?第25課 弧長(zhǎng)和扇形面積、圓錐的側(cè)面展開圖

課程標(biāo)準(zhǔn)
(1)通過復(fù)習(xí)圓的周長(zhǎng)、圓的面積公式，探索n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)和扇形面積S扇形的計(jì)算公式，并應(yīng)用這些公式解決問題；
(2)了解圓錐母線的概念，理解圓錐側(cè)面積計(jì)算公式，理解圓錐全面積的計(jì)算方法，會(huì)應(yīng)用公式解決問題；
(3)能準(zhǔn)確計(jì)算組合圖形的面積.

知識(shí)點(diǎn)01 弧長(zhǎng)公式
半徑為R的圓中：
360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)(圓的周長(zhǎng))公式：
n°的圓心角所對(duì)的圓的弧長(zhǎng)公式： (弧是圓的一部分);
【注意】
(1)對(duì)于弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的，即=；
(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；
(3)弧長(zhǎng)公式所涉及的三個(gè)量：弧長(zhǎng)、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.
知識(shí)點(diǎn)02 扇形面積公式
1．扇形的定義
由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.
2．扇形面積公式
半徑為R的圓中：
360°的圓心角所對(duì)的扇形面積(圓面積)公式：
n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：S扇形=
【注意】
(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的 ，即 ；
(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.
(3)扇形面積公式S扇形=，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；
(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：S扇形.
知識(shí)點(diǎn)03 圓錐的側(cè)面積和全面積
連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.
圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則
圓錐的側(cè)面積，
圓錐的全面積：S全=S側(cè)+S底.
【注意】
扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐底面圓的周長(zhǎng).因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.


考法01 弧長(zhǎng)和扇形的有關(guān)計(jì)算
【典例1】如圖，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∠ABC＝22.5°，AB，則的長(zhǎng)為（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)所在圓的圓心為點(diǎn)O，連接CO，交AB于點(diǎn)D，連接AO，如圖，

∵C點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴CO⊥AB，AD=BD=AB，
∵AB=，
∴AD=BD=AB=，
∵∠ABC=22.5°，
∴∠AOC=2∠ABC=45°，
∵CO⊥AB，
∴∠ADO=90°，
∴∠DAO=90°-∠AOC=45°，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴AD=DO=，
∴，
∴，
故選：D．
【即學(xué)即練】如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．π B．π C．π D．π
【答案】B
【詳解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴的長(zhǎng)為：π．
故選：B．
【典例2】半徑為2的圓中，扇形MON的圓心角為150°，則這個(gè)扇形的面積為（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：．
故選：D．
【即學(xué)即練】已知圓錐的母線長(zhǎng)是5cm，側(cè)面積是20πcm2，則這個(gè)圓錐底面圓的半徑是（????）
A．1.5cm B．3cm C．4cm D．6cm
【答案】C
【詳解】解：∵圓錐的母線長(zhǎng)是5cm，側(cè)面積是20πcm2，
∴圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)為：，
∵圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)，
∴
故選：C．
考法02 圓錐面積的計(jì)算
【典例3】一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為6，側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的側(cè)面積是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：圓錐的側(cè)面積=半圓的面積=，
故選C．
【即學(xué)即練】已知圓錐的母線長(zhǎng)8cm，底面圓的直徑6cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（??）
A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2
【答案】D
【詳解】解：底面直徑為6cm，則底面周長(zhǎng)=6π，
側(cè)面面積=×6π×8=24πcm2．
故選D．
【典例4】如圖，圓錐的底面圓半徑r為5cm，高h(yuǎn)為12cm，則圓錐的側(cè)面積為（???????）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】A
【詳解】解：由圓錐底面半徑r=5cm，高h(yuǎn)=12cm，
根據(jù)勾股定理得到母線長(zhǎng)l==13（cm），
根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：πrl=π×5×13=65π（cm2），
故選：A．
【即學(xué)即練】如圖，圓錐的底面半徑OB＝3cm，高OC＝4cm．則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是(???)

