=CB=OB=OC，
∴△OAC和△OBC均為等邊三角形，
∴∠ACO=∠BCO=60°，
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=120°．
故選：C．
【即學即練】如圖，已知、是的弦，，點C在弦上，連接CO并延長CO交于于點D，，則的度數(shù)是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】C
【詳解】解：連接OA，
∵OA=OB， ∴∠OAB=∠B=30°，
∵OA=OD， ∴∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，
故選：C．
【典例2】如圖，以C為圓心的圓過的中點 D，則（ ）．
A．2B．3C．D．
【答案】D
【詳解】解：如圖示，連接，
在中，點D是的中點，則，
∴
∴依據(jù)勾股定理可得：．
故選：D．
【即學即練】如圖，為半徑，點為中點，為上一點，且，若，則的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：如圖，作OE⊥PQ于點E，連接OQ，
由題意，OA=OQ=2，∠OEP=90°，
∵點P是OA的中點，
∴OP=1，
∵，
∴∠EPO=∠EOP=45°，
∴PE=OE=，
在Rt△OEQ中，由勾股定理，得：
，
∴；
故選擇：D.
【典例3】如圖，中，，O是的中點，以O為圓心，長為半徑畫弧，分別交于點D，E，連接，測量的度數(shù)是_____．
【答案】##80度
【詳解】解：如圖，連接OE、OD，
根據(jù)題意得：OC=OB=OD=OE，
∵∠A=50°，
∴∠B+∠C=130°，
∴∠CEO+∠BDO=130°，
∴∠AEO+∠ADO=230°，
∴∠EOD=360°-∠A-∠AEO-∠ADO=360°-50°-230°=80°，
故答案為：．
【即學即練】如圖，圓內(nèi)4個正方形的邊長均為2a，若點A，B，C，D，E在同一條直線上，點E，F(xiàn)，G在同一個圓上，則此圓的半徑為______．
【答案】a
【詳解】解：∵點E，F(xiàn)在⊙O上，
∴圓心O在EF的垂直平分線PQ上，連接OG、OE，
∵4個正方形的邊長均為2a，
∴PQ=8a，EQ=a，PG=3a，
設PO=x，則OQ=8a-x，
∵OG=OE，即OG2=OE2，
∴PG2+PO2=OQ2+QE2，即(3a)2+x2=(8a-x)2+a2，
解得：x=a，即PO=a，
∴OG2=(3a)2+(a)2=a2，
∴OG=a，
故答案為a．
【典例4】如圖，在中，，以點C為圓心，為半徑的圓交于點D，交于點E，若，求的度數(shù)；
【答案】40°
【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-25°=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=180°-65°-65°=50°，
∴∠DCE=90°-50°=40°．
【即學即練】如圖，線段過圓心交于，兩點，交于點，且．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）75°；（2）．
【詳解】（1）連接．
∵，∴，
∵，∴，
∴．
（2）∵，∴（由（1）證明可知）
∴，
設，∴，解得，
∴．
考法02 弧、弦、圓心角、圓周角的關系及垂徑定理
【典例5】如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D ，且AB=6，OD=4，則DC的長為（ ）
A．1B．2C．2.5D．5
【答案】A
【詳解】解：如圖，連接AO，
∵半徑與點D，
∴，
∵，
∴根據(jù)勾股定理，，
∴，
∴．
故選A．
【即學即練】如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D ，且AB=6，OD=4，則DC的長為（ ）
A．1B．2C．2.5D．5
【答案】A
【詳解】解：如圖，連接AO，
∵半徑與點D，
∴，
∵，
∴根據(jù)勾股定理，，
∴，
∴．
故選A．
【典例6】如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D ，且AB=6，OD=4，則DC的長為（ ）
A．1B．2C．2.5D．5
【答案】A
【詳解】解：如圖，連接AO，
∵半徑與點D，
∴，
∵，
∴根據(jù)勾股定理，，
∴，
∴．
故選A．
【即學即練】如圖，AB為⊙O直徑，點C，D在⊙O上且．AD與CO交于點E，∠DAB＝30°，若，則CE的長為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：∵
∴
又∵∠DAB＝30°
∴
由勾股定理得，
∴
∴(負值舍去)
∴
故選：C
【典例7】已知四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，點E、F分別為AB、CD的中點，若AB＝8，CD＝6，⊙O的半徑為5，則線段EF長的最大值為_____．
【答案】7
【詳解】解：連接OA、OD、OE、OF，
∵點E、F分別為AB、CD的中點，
∴OE⊥AB，AEAB＝4，OF⊥CD，DFCD＝3，
由勾股定理得，OE3，OF4，
當E、O、F在同一條直線上時，EF最大，最大值為3+4＝7，
故答案為：7．
【即學即練】如圖，已知半圓直徑，點C、D三等分半圓弧，那么的面積為________．
【答案】
【詳解】解：連接OC，OD，過點O作OE⊥CD，垂足為點E，如圖，
∵點C、D三等分半圓弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴是等邊三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴，
∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠COD=30°，
∴，
在中，，
∴．
故答案為：．
【典例8】如圖，在平行四邊形ABCD中，AD是⊙的弦，BC是⊙的切線，切點為點B．
(1)求證：；
(2)若，，求⊙的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)
【詳解】(1)證明：連接，交于點．
是的切線，切點為，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
；
(2)解：，過圓心
，
在中，，
，
設的半徑為，則，
連接，
在中，，
即，
，
的半徑為．
【即學即練】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，且AB⊥CD，垂足為G，點E在劣弧上，連接CE．
（1）求證：CE平分∠AEB；
（2）連接BC，若BC//AE，求證：BC=BE．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【詳解】（1）證明：，是直徑，
