知識精講
知識點01 弧長公式
半徑為R的圓中：
360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：
n°的圓心角所對的圓的弧長公式： (弧是圓的一部分);
【注意】
(1)對于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的 ，即= ；
(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；
(3)弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
知識點02 扇形面積公式
1．扇形的定義
由組成 所圍成的圖形叫做扇形.
2．扇形面積公式
半徑為R的圓中：
360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：
n°的圓心角所對的扇形面積公式：S扇形=
【注意】
(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的 ，即 ；
(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
(3)扇形面積公式S扇形，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；
(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：S扇形= .
知識點03 圓錐的側(cè)面積和全面積
連接圓錐 和 的線段叫做圓錐的母線.
圓錐的母線長為l，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則
圓錐的側(cè)面積 ，
圓錐的全面積：S全=S側(cè)+S底= .
【注意】
扇形的半徑就是圓錐的 ，扇形的弧長就是圓錐底面圓的 .因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.
能力拓展
考法01 弧長和扇形的有關(guān)計算
【典例1】如圖，點C為的中點，∠ABC＝22.5°，AB，則的長為（ ）
A．B．C．D．
【即學即練】如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長為（ ）
A．πB．πC．πD．π
【典例2】半徑為2的圓中，扇形MON的圓心角為150°，則這個扇形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【即學即練】已知圓錐的母線長是5cm，側(cè)面積是20πcm2，則這個圓錐底面圓的半徑是（ ）
A．1.5cmB．3cmC．4cmD．6cm
考法02 圓錐面積的計算
【典例3】一個圓錐的母線長為6，側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的側(cè)面積是（ ）
A．B．C．D．
【即學即練】已知圓錐的母線長8cm，底面圓的直徑6cm，則這個圓錐的側(cè)面積是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
【典例4】如圖，圓錐的底面圓半徑r為5cm，高h為12cm，則圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
【即學即練】如圖，圓錐的底面半徑OB＝3cm，高OC＝4cm．則這個圓錐的側(cè)面積是( )
A．15cm2B．12πcm2C．15πcm2D．20πcm2
考法03 組合圖形面積的計算
【典例5】如圖，矩形中，，，以為直徑的半圓與相切于點，連接，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【即學即練】如圖，正方形的邊，和都是以1為半徑的圓弧，則無陰影兩部分的面積之差是（ ）
A．B．C．D．
【典例6】正方形的面積是33平方米，則陰影部分面積是（ ）
A．33﹣πB．33﹣πC．πD．33﹣π
【即學即練】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點B經(jīng)過的路徑為，則圖中陰影部分的面積是（ ）（提示：圓心角為n°的扇形的面積為，R為扇形所在的圓的半徑）
A．B．C．D．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．已知一個扇形的圓心角為120°，半徑是6cm，則這個扇形的弧長是（ ）
A．8πB．6πC．4πD．2π
2．一個圓錐側(cè)面展開圖的扇形的弧長為，則這個圓錐底面圓的半徑為（ ）
A．6B．12C．24D．2
3．已知，如圖，⊙O的半徑為6，正六邊形ABCDEF與⊙O相切于點C、F，則的長度是（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
4．如圖，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段OB．若OA＝8，則點A經(jīng)過的路徑長度為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，O，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，若與所在圓的圓心都為點O，那么陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖所示，某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的高米，底面半徑米，則圓錐的側(cè)面積是多少平方米（結(jié)果保留）（ ）
A．B．C．D．
7．已知扇形的半徑為 圓心角為 則此扇形的面積是_____________．
8．如圖，將以線段AB和曲線BCA圍成的圖形ABCA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°至圖形AB′C′A的位置，若AB＝8，則圖中陰影部分的面積為______．
9．如圖是一段彎形管道，其中，，中心線的兩條圓弧半徑都為．求圖中管道的展直長度．
10．下列每個正方形的邊長為2，求下圖中陰影部分的面積．
題組B 能力提升練
1．75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，則此弧所在圓的半徑是（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的全面積為( )
A．16πB．20πC．36πD．40π