A．15cm2 B．12πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2
【答案】C
【詳解】解∶根據(jù)題意得：，
∴這個(gè)圓錐的側(cè)面積是．
故選：C
考法03 組合圖形面積的計(jì)算
【典例5】如圖，矩形中，，，以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，連接，則陰影部分的面積為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：連接交于點(diǎn)，如圖，

以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，
，
，
四邊形為矩形，
，
四邊形和四邊形為矩形，
，，
在和中，
，
，
，
陰影部分的面積．
故選：A．
【即學(xué)即練】如圖，正方形的邊，和都是以1為半徑的圓弧，則無(wú)陰影兩部分的面積之差是（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：如圖：
正方形的面積；①
兩個(gè)扇形的面積；②
②①，得：．
故選：A．

【典例6】正方形的面積是33平方米，則陰影部分面積是（　　）

A．33﹣π B．33﹣π C．π D．33﹣π
【答案】A
【詳解】解：∵正方形的面積是33平方米，
∴正方形的邊長(zhǎng)為米，
∴陰影部分面積為33﹣＝33﹣（平方米）．
故選：A．
【即學(xué)即練】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為，則圖中陰影部分的面積是（????）（提示：圓心角為n°的扇形的面積為，R為扇形所在的圓的半徑）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴AB=，
∴S扇形ABD=．
又∵Rt△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S陰影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD=．
故選：A．


題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．已知一個(gè)扇形的圓心角為120°，半徑是6cm，則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是（　?。?br /> A．8π B．6π C．4π D．2π
【答案】C
【詳解】解：根據(jù)弧長(zhǎng)的公式l＝，
得到：l＝＝4π，
故選：C．
2．一個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的扇形的弧長(zhǎng)為，則這個(gè)圓錐底面圓的半徑為（???）
A．6 B．12 C．24 D．2
【答案】A
【詳解】解：設(shè)底面圓半徑為r，
則，
解得r＝6．
故選：A．
3．已知，如圖，⊙O的半徑為6，正六邊形ABCDEF與⊙O相切于點(diǎn)C、F，則的長(zhǎng)度是（　　）

A．2π B．3π C．4π D．5π
【答案】C
【詳解】解：連接OC、OF，
∵⊙O與正六邊形ABCDEF相切于點(diǎn)C，F(xiàn)，
∴∠OFE=∠OCD=，
∵∠E=∠D=，
∴∠COF=，
∴的長(zhǎng)=，
故選：C．

4．如圖，將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段OB．若OA＝8，則點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長(zhǎng)度為（???）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
∴點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長(zhǎng)度為．
故選：C
5．如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，O，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，若與所在圓的圓心都為點(diǎn)O，那么陰影部分的面積為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：由勾股定理得，OC＝OD＝＝2，
則OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∵四邊形OACB是正方形，
∴∠COB＝45°，
∴，，，
陰影部分的面積為
故選：C．

6．如圖所示，某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的高米，底面半徑米，則圓錐的側(cè)面積是多少平方米（結(jié)果保留）（??）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵AO=8米，OB=6米，
∴AB=10米，
∵圓錐的底面周長(zhǎng)=2×π×6=12π米，
∴S扇形=lr=×12π×10=60π（米2）．
故選：A．
7．已知扇形的半徑為 圓心角為 則此扇形的面積是_____________．
【答案】
【詳解】∵扇形的圓心角為100°，其半徑為，
∴．
故答案為．
8．如圖，將以線段AB和曲線BCA圍成的圖形ABCA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至圖形AB′C′A的位置，若AB＝8，則圖中陰影部分的面積為______．

【答案】8π
【詳解】解：=．
故答案為：．
9．如圖是一段彎形管道，其中，，中心線的兩條圓弧半徑都為．求圖中管道的展直長(zhǎng)度．

【答案】圖中管道的展直長(zhǎng)度約為6142mm．
【詳解】解：3000＋≈6142（mm）.
答：圖中管道的展直長(zhǎng)度約為6142mm.
10．下列每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，求下圖中陰影部分的面積．

【答案】2.28
【詳解】πr2÷2-2×2÷2×2
=3.14×2×2÷2-4
=2.28．
題組B 能力提升練
1．75°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是2.5πcm，則此弧所在圓的半徑是（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】A
【詳解】解：∵75°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是2.5πcm，
由弧長(zhǎng)公式l，
∴2.5π，
解得：r＝6，
故選：A．
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的全面積為(???)
A．16π B．20π C．36π D．40π
【答案】C
【詳解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵把Rt△ABC繞邊AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，
∴所得的幾何體的全面積為：底面半徑為4，母線長(zhǎng)為5的圓錐側(cè)面和半徑為4的圓的面積之和，
故π×4×5+π×42＝36π．
故選：C
3．一塊等邊三角形的木板，邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾（如圖），那么B點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過的路徑長(zhǎng)度為（????）

