課時跟蹤檢測 （三十三） 平面與平面垂直的性質(zhì)層級(一)　“四基”落實練1．下列命題中錯誤的是          (　　)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β解析：選D　由平面與平面垂直的有關(guān)性質(zhì)可以判斷出D項錯誤．故選D.2．已知平面α⊥平面β，直線l⊥平面α，則l與β的位置關(guān)系是    (　　)A．垂直　　　　　　　　　 B．平行C．l?β  D．平行或l?β解析：選D　如圖l∥β或l?β.故選D.3．已知m，n，l是直線，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ?????????????  (　　)A．異面  B．相交但不垂直C．平行  D．相交且垂直解析：選C　∵α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，∴n⊥α.又m⊥α，∴m∥n.故選C.4.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，則   ????????????? ????????????? ????????????? (　　)A．PD?平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD與平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC解析：選B　∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，PD?平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.5．(多選)給出以下四個命題，其中真命題是        (　　)A．如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行B．如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面C．如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線相互平行D．如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面相互垂直解析：選ABD  A.線面平行的性質(zhì)定理知A正確；B.由線面垂直的判定定理知B正確；C.由這兩條直線可能相交或平行或異面知C錯誤；D.由面面垂直的判定定理知D正確.故選A，B，D.6．如圖，在三棱錐P-ABC內(nèi)，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________.解析：∵側(cè)面PAC⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC.又AB?平面ABC，∴PA⊥AB.∴PB＝＝＝.答案：7．如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AC，則在四面體ABCD的四個面中，互相垂直的平面的對數(shù)為________．解析：因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.因為AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因為平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3對．答案：38.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求證：AD⊥平面PCD.證明：在矩形ABCD中，AD⊥CD.因為平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD?平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.層級(二)　能力提升練1.如圖所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在底面ABC上的射影H必在????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? (　　)A．直線AB上  B．直線BC上C．直線AC上  D．△ABC內(nèi)部解析：選A　連接AC1.∠BAC＝90°，即AC⊥AB.又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB為交線，因此，點C1在平面ABC上的射影必在直線AB上，故選A.2.如圖所示，兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，則線段MN的長等于________．解析：如圖，取CD的中點G，連接MG，NG.因為四邊形ABCD，四邊形DCEF為正方形，且邊長為2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.因為平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG?平面ABCD，所以MG⊥平面DCEF.又NG?平面DCEF，所以MG⊥NG.所以MN＝＝.答案：3．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，則△ABC是________三角形．解析：設P在平面ABC上的射影為O.∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O是△ABC的外心，且是AB的中點．∴△ABC是直角三角形．答案：直角4.如圖，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥平面BCD，BE⊥AC于點E.(1)判斷DC與BE的關(guān)系；(2)求證：DC⊥BC.解：(1)DC⊥BE.理由如下：∵平面ABC⊥平面ACD，BE⊥AC于點E，平面ABC∩平面ACD＝AC，   BE?平面ABC，∴BE⊥平面ACD.又DC?平面ACD，∴BE⊥DC.(2)證明：∵AB⊥平面BCD，DC?平面BCD，∴AB⊥DC.∵BE⊥DC，AB∩BE＝B，∴DC⊥平面ABC，又BC?平面ABC，∴DC⊥BC.5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2.(1)設M是PC上的一點，求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱錐P-ABCD的體積．解：(1)證明：在△ABD中，∵AD＝2，BD＝4，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2.故AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.∵BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.(2)過P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.∴PO為四棱錐P-ABCD的高．又△PAD是邊長為2的等邊三角形，∴PO＝×2＝.∵在底面四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四邊形ABCD是梯形．在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為＝，∴四邊形ABCD的面積為S＝×＝6.故VP-ABCD＝×6×＝2.層級(三)　素養(yǎng)培優(yōu)練如圖，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分別是AC，AD上的動點，且＝＝λ(0<λ<1)．(1)求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC.(2)當λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD?解：(1)證明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又＝＝λ(0<λ<1)，∴不論λ為何值，總有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又EF?平面BEF，∴不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知，EF⊥BE.又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，AB⊥平面BCD，∴BD＝，AB＝tan 60°＝.∴AC＝ ＝.由AB2＝AE·AC得AE＝，∴λ＝＝，故當λ＝時，平面BEF⊥平面ACD.

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8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

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