3．一塊等邊三角形的木板，邊長為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾（如圖），那么B點從開始至結(jié)束所走過的路徑長度為（ ）
A．B．C．4D．
4．如圖，六邊形ABCDEF是半徑為2的圓的內(nèi)接正六邊形，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以點C為圓心，CA的長為半徑畫弧，交AB于點D，則弧AD的長為（ ）
A．B．C．D．2
6．一個垃圾填埋場，它在地面上的形狀為長，寬的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了，則該垃圾填埋場外圍受污染土地的面積為（ ）
A．B．C．D．
7．若一個扇形的半徑是9cm，且它的弧長是6πcm，則此扇形的圓心角等于 _____．
8．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐母線l=6，扇形的圓心角，則該圓錐的底面圓的半徑r長為______．
9．如圖是某居民小區(qū)的一塊長為2a米，寬為b米的長方形空地，為了美化環(huán)境，準備在這個長方形的四個頂點處修建一個半徑為a米的扇形花臺，然后在花臺內(nèi)種花，其余種草．如果建造花臺及種花費用每平方米需要資金100元，種草每平方米需要資金50元，那么美化這塊空地共需資金多少元？
10．用鐵皮制作圓錐形容器蓋，其尺寸要求如圖所示 ．
(1)求圓錐的高；
(2)求所需鐵皮的面積（結(jié)果保留）．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．一個扇形的弧長是20πcm，面積是240πcm2，則這個扇形的圓心角是（ ）
A．120°B．150°C．60°D．100°
2．如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長為（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，從一張腰長為90cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個最大的扇形OCD，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐的側(cè)面（不計損耗），則該圓錐的底面圓的半徑為（ ）cm．
A．15B．30C．45D．30π
4．如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，在Rt△ABC中，，，，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到．在此旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
6．蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE=2m，圓錐的高AC=1.5m，圓柱的高CD=2.5m，則下列說法錯誤的是（ ）
A．圓柱的底面積為4πm2B．圓柱的側(cè)面積為10πm2
C．圓錐的母線AB長為2.25mD．圓錐的側(cè)面積為5πm2
7．扇形的圓心角是120°，面積是3π cm2，則扇形的弧長是___________cm，將此扇形卷成一個圓錐，則底面圓的半徑為_________cm．
8．如圖，，，兩兩不相交，且半徑都等于，則圖中三個扇形（即陰影部分）的面積之和為______．（結(jié)果保留）
9．將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點A，B，C．
(1)畫出該輪的圓心；
(2)若是等腰三角形，底邊cm，腰AB＝10cm，求弧BC的長．
10．如圖，點都在上，過點C作AC//BD交延長線于點A，連接，且．
(1)求證：是的切線．
(2)求的半徑長．
(3)求由弦與弧所圍成的陰影部分的面積（結(jié)果保留）．
課程標準
(1)通過復(fù)習圓的周長、圓的面積公式，探索n°的圓心角所對的弧長和扇形面積S扇形的計算公式，并應(yīng)用這些公式解決問題；
(2)了解圓錐母線的概念，理解圓錐側(cè)面積計算公式，理解圓錐全面積的計算方法，會應(yīng)用公式解決問題；
(3)能準確計算組合圖形的面積.
第25課 弧長和扇形面積、圓錐的側(cè)面展開圖
目標導航
知識精講
知識點01 弧長公式
半徑為R的圓中：
360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：
n°的圓心角所對的圓的弧長公式： (弧是圓的一部分);
【注意】
(1)對于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即=；
(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；
(3)弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
知識點02 扇形面積公式
1．扇形的定義
由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.
2．扇形面積公式
半徑為R的圓中：
360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：
n°的圓心角所對的扇形面積公式：S扇形=
【注意】
(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的 ，即 ；
(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
(3)扇形面積公式S扇形=，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；
(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：S扇形.
知識點03 圓錐的側(cè)面積和全面積
連接圓錐頂點和底面圓上任意一點的線段叫做圓錐的母線.
圓錐的母線長為l，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則
圓錐的側(cè)面積，
圓錐的全面積：S全=S側(cè)+S底.
【注意】
扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長.因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.
