1.掌握斜二測畫法的步驟.(數(shù)學抽象)2.能借助橢圓模板畫圓的直觀圖.(直觀想象)3.能用斜二測法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖.(邏輯推理、直觀想象)
皮影戲,舊稱“影子戲”或“燈影戲”,是一種用燈光照射獸皮或紙板做成的人物剪影以表演故事的民間戲劇.表演時,藝人們在白色幕布后面,一邊操縱戲曲人物,一邊用當?shù)亓餍械那{唱述故事,同時配以打擊樂器和弦樂,具有濃厚的鄉(xiāng)土氣息.千百年來,這門古老的藝術,伴隨著祖祖輩輩的人們,度過了許多歡樂的時光.那么皮影戲中的這個“影”是什么投影?畫幾何體的直觀圖與皮影戲中形成的“影”原理一樣嗎?
知識點一、水平放置的平面圖形的直觀圖畫法用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
微練習(1)已知在平面直角坐標系中,一個平面圖形上的一條線段AB的實際長度為4 cm,若AB∥x軸,則畫出直觀圖后對應線段A'B'=　　　　　cm,若AB∥y軸,則畫出直觀圖后對應線段A'B'=　　　　　 cm.?答案 4　2
(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.①相等的角,在直觀圖中仍相等.(　　)②長度相等的線段,在直觀圖中長度仍相等.(　　)③若兩條線段平行,則在直觀圖中對應的線段仍平行.(　　)④若兩條線段垂直,則在直觀圖中對應的線段也互相垂直.(　　)
知識點二、空間幾何體的直觀圖畫法畫幾何體的直觀圖時,與畫平面圖形的直觀圖相比,只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸,并且使平行于z軸的線段的平行性和長度都不變.
名師點析畫空間幾何體的直觀圖的四個步驟(1)畫軸.通常以高所在直線為z軸建系.(2)畫底面.根據平面圖形的直觀圖畫法確定底面.(3)畫側棱.利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關側棱.(4)連線成圖.畫圖完成后,擦除輔助線,看得見的地方用實線,被遮擋的部分用虛線(或不畫),就得到了幾何體的直觀圖.
微練習用斜二測畫法畫長、寬、高分別為2 cm、 cm、1 cm的長方體ABCD-A'B'C'D'的直觀圖.
畫法(1)畫軸.如圖,畫x軸、y軸、z軸,三軸相交于點O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)畫底面.以點O為中點,在x軸上取線段MN,使MN=2 cm;在y軸上取線段PQ,使PQ= cm.分別過點M和N作y軸的平行線,過點P和Q作x軸的平行線,設它們的交點分別為A,B,C,D,四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.(3)畫側棱.過A,B,C,D各點分別作z軸的平行線,并在這些平行線上分別截取1 cm長的線段AA',BB',CC',DD'.(4)成圖.順次連接A',B',C',D',并加以整理(去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線),就得到長方體的直觀圖.
例1如圖,畫出水平放置的等腰梯形的直觀圖.
分析建系→定點→連線成圖
畫法(1)如圖①,取AB所在直線為x軸,AB中點O為原點,建立平面直角坐標系,畫對應的坐標系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.
(2)在圖②中,以點O'為中點在x'軸上取A'B'=AB,在y'軸上取O'E'= OE,以E'為中點畫C'D'∥x'軸,并使C'D'=CD.
(3)連接B'C',D'A',并擦去輔助線x'軸和y'軸,所得的四邊形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖(如圖③).
反思感悟 畫水平放置的平面圖形的直觀圖的技巧(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時,選取適當?shù)淖鴺讼凳顷P鍵,一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上,以便于畫點.(2)畫水平放置的平面圖形的直觀圖,首先畫與坐標軸平行的線段(平行關系不變),與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點,然后連接成線段.
延伸探究把本例圖形換成右圖,試畫出該圖的直觀圖.
畫法(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底邊AB所在直線為x軸,垂直于AB的腰AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系.如圖①.(2)畫相應的x'軸和y'軸,使∠x'O'y'=45°,在x'軸上取O'B'=AB,在y'軸上取O'D'= AD,過D'作x'軸的平行線l,在l上沿x'軸正方向取點C'使得D'C'=DC.如圖②.(3)連接B'C',所得四邊形O'B'C'D'就是直角梯形ABCD的直觀圖.如圖③.
例2用斜二測畫法畫出六棱錐P-ABCDEF的直觀圖,其中底面ABCDEF為正六邊形,點P在底面的投影是正六邊形的中心O(尺寸自定).分析畫軸→畫底面→畫頂點→成圖
畫法(1)畫出六棱錐P-ABCDEF的底面.如圖①所示,在正六邊形ABCDEF中,取AD所在的直線為x軸,對稱軸MN為y軸,兩軸相交于點O.
(2)畫相應的x'軸、y'軸和z'軸,三軸相交于點O',使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°;在圖②中,以O'為中點,在x'軸上取A'D'=AD,在y'軸上取M'N'= MN;以點N'為中點畫B'C'平行于x'軸,且等于BC;再以點M'為中點畫E'F'平行于x'軸,且等于EF;連接A'B',C'D',D'E',F'A',得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A'B'C'D'E'F'.(3)畫正六棱錐P-ABCDEF的頂點.在z'軸上取點P',使P'O'=PO.(4)成圖.連接P'A',P'B',P'C',P'D',P'E',P'F',并進行整理,便得到六棱錐P-ABCDEF的直觀圖P'-A'B'C'D'E'F',如圖③所示.