A． B． C．4 D．
【答案】B
【詳解】解：由題意可知點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過的路徑為兩個(gè)圓心角為120°，半徑為1的扇形弧長(zhǎng)，
所以點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過的路徑長(zhǎng)度為：．
故選B．
4．如圖，六邊形ABCDEF是半徑為2的圓的內(nèi)接正六邊形，則陰影部分的面積為（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：設(shè)圓心為O，連接OA，OB，
∵六邊形ABCDEF是半徑為2的圓的內(nèi)接正六邊形，
∴∠AOB＝60°，∠ABC＝120°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴S△AOB＝ ×22＝，
∴陰影部分的面積為S正六邊形ABCDEF﹣S扇形AOC﹣S扇形DOF
＝6﹣
＝．
故選A．

5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以點(diǎn)C為圓心，CA的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，則弧AD的長(zhǎng)為（????）

A． B． C． D．2
【答案】B
【詳解】解：連接CD，如圖所示：

∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4，
由題意得：AC=CD，
∴△ACD為等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
∴的長(zhǎng)為：＝，
故選：B．
6．一個(gè)垃圾填埋場(chǎng)，它在地面上的形狀為長(zhǎng)，寬的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了，則該垃圾填埋場(chǎng)外圍受污染土地的面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：根據(jù)題意可知受污染土地由兩類長(zhǎng)分別為，，寬分別為的矩形，及四個(gè)能組成一個(gè)以半徑為的圓組成，
面積為：，
故選：B．
7．若一個(gè)扇形的半徑是9cm，且它的弧長(zhǎng)是6πcm，則此扇形的圓心角等于 _____．
【答案】120°##120度
【詳解】解：根據(jù)弧長(zhǎng)公式l＝＝＝6π，
解得：n＝120，
故答案為：120°．
8．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐母線l=6，扇形的圓心角，則該圓錐的底面圓的半徑r長(zhǎng)為______．

【答案】2
【詳解】∵母線l長(zhǎng)為6，扇形的圓心角，
∴圓錐的底面圓周長(zhǎng)，
∴圓錐的底面圓半徑．
故答案為：2．
9．如圖是某居民小區(qū)的一塊長(zhǎng)為2a米，寬為b米的長(zhǎng)方形空地，為了美化環(huán)境，準(zhǔn)備在這個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)處修建一個(gè)半徑為a米的扇形花臺(tái)，然后在花臺(tái)內(nèi)種花，其余種草．如果建造花臺(tái)及種花費(fèi)用每平方米需要資金100元，種草每平方米需要資金50元，那么美化這塊空地共需資金多少元？

【答案】美化這塊空地共需資金為元
【詳解】解：花臺(tái)面積為：平方米，種草面積為平方米，
∴美化這塊空地共需資金為元．
10．用鐵皮制作圓錐形容器蓋，其尺寸要求如圖所示 ．

(1)求圓錐的高；
(2)求所需鐵皮的面積（結(jié)果保留）．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：如圖，設(shè)為圓錐的高，為圓錐的母線，為底面圓的半徑，

∴，，，
∴有中，
∴圓錐的高為．
（2）圓錐的底面周長(zhǎng)為：，
∵圓錐的底面周長(zhǎng)是側(cè)面展開得到的扇形的弧長(zhǎng)，
∴扇形的弧長(zhǎng)為，
∴扇形的面積為，
∴所需鐵皮的面積為．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是20πcm，面積是240πcm2，則這個(gè)扇形的圓心角是（????）
A．120° B．150° C．60° D．100°
【答案】B
【詳解】解：設(shè)這個(gè)扇形的半徑為r，圓心角是n，面積為S，弧長(zhǎng)為l，
由題意得：，即240π＝×20πr，
解得：r＝24，
又由可得：，
解得：，
故選：B．
2．如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長(zhǎng)為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：連接OA、OB，作OC⊥AB于C，