能力拓展
考法01 弧長和扇形的有關(guān)計算
【典例1】如圖，點C為的中點，∠ABC＝22.5°，AB，則的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】設(shè)所在圓的圓心為點O，連接CO，交AB于點D，連接AO，如圖，
∵C點為的中點，
∴CO⊥AB，AD=BD=AB，
∵AB=，
∴AD=BD=AB=，
∵∠ABC=22.5°，
∴∠AOC=2∠ABC=45°，
∵CO⊥AB，
∴∠ADO=90°，
∴∠DAO=90°-∠AOC=45°，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴AD=DO=，
∴，
∴，
故選：D．
【即學即練】如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長為（ ）
A．πB．πC．πD．π
【答案】B
【詳解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴的長為：π．
故選：B．
【典例2】半徑為2的圓中，扇形MON的圓心角為150°，則這個扇形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：．
故選：D．
【即學即練】已知圓錐的母線長是5cm，側(cè)面積是20πcm2，則這個圓錐底面圓的半徑是（ ）
A．1.5cmB．3cmC．4cmD．6cm
【答案】C
【詳解】解：∵圓錐的母線長是5cm，側(cè)面積是20πcm2，
∴圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長為：，
∵圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長，
∴
故選：C．
考法02 圓錐面積的計算
【典例3】一個圓錐的母線長為6，側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的側(cè)面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：圓錐的側(cè)面積=半圓的面積=，
故選C．
【即學即練】已知圓錐的母線長8cm，底面圓的直徑6cm，則這個圓錐的側(cè)面積是（ ）
A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
【答案】D
【詳解】解：底面直徑為6cm，則底面周長=6π，
側(cè)面面積=×6π×8=24πcm2．
故選D．
【典例4】如圖，圓錐的底面圓半徑r為5cm，高h為12cm，則圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
【答案】A
【詳解】解：由圓錐底面半徑r=5cm，高h=12cm，
根據(jù)勾股定理得到母線長l==13（cm），
根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：πrl=π×5×13=65π（cm2），
故選：A．
【即學即練】如圖，圓錐的底面半徑OB＝3cm，高OC＝4cm．則這個圓錐的側(cè)面積是( )
A．15cm2B．12πcm2C．15πcm2D．20πcm2
【答案】C
【詳解】解∶根據(jù)題意得：，
∴這個圓錐的側(cè)面積是．
故選：C
考法03 組合圖形面積的計算
【典例5】如圖，矩形中，，，以為直徑的半圓與相切于點，連接，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：連接交于點，如圖，
以為直徑的半圓與相切于點，
，
，
四邊形為矩形，
，
四邊形和四邊形為矩形，
，，
在和中，
，
，
，
陰影部分的面積．
故選：A．
【即學即練】如圖，正方形的邊，和都是以1為半徑的圓弧，則無陰影兩部分的面積之差是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：如圖：
正方形的面積；①
兩個扇形的面積；②
②①，得：．
故選：A．
【典例6】正方形的面積是33平方米，則陰影部分面積是（ ）
A．33﹣πB．33﹣πC．πD．33﹣π
【答案】A
【詳解】解：∵正方形的面積是33平方米，
∴正方形的邊長為米，
∴陰影部分面積為33﹣＝33﹣（平方米）．
故選：A．
【即學即練】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點B經(jīng)過的路徑為，則圖中陰影部分的面積是（ ）（提示：圓心角為n°的扇形的面積為，R為扇形所在的圓的半徑）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴AB=，
∴S扇形ABD=．
又∵Rt△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S陰影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD=．
故選：A．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．已知一個扇形的圓心角為120°，半徑是6cm，則這個扇形的弧長是（ ）
A．8πB．6πC．4πD．2π
【答案】C
【詳解】解：根據(jù)弧長的公式l＝，
得到：l＝＝4π，
故選：C．
2．一個圓錐側(cè)面展開圖的扇形的弧長為，則這個圓錐底面圓的半徑為（ ）
A．6B．12C．24D．2
【答案】A
【詳解】解：設(shè)底面圓半徑為r，
則，
解得r＝6．
故選：A．
3．已知，如圖，⊙O的半徑為6，正六邊形ABCDEF與⊙O相切于點C、F，則的長度是（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
【答案】C
【詳解】解：連接OC、OF，
∵⊙O與正六邊形ABCDEF相切于點C，F(xiàn)，
∴∠OFE=∠OCD=，
∵∠E=∠D=，
∴∠COF=，
∴的長=，
故選：C．
4．如圖，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段OB．若OA＝8，則點A經(jīng)過的路徑長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
∴點A經(jīng)過的路徑長度為．
故選：C
5．如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，O，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，若與所在圓的圓心都為點O，那么陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：由勾股定理得，OC＝OD＝＝2，
則OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∵四邊形OACB是正方形，
∴∠COB＝45°，
∴，，，
陰影部分的面積為
故選：C．
6．如圖所示，某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的高米，底面半徑米，則圓錐的側(cè)面積是多少平方米（結(jié)果保留）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：∵AO=8米，OB=6米，
∴AB=10米，
∵圓錐的底面周長=2×π×6=12π米，
∴S扇形=lr=×12π×10=60π（米2）．
故選：A．
7．已知扇形的半徑為 圓心角為 則此扇形的面積是_____________．
【答案】
【詳解】∵扇形的圓心角為100°，其半徑為，
∴．
故答案為．
8．如圖，將以線段AB和曲線BCA圍成的圖形ABCA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°至圖形AB′C′A的位置，若AB＝8，則圖中陰影部分的面積為______．
【答案】8π
【詳解】解：=．
故答案為：．
9．如圖是一段彎形管道，其中，，中心線的兩條圓弧半徑都為．求圖中管道的展直長度．
【答案】圖中管道的展直長度約為6142mm．
【詳解】解：3000＋≈6142（mm）.
