?第24課 正多邊形和圓

課程標(biāo)準(zhǔn)
（1）了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；
（2）理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正多邊形；
（3）會(huì)進(jìn)行正多邊形的有關(guān)計(jì)算.

知識點(diǎn)01 正多邊形的概念
1．概念
相等， 也相等的多邊形是正多邊形．
2．判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件
(1) 相等；
(2) 相等；缺一不可.
如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).
知識點(diǎn)02 正多邊形的重要元素
1．正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形
正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．
2．正多邊形的有關(guān)概念
(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的 ．
(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的 ．
(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的 ．
(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的 ．
3．正多邊形的有關(guān)計(jì)算
(1)正ｎ邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是 ；
(2)正ｎ邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是 ；
(3)正ｎ邊形每個(gè)外角的度數(shù)是 .
【注意】
要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.
知識點(diǎn)03 正多邊形的性質(zhì)
1.正多邊形都 外接圓，圓有 個(gè)內(nèi)接正多邊形.
2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成 個(gè)全等的直角三角形.
3.正多邊形都是 圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；
當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是 圖形，它的 就是對稱中心.

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．
5.任何正多邊形都有 外接圓和 內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是
【注意】
(1)各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；
(2)各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.
知識點(diǎn)04 正多邊形的畫法
1．用量角器等分圓
由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以 ；根據(jù)同圓中相等弧所對的 相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形.
2．用尺規(guī)等分圓
對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.
①正四、八邊形.

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形. 再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交AB于E) 就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.
②正六、三、十二邊形的作法.

通過簡單計(jì)算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn).
顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn).
同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O 12等分…….
【注意】
畫正n邊形的方法：(1)將一個(gè)圓 ，(2)順次連結(jié)各等分點(diǎn).


考法01 求正多邊形的中心角
【典例1】在下列正多邊形中，其內(nèi)角是中心角2倍的是（????）
A．正四邊形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正七邊形
【即學(xué)即練】若一個(gè)正多邊形的中心角為40°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（????）
A．9 B．8 C．7 D．6
【典例2】如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)M在上，則的度數(shù)為（????）

A． B． C． D．
【即學(xué)即練】如圖，點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，⊙O是正五邊形的外接圓，∠ADE的度數(shù)為（????）

A．30° B．32° C．36° D．40°
考法02 已知正多邊形的中心角求邊數(shù)
【典例3】如圖，和分別為內(nèi)接正方形，正六邊形和正n邊形的一邊，則n是（????）．

A．六 B．八 C．十 D．十二
【即學(xué)即練】如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（　　）

A．6 B．12 C．24 D．48

【典例4】一個(gè)正多邊形的半徑與邊長相等，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【即學(xué)即練】一個(gè)正多邊形的中心角為，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（????）
A．8 B．12 C．3 D．6
考法03 正多邊形和圓
【典例5】如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，BD，EC交于點(diǎn)G，已知半徑為3，則EG的長為（??）

A． B．3 C． D．6
【即學(xué)即練】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，則邊心距OM的長為________．

A． B． C． D．
【典例6】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接BE，若，，則正方形ABCD的邊長為（????）

A．7 B． C． D．
【即學(xué)即練】如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的周長等于，則正六邊形的邊長為（????）

A． B． C．3 D．



題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．有一個(gè)正n邊形的中心角是36°，則n為（????）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．下列說法正確的是（????）
A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．任何三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓
C．相等的圓心角所對的弧相等 D．正多邊形一定是中心對稱圖形
3．圓內(nèi)接正六邊形的邊長為 3，則該圓的直徑長為（????）
A．3 B．3 C．3 D．6
4．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)為上一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)不重合），連接，，，垂足為，則等于（ ）

A．72° B．54° C．36° D．64°
5．圓內(nèi)接四邊形中，四個(gè)角的度數(shù)比可順次為（????）
A． B． C． D．
6．如圖，在中，四邊形測得，連接，若的半徑為4，則的長為（????）

A．2 B． C．4 D．
7．一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形的一條邊所對的圓心角是，則該正多邊形邊數(shù)是__________．
8．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，連接DF．若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正多邊形的一邊，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為 _____．

9．如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半徑．

10．如圖，為正五邊形的外接圓，已知，請用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡．

(1)在圖1中的邊上求作點(diǎn)，使；
(2)在圖2中的邊上求作點(diǎn)，使．
題組B 能力提升練
1．如圖所示的圖案，其外輪廓是一個(gè)正五邊形，繞它的中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后能夠與自身重合，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)角可能是（????）

A． B． C． D．
2．半徑為2的圓內(nèi)接正六邊形的邊心距是（????）
A．1 B． C． D．
3．如圖，的外切正六邊形的邊心距的長度為，那么正六邊形的周長為（????）

A．2 B．6 C．12 D．
4．如圖，將正六邊形放在平面直角坐標(biāo)系中，中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（????）

A． B． C． D．
5．如圖，在正六邊形的內(nèi)部以為邊作正方形，連接，則的值為（????）

A． B． C． D．1
6．如圖，點(diǎn)O是邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心，對角線CE，DF相交于點(diǎn)G，則的面積為（????）

A． B． C． D．
7．如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，連接AC，若正六邊形的邊長為2，則點(diǎn)O到AC的距離OG的長為 __．

8．如圖，由六塊相同的含30°角的直角三角尺拼成一個(gè)大的正六邊形，內(nèi)部留下一個(gè)小的正六邊形空隙，如果該直角三角尺的較短直角邊的長是1分米，那么這個(gè)小的正六邊形的面積是 _____平方分米．

9．如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，延長、相交于點(diǎn)，已知．

（1）求證：；
（2）若是四邊形外接圓的直徑，求證：．
10．如圖，是上的三個(gè)點(diǎn)，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），連接，，．
???????
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，求證：；
（3）如圖2，已知的半徑為，，求的長．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖，有一個(gè)直徑為的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個(gè)最大正六邊形紙片，則這個(gè)正六邊形紙片的邊心距是（????）

A．1 B． C．2 D．4
2．把邊長為2+的正方形沿過中心的一條直線折疊，兩旁重疊部分恰為正八邊形的一半，則這個(gè)正八邊形的邊EF的長為（　?。?br />
A．1 B．2 C． D．2
3．如圖，邊長為2的正六邊形放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊在x軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（????）

A． B． C． D．
4．如圖，點(diǎn)是正六邊形的中心，的兩邊，分別與，相交于點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，下列說法錯(cuò)誤的是（????）

A． B．
C． D．與相等
5．如圖所示的正八邊形的邊長為2，則對角線的長為（????）

A． B．4 C． D．6
6．如圖，有一張菱形紙片，分別把沿著兩條平行于的直線進(jìn)行對折，得到一個(gè)六邊形，如果這個(gè)六邊形是正六邊形，則菱形的對角線長的比（????）

A． B． C． D．
7．如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓弧交AC于點(diǎn)F，連接DF．則∠FDC的度數(shù)是 _____．

8．如圖，已知點(diǎn)G是正六邊形對角線上的一點(diǎn)，滿足，聯(lián)結(jié)，如果的面積為1，那么的面積等于_______.

9．如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．

(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點(diǎn)A的三條對角線四等分∠BAF．
(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．
10．正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，E是⊙O上的一點(diǎn)．
（1）如圖①，若點(diǎn)E在上，F(xiàn)是DE上的一點(diǎn)，DF=BE．求證：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DE-BE=AE．請說明理由；
（3）如圖②，若點(diǎn)E在上．連接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的長．



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24.3 正多邊形和圓

版本： 人教版

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