由題意得，OC=OA，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴劣的長(zhǎng)==2π，
故選：C．
3．如圖，從一張腰長(zhǎng)為90cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個(gè)最大的扇形OCD，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（不計(jì)損耗），則該圓錐的底面圓的半徑為（　?。ヽm．

A．15 B．30 C．45 D．30π
【答案】A
【詳解】如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，
∵△OAB為頂角為120°的等腰三角形，
∴=30°，cm，
∴cm，
設(shè)圓錐的底面圓半徑為rcm，根據(jù)題意得，
，
解得，
所以該圓錐的底面圓的半徑為15cm，
故選A．

4．如圖，邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如圖，連接, ，

邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)接于，即，
，，為的直徑，，
，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，
，
四邊形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
，


．
故選C．
5．如圖，在Rt△ABC中，，，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．在此旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為(???)

A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
【答案】A
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴所掃過的面積為．
故選：A．
6．蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個(gè)蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE=2m，圓錐的高AC=1.5m，圓柱的高CD=2.5m，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．圓柱的底面積為4πm2 B．圓柱的側(cè)面積為10πm2
C．圓錐的母線AB長(zhǎng)為2.25m D．圓錐的側(cè)面積為5πm2
【答案】C
【詳解】解：根據(jù)題意，
∵底面圓半徑DE=2m，
∴圓柱的底面積為：；故A正確；
圓柱的側(cè)面積為：；故B正確；
圓錐的母線為：；故C錯(cuò)誤；
圓錐的側(cè)面積為：；故D正確；
故選：C
7．扇形的圓心角是120°，面積是3π cm2，則扇形的弧長(zhǎng)是___________cm，將此扇形卷成一個(gè)圓錐，則底面圓的半徑為_________cm．
【答案】???? 2π???? 1
【詳解】解：設(shè)扇形的半徑是rcm，則，解得：r=3cm，
設(shè)扇形的弧長(zhǎng)是l，則，解得：l=2π（cm），
將此扇形卷成一個(gè)圓錐，設(shè)底面圓的半徑為Rcm，則2πR=2π，解得R=1，
故答案為2π，1．
8．如圖，，，兩兩不相交，且半徑都等于，則圖中三個(gè)扇形（即陰影部分）的面積之和為______．（結(jié)果保留）

【答案】
【詳解】解：三個(gè)扇形的半徑都是，
而三個(gè)圓心角的和是，
圖中的三個(gè)扇形即三個(gè)陰影部分的面積之和為．
故答案為：．
9．將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點(diǎn)A，B，C．

(1)畫出該輪的圓心；
(2)若是等腰三角形，底邊cm，腰AB＝10cm，求弧BC的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)cm
【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)O即為圓心；

（2）連接AO，OB，OC，BC，BC交OA于D．
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC=10cm，
∵BC=cm，
∴BD=cm，
∴AD==5cm，
設(shè)圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，OD=（R-5）cm，
∴，
解得：R=10，
∴△OAB和△OAC為等邊三角形，
∴∠BOC為120°，
∴弧BC的長(zhǎng)為：=cm．

10．如圖，點(diǎn)都在上，過點(diǎn)C作AC//BD交延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，連接，且．

(1)求證：是的切線．
(2)求的半徑長(zhǎng)．
(3)求由弦與弧所圍成的陰影部分的面積（結(jié)果保留）．
【答案】(1)證明見解析
(2)⊙O的半徑長(zhǎng)為6cm
(3)陰影部分的面積為6πcm2
【詳解】（1）證明：∵∠CDB＝∠OBD＝30°，∴∠BOC＝60°∵AC∥BD，∴∠A＝∠OBD＝30°∴∠ACO＝90°∴AC為⊙O切線．
（2）解：設(shè)OC 、BD相交于點(diǎn)E∵∠ACO＝90°，AC//BD，∴∠BEO＝∠ACO＝90°在Rt△BEO中，∠OBD＝30°∴OE=3∴OB＝6即⊙O的半徑長(zhǎng)為6cm．
（3）解：∵∠CDB＝∠OBD＝30°，又∵∠CED＝∠BEO，BE＝ED，∴△CDE≌△OBE（ASA）答：陰影部分的面積為6πcm2．


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