答：圖中管道的展直長度約為6142mm.
10．下列每個正方形的邊長為2，求下圖中陰影部分的面積．
【答案】2.28
【詳解】πr2÷2-2×2÷2×2
=3.14×2×2÷2-4
=2.28．
題組B 能力提升練
1．75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，則此弧所在圓的半徑是（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【答案】A
【詳解】解：∵75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，
由弧長公式l，
∴2.5π，
解得：r＝6，
故選：A．
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的全面積為( )
A．16πB．20πC．36πD．40π
【答案】C
【詳解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵把Rt△ABC繞邊AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，
∴所得的幾何體的全面積為：底面半徑為4，母線長為5的圓錐側(cè)面和半徑為4的圓的面積之和，
故π×4×5+π×42＝36π．
故選：C
3．一塊等邊三角形的木板，邊長為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾（如圖），那么B點從開始至結(jié)束所走過的路徑長度為（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【詳解】解：由題意可知點從開始至結(jié)束所走過的路徑為兩個圓心角為120°，半徑為1的扇形弧長，
所以點從開始至結(jié)束所走過的路徑長度為：．
故選B．
4．如圖，六邊形ABCDEF是半徑為2的圓的內(nèi)接正六邊形，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：設(shè)圓心為O，連接OA，OB，
∵六邊形ABCDEF是半徑為2的圓的內(nèi)接正六邊形，
∴∠AOB＝60°，∠ABC＝120°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴S△AOB＝ ×22＝，
∴陰影部分的面積為S正六邊形ABCDEF﹣S扇形AOC﹣S扇形DOF
＝6﹣
＝．
故選A．
5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以點C為圓心，CA的長為半徑畫弧，交AB于點D，則弧AD的長為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【詳解】解：連接CD，如圖所示：
∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4，
由題意得：AC=CD，
∴△ACD為等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
∴的長為：＝，
故選：B．
6．一個垃圾填埋場，它在地面上的形狀為長，寬的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了，則該垃圾填埋場外圍受污染土地的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：根據(jù)題意可知受污染土地由兩類長分別為，，寬分別為的矩形，及四個能組成一個以半徑為的圓組成，
面積為：，
故選：B．
7．若一個扇形的半徑是9cm，且它的弧長是6πcm，則此扇形的圓心角等于 _____．
【答案】120°##120度
【詳解】解：根據(jù)弧長公式l＝＝＝6π，
解得：n＝120，
故答案為：120°．
8．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐母線l=6，扇形的圓心角，則該圓錐的底面圓的半徑r長為______．
【答案】2
【詳解】∵母線l長為6，扇形的圓心角，
∴圓錐的底面圓周長，
∴圓錐的底面圓半徑．
故答案為：2．
9．如圖是某居民小區(qū)的一塊長為2a米，寬為b米的長方形空地，為了美化環(huán)境，準備在這個長方形的四個頂點處修建一個半徑為a米的扇形花臺，然后在花臺內(nèi)種花，其余種草．如果建造花臺及種花費用每平方米需要資金100元，種草每平方米需要資金50元，那么美化這塊空地共需資金多少元？
【答案】美化這塊空地共需資金為元
【詳解】解：花臺面積為：平方米，種草面積為平方米，
∴美化這塊空地共需資金為元．
10．用鐵皮制作圓錐形容器蓋，其尺寸要求如圖所示 ．
(1)求圓錐的高；
(2)求所需鐵皮的面積（結(jié)果保留）．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：如圖，設(shè)為圓錐的高，為圓錐的母線，為底面圓的半徑，
∴，，，
∴有中，
∴圓錐的高為．
（2）圓錐的底面周長為：，
∵圓錐的底面周長是側(cè)面展開得到的扇形的弧長，
∴扇形的弧長為，
∴扇形的面積為，
∴所需鐵皮的面積為．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．一個扇形的弧長是20πcm，面積是240πcm2，則這個扇形的圓心角是（ ）
A．120°B．150°C．60°D．100°
【答案】B
【詳解】解：設(shè)這個扇形的半徑為r，圓心角是n，面積為S，弧長為l，