反思感悟 利用斜二測畫法畫幾何體的直觀圖應遵循的基本原則(1)畫幾何體的直觀圖在要求不太嚴格的情況下,長度和角度可適當選取.為了增強立體感,被擋住的部分通常用虛線表示.(2)畫法規(guī)則可簡記為:兩軸夾角為45°,豎軸垂直仍不變,平行不變,長度橫豎不變,縱折半.(3)畫空間幾何體的直觀圖,要注意選取適當?shù)淖鴺嗽c,建立坐標系畫出坐標軸.
變式訓練1用斜二測畫法畫出底面為正方形的四棱臺的直觀圖,其中上、下底面邊長分別為2,3,高為2.
畫法(1)畫軸.畫x軸、y軸、z軸,三軸相交于點O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)畫下底面.以O為中心,在x軸上取線段MN,使MN=3,在y軸上取線段PQ,使PQ=1.5.分別過點M和點N作y軸的平行線,過點P和點Q作x軸的平行線,設它們的交點分別為A,B,C,D,則四邊形ABCD即為四棱臺的下底面.(3)畫上底面.在z軸上取一點O',使OO'=2,過點O'畫直線a和直線b,使直線a∥x軸,直線b∥y軸,在平面aO'b內以O'為中心畫水平放置的邊長為2的正方形的直觀圖A'B'C'D'.
(4)連線.被遮擋的線畫成虛線(如圖①),擦去輔助線并整理就得到四棱臺的直觀圖(如圖②).
例3如圖,梯形A1B1C1D1是一水平放置的平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1= C1D1=2,A1D1=O'D1=1.試畫出原四邊形的形狀,并求原圖形的面積.
分析解答本題可先由斜二測畫法的逆步驟來作圖,先確定點,再連線畫出原圖,然后進行計算.
畫法如圖,建立平面直角坐標系xOy,在x軸上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2.在過點D的y軸的平行線上截取DA=2D1A1=2.在過點A的x軸的平行線上截取AB=A1B1=2.連接BC,即得到了原圖形(如圖).由作法可知,原四邊形ABCD是直角梯形,上、下底長度分別為AB=2,CD=3,
反思感悟 直觀圖的還原技巧(1)由直觀圖還原為原圖形是畫直觀圖的逆過程:一是在直觀圖中建立坐標系x'O'y',使∠x'O'y'=45°,對應地建立直角坐標系xOy;二是平行x'軸的線段長度不變,平行y'軸的線段擴大為原來的2倍;三是對于相鄰兩邊不與x',y'軸平行的頂點可通過作x'軸、y'軸的平行線變換確定其在xOy中的位置.還原時,要注意坐標系變化前后變化的量與不變的量,計算時要結合兩個坐標軸確定數(shù)據.
變式訓練2如圖,在直觀圖中,四邊形O'A'B'C'為菱形且邊長為2 cm,則在xOy坐標中原四邊形OABC為　　　　　(填形狀),面積為　　　　　 cm2.?
答案 矩形　8解析 由題意,結合斜二測畫法可知,四邊形OABC為矩形,且OA=2 cm,OC=4 cm,所以四邊形OABC的面積S=2×4=8(cm2).
水平放置的平面圖形的直觀圖畫法典例如圖所示,在平面直角坐標系中,已知O(0,0),A(1,3),B(3,1),C(4,6),D(2,5).試用斜二測畫法畫出水平放置的四邊形ABCD的直觀圖.
畫圖(1)先畫x'軸和y'軸,使∠x'O'y'=45°,如圖①.(2)在原圖中作AE⊥x軸,垂足為E(1,0).
(3)在x'軸上截取O'E'=OE,作A'E'∥y'軸,截取E'A'=1.5.(4)同理確定點B',C',D',其中B'G'=0.5,C'H'=3,D'F'=2.5.(5)連線成圖(去掉輔助線),如圖②,即水平放置的四邊形ABCD的直觀圖.
方法點睛利用斜二測畫法畫直觀圖時應注意(1)在已知圖形中x軸,y軸的選取,應盡可能多地使圖形的點落在坐標軸上,有的點不滿足時應作輔助線,與x軸,y軸垂直的線段是最常用的輔助線.(2)垂直于x軸,y軸的線段在坐標系x'O'y'下的長度變化切勿混淆.
1.(多選題)(2021江蘇廣陵校級期中)利用斜二測畫法得到的下列結論中正確的是(　　)A.水平放置的三角形的直觀圖是三角形B.水平放置的正方形的直觀圖是正方形C.水平放置的菱形的直觀圖是菱形D.水平放置的平行四邊形的直觀圖是平行四邊形
答案 AD解析 對于A,在水平放置的三角形的直觀圖中,三角形底邊上的高與底邊的夾角為45°或135°,底邊上的高的長度減少為原來的一半,依然是三角形,故A正確;對于B,正方形中的直角,在直觀圖中變?yōu)?5°或135°,故B錯誤;對于C,菱形的對角線互相垂直平分,在直觀圖中對角線的夾角變?yōu)?5°,故C錯誤;對于D,由斜二測畫法知,水平放置的平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形,故D正確.故選AD.
2.如圖,已知等腰三角形ABC,則下圖所示的四個圖形中,可能是水平放置的△ABC的直觀圖的是(　　)
A.①②B.②③C.②④D.③④
答案 D解析 當∠x'O'y'=135°時,其直觀圖是③;當∠x'O'y'=45°時,其直觀圖是④.
3.水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示,則△ABC的面積為　　　　.?
解析 把水平放置的△ABC的直觀圖還原為原圖形,如圖所示,則△ABC的面積為S= ×2×2=2.
4.如圖為一個水平放置的矩形ABCO,在直角坐標系xOy中,點B的坐標為(4,2),則用斜二測畫法畫出的該矩形的直觀圖中,頂點B'到x'軸的距離為　　　　　.?

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8.2 立體圖形的直觀圖

版本： 人教A版 (2019)

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