．
，
平分；
（2）解：如圖，
∵ ，
∴．
又∵，

．
考法03 圓中有關的計算
【典例9】已知：如圖，是的兩條半徑，且，點在上，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：，
，
．
故選：A．
【即學即練】已知扇形的半徑為6，圓心角為，則它的弧長是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：由弧長公式可知，
，
故選：B．
【典例10】如圖，，是的弦，，，則的直徑等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【詳解】解：連接OB、OC，如圖，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC為等邊三角形，
∴OB＝BC＝2，
∴⊙O的直徑等于4．
故答案為：4．
【即學即練】如圖，矩形ABCD中，，，將矩形ABCD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形EBGF，再將矩形EBGF繞點G順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形IHGJ，則點D在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：如圖，
第一次旋轉(zhuǎn)時，點D繞點B旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)半徑為BD，到達點F處，
BD==6，
此時，點D運動的路徑為：3π，
第二次旋轉(zhuǎn)時，點F繞點G旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)半徑為GF=AB=3，到達點J處，
點F運動的路徑為：，
故點D在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長為：，
故選：D．
【典例11】如圖，⊙O與AB相切于點A，BO與⊙O交于點C，，則∠B等于 _____．
【答案】
【詳解】解：如圖，連接OA．則OA⊥AB．
∴，
∵，
∴．
∵OA＝OC，
∴．
∴．
故答案為： ．
【即學即練】如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則AC的長是_______．
【答案】
【詳解】解：如圖，連接OD，交AC于F，
∵D是的中點，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF=DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴．
故答案為：．
【典例12】如圖，在⊙O中，弦BC垂直于半徑OA，垂足為點E，D是優(yōu)弧BC上一點，連接BD，AD，OC，
(1)求∠ADB的度數(shù)；
(2)若OE＝3，OA＝5，求BC的長．
【答案】(1)
(2)8
【詳解】（1）解：連接OB，
∵OA⊥BC，OA過圓心O，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵OA⊥BC，BC＝2，OA過圓心O，
∴BE＝EC，
∵OB＝OA＝5，OE＝3，
∴BE＝＝＝4，
∴BC＝2BE＝8．
【即學即練】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BE交AC于點E，⊙O是△BEF的外接圓，交AB于點F，圓心O在AB上．
(1)求證：AC是⊙O的切線；
(2)過點E作EH⊥AB于點H，求證：EF平分∠AEH；
(3)求證：CD＝HF．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）證明：連接OE，如圖所示：
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圓O的直徑，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切線；
（2）證明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，
∴∠BEC＝∠BEH，
∵BF是⊙O是直徑，
∴∠BEF＝90°，
∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEH＝∠FEA，
∴FE平分∠AEH．
（3）證明：連接DE，如圖所示：
∵BE是∠ABC的平分線，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE，
∵∠C＝∠EHF＝90°，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF，
考法04 圓與其他知識的綜合運用
【典例13】如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD=DE，AE與BD交于點C，則圖中與∠BCE相等的角除對頂角外還有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】C
【詳解】解：∵在△ADO和△DOE中
，
∴△OAD≌△ODE（SSS），
∴∠DAB=∠EDO，∠ADO=∠DEO，
∵AO=DO，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∵AD=DE，
∴，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DAB=90°-∠ABD，∠BCE=90°-∠DBE，
∴∠DAB=∠BCE，
∴∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO，
則與∠ECB相等的角有5個．
圖中與∠BCE相等的角除對頂角外還有4個
故選C．
【即學即練】如圖，正方形的邊長為，點在上，以為圓心的扇形與邊相切于點，與兩邊交于點，，則弧長度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：當點與或點重合時，圓心角為，此時弧最長，
根據(jù)正方形和扇形的對稱性可得，當點在中點時，此時弧的長度最短，且，
∵正方形的邊長為，以為圓心的扇形與邊相切，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弧的長度為．
故選：C．
【典例14】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分別以點A，B，C為圓心，AB的長為半徑畫弧，與該三角形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．96﹣πB．96﹣25πC．48﹣πD．48﹣π
【答案】D