由題意得：，即240π＝×20πr，
解得：r＝24，
又由可得：，
解得：，
故選：B．
2．如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：連接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由題意得，OC=OA，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴劣的長==2π，
故選：C．
3．如圖，從一張腰長為90cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個最大的扇形OCD，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐的側(cè)面（不計損耗），則該圓錐的底面圓的半徑為（ ）cm．
A．15B．30C．45D．30π
【答案】A
【詳解】如圖，過點O作OE⊥AB，垂足為E，
∵△OAB為頂角為120°的等腰三角形，
∴=30°，cm，
∴cm，
設(shè)圓錐的底面圓半徑為rcm，根據(jù)題意得，
，
解得，
所以該圓錐的底面圓的半徑為15cm，
故選A．
4．如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】如圖，連接, ，
邊長為的正方形內(nèi)接于，即，
，，為的直徑，，
，分別與相切于點和點，
，
四邊形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
，
．
故選C．
5．如圖，在Rt△ABC中，，，，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到．在此旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
【答案】A
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴所掃過的面積為．
故選：A．
6．蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE=2m，圓錐的高AC=1.5m，圓柱的高CD=2.5m，則下列說法錯誤的是（ ）
A．圓柱的底面積為4πm2B．圓柱的側(cè)面積為10πm2
C．圓錐的母線AB長為2.25mD．圓錐的側(cè)面積為5πm2
【答案】C
【詳解】解：根據(jù)題意，
∵底面圓半徑DE=2m，
∴圓柱的底面積為：；故A正確；
圓柱的側(cè)面積為：；故B正確；
圓錐的母線為：；故C錯誤；
圓錐的側(cè)面積為：；故D正確；
故選：C
7．扇形的圓心角是120°，面積是3π cm2，則扇形的弧長是___________cm，將此扇形卷成一個圓錐，則底面圓的半徑為_________cm．
【答案】 2π 1
【詳解】解：設(shè)扇形的半徑是rcm，則，解得：r=3cm，
設(shè)扇形的弧長是l，則，解得：l=2π（cm），
將此扇形卷成一個圓錐，設(shè)底面圓的半徑為Rcm，則2πR=2π，解得R=1，
故答案為2π，1．
8．如圖，，，兩兩不相交，且半徑都等于，則圖中三個扇形（即陰影部分）的面積之和為______．（結(jié)果保留）
【答案】
【詳解】解：三個扇形的半徑都是，
而三個圓心角的和是，
圖中的三個扇形即三個陰影部分的面積之和為．
故答案為：．
9．將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點A，B，C．
(1)畫出該輪的圓心；
(2)若是等腰三角形，底邊cm，腰AB＝10cm，求弧BC的長．
【答案】(1)見解析
(2)cm
【詳解】（1）解：如圖，點O即為圓心；
（2）連接AO，OB，OC，BC，BC交OA于D．
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC=10cm，
∵BC=cm，
∴BD=cm，
∴AD==5cm，
設(shè)圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，OD=（R-5）cm，
∴，
解得：R=10，
∴△OAB和△OAC為等邊三角形，
∴∠BOC為120°，
∴弧BC的長為：=cm．
10．如圖，點都在上，過點C作AC//BD交延長線于點A，連接，且．
(1)求證：是的切線．
(2)求的半徑長．
(3)求由弦與弧所圍成的陰影部分的面積（結(jié)果保留）．
【答案】(1)證明見解析
(2)⊙O的半徑長為6cm
(3)陰影部分的面積為6πcm2
【詳解】（1）證明：∵∠CDB＝∠OBD＝30°，∴∠BOC＝60°∵AC∥BD，∴∠A＝∠OBD＝30°∴∠ACO＝90°∴AC為⊙O切線．
（2）解：設(shè)OC 、BD相交于點E∵∠ACO＝90°，AC//BD，∴∠BEO＝∠ACO＝90°在Rt△BEO中，∠OBD＝30°∴OE=3∴OB＝6即⊙O的半徑長為6cm．
（3）解：∵∠CDB＝∠OBD＝30°，又∵∠CED＝∠BEO，BE＝ED，∴△CDE≌△OBE（ASA）答：陰影部分的面積為6πcm2．
課程標準
(1)通過復(fù)習圓的周長、圓的面積公式，探索n°的圓心角所對的弧長和扇形面積S扇形的計算公式，并應(yīng)用這些公式解決問題；
(2)了解圓錐母線的概念，理解圓錐側(cè)面積計算公式，理解圓錐全面積的計算方法，會應(yīng)用公式解決問題；
(3)能準確計算組合圖形的面積.

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