高中同步學案優(yōu)化設計GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI第八章2022內(nèi)容索引知識網(wǎng)絡系統(tǒng)構(gòu)建題型突破深化提升知識網(wǎng)絡系統(tǒng)構(gòu)建空間平行、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化 題型突破深化提升例1根據(jù)下列對幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述,說出幾何體的名稱.(1)由六個面圍成,其中一個面是凸五邊形,其余各面是有公共頂點的三角形;(2)一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180°形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體;(3)一個直角梯形繞較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體.解 (1)如圖①,因為該幾何體的五個面是有公共頂點的三角形,所以是棱錐,又其底面是凸五邊形,所以是五棱錐.(2)如圖②,等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯形,每個直角梯形旋轉(zhuǎn)180°形成半個圓臺,故該幾何體為圓臺.(3)如圖③,過直角梯形ABCD的頂點A作AO⊥CD于點O,將直角梯形分為一個直角三角形AOD和一個矩形AOCB,繞CD旋轉(zhuǎn)一周形成一個組合體,該組合體由一個圓錐和一個圓柱組成.名師點析與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的解題技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵,熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素,然后再依據(jù)題意判定.(2)通過舉反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析,要說明一個命題是錯誤的,只要舉出一個反例即可.變式訓練1給出下列四種說法:①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線;②底面為正多邊形,且相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱;③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體都是圓錐;④棱臺的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等.其中正確的個數(shù)是(　　)A.0 B.1 C.2 D.3答案 B解析 ①上、下底面的圓周上兩點的連線要與軸平行才是母線;③直角三角形繞著直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周才能形成圓錐;④棱臺的上、下底面相似,側(cè)棱長不一定相等.故只有②正確.例2如圖所示,在邊長為4的正三角形ABC中,E,F依次是AB,AC的中點,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D,H,G為垂足.若將△ABC中的四邊形EFGH摳掉后,剩余部分繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)180°,求形成的幾何體的表面積與體積.解 所得幾何體是由一個圓錐挖去一個圓柱后形成的,∵S錐表=π·DC2+π·DC·AC=4π+8π=12π, 名師點析(1)空間幾何體表面積的求法①多面體的表面積是各個面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理.②旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應用.(2)空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略①若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體,則可直接利用公式進行求解.②若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進行求解.特別地,求三棱錐體積時經(jīng)常要轉(zhuǎn)換頂點和底面,從而達到方便求高的目的.變式訓練2如圖所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1,且AA1⊥底面ABC,則三棱錐B1-ABC1的體積為(　　)答案 A 例3如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分別是棱BC,CC1上的點(點D不同于點C),且AD⊥DE,F為B1C1的中點.求證:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直線A1F∥平面ADE.(1)證明 因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD.又因為AD⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1,CC1∩DE=E,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)證明 因為A1B1=A1C1,F為B1C1的中點,所以A1F⊥B1C1.因為CC1⊥平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.又因為CC1,B1C1?平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.又AD?平面ADE,A1F?平面ADE,所以A1F∥平面ADE.名師點析(1)空間中的平行關(guān)系有三種:線線平行、線面平行、面面平行.①證明線線平行的常用方法有7種:a.利用兩直線平行的定義;b.利用平行線的傳遞性;c.利用三角形中位線定理;d.利用平行四邊形對邊平行;e.利用線面平行的性質(zhì)定理;f.利用線面垂直的性質(zhì)定理;g.利用面面平行的性質(zhì)定理.②證明線面平行的常用方法有3種:a.利用線面平行的定義;b.利用線面平行的判定定理;c.利用面面平行的性質(zhì).③證明面面平行的常用方法有3種:a.利用面面平行的定義;b.利用面面平行的判定定理;c.利用面面平行的結(jié)論:垂直于同一直線的兩個平面平行.(2)空間中的垂直關(guān)系有三種:線線垂直、線面垂直、面面垂直.①證明線線垂直的常用方法有4種:a.利用兩直線垂直的定義;b.利用線面垂直的定義;c.利用勾股定理;d.利用等腰三角形三線合一.②證明線面垂直的常用方法有3種:a.利用線面垂直的定義;b.利用線面垂直的判定定理;c.利用面面垂直的性質(zhì).③證明面面垂直的常用方法有2種:a.面面垂直的定義;b.利用面面垂直的判定定理.變式訓練3如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直圓O所在的平面,C是圓O上的點.(1)求證:BC⊥平面PAC;(2)設Q為PA的中點,G為△AOC的重心,求證:QG∥平面PBC.證明 (1)由AB是圓O的直徑,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,所以BC⊥平面PAC.(2)如圖,連接OG并延長交AC于點M,連接QM,QO,由G為△AOC的重心,得M為AC的中點.由Q為PA的中點,得QM∥PC,又O為AB的中點,得OM∥BC.因為QM∩MO=M,QM?平面QMO,MO?平面QMO,BC∩PC=C,BC?平面PBC,PC?平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.因為QG?平面QMO,所以QG∥平面PBC.例4如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,BA=BD= ,AD=2,PA=PD= ,E,F分別是棱AD,PC的中點.(1)求證:EF∥平面PAB;(2)若二面角P-AD-B的平面角為60°.①求證:平面PBC⊥平面ABCD;②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.(1)證明 如圖所示,取PB的中點M,連接MF,AM.因為F為PC的中點,所以MF∥BC,且MF= BC.由已知有BC∥AD,且BC=AD,又由于E為AD的中點,因而MF∥AE,且MF=AE,故四邊形AMFE為平行四邊形,所以EF∥AM.又AM?平面PAB,而EF?平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)①證明 連接PE,BE.因為PA=PD,BA=BD,且E為AD的中點,所以PE⊥AD,BE⊥AD,所以∠PEB為二面角P-AD-B的平面角.在△PAD中,由PA=PD= ,AD=2,可解得PE=2.在△ABD中,由BA=BD= ,AD=2,可解得BE=1.在△PEB中,PE=2,BE=1,∠PEB=60°,故可得∠PBE=90°,即BE⊥PB.又BC∥AD,BE⊥AD,從而BE⊥BC,又BC∩PB=B,BC,PB?平面PBC,因此BE⊥平面PBC.又BE?平面ABCD,所以平面PBC⊥平面ABCD.名師點析(1)求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角).(2)求直線與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法(即作垂線、找射影).(3)二面角的平面角的作法常有三種:①定義法;②垂線法;③垂面法.變式訓練4如圖,正方體的棱長為1,B'C∩BC'=O.求:(1)AO與A'C'所成角的大小;(2)AO與平面ABCD所成角的正切值;(3)平面AOB與平面AOC所成二面角的大小.解 (1)∵A'C'∥AC,∴AO與A'C'所成的角是∠OAC.∵AB⊥平面BC',OC?平面BC',∴OC⊥AB.又OC⊥BO,AB∩BO=B,∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO,∴OC⊥OA.∴∠OAC=30°.即AO與A'C'所成角為30°.(2)如圖,過點O作OE⊥BC于點E,連接AE.∵平面BC'⊥平面ABCD,∴OE⊥平面ABCD,∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角.(3)由(1)知OC⊥平面AOB.又OC?平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成的二面角為90°.

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