【詳解】解：作AD⊥BC于點D，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BD＝CD＝6，
∴AD＝＝8，
∴＝×12×8﹣π×＝48﹣．
故選：D．
【即學即練】如圖，在⊙O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，∠CAD=35°，∠B+∠E=（ ）
A．325°B．145°C．215°D．395°
【答案】C
【詳解】解：如圖，連接CE，
∵五邊形ABCDE是圓內(nèi)接五邊形，
∴四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠CED=∠CAD=35°，
∴∠B+∠AED=180°+35°=215°．
故選：C．
【典例15】如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，分別以點A，C為圓心，AO長為半徑畫弧，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)．若BD＝6，∠CAB＝30°，則圖中陰影部分的面積為 _____．（結果保留π）
【答案】
【詳解】解：∵矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且BD=6，
∴AC=BD＝6，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∴，
故答案為：．
【即學即練】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB過點A（－3，0），B（0，3），⊙O的半徑為1（O為坐標原點），點P在直線AB上，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，則切線長PQ的最小值為____．
【答案】
【詳解】解：連接、．
是的切線，
；
根據(jù)勾股定理知，
當時，線段最短；
又，，，，
，
，
，
．
故答案為：．
【典例16】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AE是⊙O的直徑，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足為D．若BE=6，AB=8．
(1)求證：BE=CF；
(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【詳解】（1）證明：∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴弧BE=弧FC
∴BE=CF．
（2）解：連接OC，如圖所示：
∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝∠CAE，
∴∠AOC＝2∠CAE，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO＝∠AOC，
∵，
∴，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵BE=6，AB=8，∠ABE=90°
∴，
∴AO＝CO＝5，
∴．
【即學即練】接BD和CD．
(1)求證：．
(2)，，，求AD．
(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
∵I為三角形ABC的內(nèi)心，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）如圖，過點作于，過點作于點，
，，，則，
，，則，
，
，
，
，，
，
，
過點，作的垂線，垂足分別為，如圖，
I為三角形ABC的內(nèi)心，
，
設，
，
即，
解得，
中，，
，
，
（3）如圖，設為三角形ABC的外接圓的圓心，連接，
，
，
，
，且，
，
是等邊三角形，
，
圓的半徑為，
．
考法05 與圓的切線相關的證明與計算
【典例17】下列命題中的真命題是（ ）
①相等的角是對頂角 ②矩形的對角線互相平分且相等 ③垂直于半徑的直線是圓的切線 ④順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形．
A．①②B．②③C．③④D．②④
【答案】D
【詳解】①相等的角不一定是對頂角，故①錯誤；
②矩形的對角線互相平分且相等，故②正確；
③經(jīng)過半徑外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線，故③錯誤；
④順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形，故④正確，
所以正確的是②④，
故選D．
【即學即練】下列命題中，
①直徑是弦；
②平分弦的直徑必垂直于弦；
③相等的圓心角所對的弧相等；
④等弧所對的弦相等．
⑤經(jīng)過半徑的一端并垂直于半徑的直線是圓的切線．正確的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【詳解】解：直徑是圓中最長的弦，所以①正確；
平分弦（非直徑）的直徑必垂直于弦，所以②錯誤；
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所以③錯誤；
等弧所對的弦相等．所以④正確；
經(jīng)過半徑的外端并垂直于半徑的直線是圓的切線．所以⑤錯誤．
故選B．
【典例18】如圖，點B在⊙A上，點C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2D．⊙A與AC的交點是AC中點
【答案】D
【詳解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵點B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半徑，
∴BC是⊙A切線；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵點B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半徑，
∴BC是⊙A切線；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵點B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半徑，
∴BC是⊙A切線；
D、∵⊙A與AC的交點是AC中點，
∴AB＝AC，但不能證出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切線；
故選：D．
【即學即練】如圖，矩形ABCD中，G是BC的中點，過A、D、G三點的⊙O與邊AB、CD分別交于點E、點F，給出下列判斷：（1）AC與BD的交點是⊙O的圓心；（2）AF與DE的交點是⊙O的圓心；（3）AE=DF；（4）BC與⊙O相切，其中正確判斷的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【詳解】解：連接DG、AG，作GH⊥AD于H，連接OD，如圖，
∵G是BC的中點，
∴CG＝BG，
∵CD＝BA，根據(jù)勾股定理可得，
∴AG＝DG，
∴GH垂直平分AD，
∴點O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC與圓O相切；
∵OG＝OD，
∴點O不是HG的中點，
∴圓心O不是AC與BD的交點；
∵∠ADF＝∠DAE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴四邊形AEFD為⊙O的內(nèi)接矩形，
∴AF與DE的交點是圓O的圓心；AE=DF；
∴（1）錯誤，（2）（3）（4）正確．
故選：B．
【典例19】在正方形ABCD中，以AB為直徑做半圓，過點D做DE切圓O于點F，交BC于點E，正方形的邊長為2，求陰影面積______．
【答案】1.5
【詳解】∵四邊形ABCD正方形，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，∠C＝90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD，BC是⊙O的切線，
∵DE切圓O于點F，交BC于點E，
∴BE＝EF，AD＝DF＝2，
設CE＝x，則BE＝EF＝2－x，DE＝DF＋EF＝4－x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
，
∴，
解得x＝1.5，
∴CE＝1.5，
∴陰影面積＝，
故答案為：1.5
【即學即練】如圖，在△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的半圓O交AC于D，交AB于E，連接BD，CE交于點F，經(jīng)過點E作EG⊥BC于G，交BD于H，過點E作EM⊥AC于M．則下列結論：①BE＝EM；②∠ECA＝∠BEG；③EH＝BF；④EM是⊙O的切線．其中正確的結論是_____．（填寫所有正確結論的序號）
【答案】②③④
【詳解】解：∵BC為⊙O直徑，
∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC，
又∵AC＝BC，
∴AE＝BE，
∵EM⊥AC，
∴EM＜AE，
∴BE＞EM，
故①錯誤；
連接OE．
∵由以上證明過程得到CE是等腰△ABC的中垂線，則∠BCE＝∠ECA，故∠BCE＝∠DCE，
∴，
∴OE⊥BD，
∵BC是直徑，
∴BD⊥AC
又∵EM⊥AC，
∴，
∴EM⊥OE，
∴EM是切線．
故④正確；
∵在直角△EBC中，EG⊥BC，∠BEC=90°，
∴，
∴∠ECG＝∠BEG，
又∵∠BCE＝∠ECA，即∠ECG＝∠ECA
∴∠ECA＝∠BEG．
故②正確；
∵∠EBD＝∠ECD（同弧所對的圓周角相等），∠BEG＝∠ECA（已證），
∴∠EBH＝∠BEH，
∴BH＝EH，
∵∠BEG+∠GEC＝∠EBD+∠EFB＝90°，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴EH＝FH，
∴EH＝FH＝BH＝BF，即EH＝BF．
故③正確．
故答案為：②③④．
【典例20】如圖，已知 AB、AC 分別為⊙O 的直徑和弦，D 為弧 BC 的中點，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16．
(1)求證：DE 是⊙O 的切線；
(2)求直徑AB的長．
【答案】(1)見解析
(2)20
【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，BC；
∵AB為⊙O的直徑，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BCDE；
∵D為弧BC的中點，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．
（2）設BC與DO交于點F，
由（1）可得四邊形CFDE為矩形；
∴CF=DE=6，
∵OD⊥BC，
∴BC=2CF=12，
在Rt△ABC中，
AB==20．
【即學即練】如圖，直線經(jīng)過上的點C，并且，，交直線于E、D，連，．
(1)求證：直線是的切線；
(2)試猜想，，三者之間的等量關系，并加以證明；
(3)若，的直徑為5，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)，理由見解析
(3)6.5
【詳解】（1）證明：連接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是的半徑，
∴AB是的切線；
（2）解：，理由如下：
∵ED是直徑，
∴∠ECD=90°．
∴∠E+∠EDC=90°，
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E，
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵△BCD∽△BEC，
∴，
設BD=2x，則BC=3x，
∵，
∴，
解得：x=2或0（舍去），
∴BD=2x=4，
∵的直徑為5，
∴OD=2.5，
∴OA=OB=BD+OD=6.5．課程標準
（1）理解圓及其有關概念，理解弧、弦、圓心角的關系，探索并了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系，探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征；
（2）了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線；
（3）了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；
（4）了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；
（5）結合相關圖形性質(zhì)的探索和證明，進一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的學習，進一步培養(yǎng)綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力.
名稱
確定方法
圖形
性質(zhì)
外心(三角形外接圓的圓心)
三角形三邊中垂線的交點
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部
內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)
三角形三條角平分線的交點
(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.

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