課時(shí)跟蹤檢測(cè)（三十二）  直線與平面垂直的性質(zhì)A級(jí)——新課合格性考試達(dá)標(biāo)練1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線l(與直線BB1不重合)⊥平面A1C1，則(　　)A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B與l異面但不垂直D．B1B與l相交但不垂直解析：選B　因?yàn)?/span>B1B⊥平面A1C1，又因?yàn)?/span>l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.故選B.2．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是(　　)A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若m∥n，m⊥α，則n⊥αD．若m∥α，α⊥β，則m⊥β解析：選C　∵m∥n，m⊥α，則n⊥α，故選C.3．[多選]下列命題正確的是(　　)A.?b⊥α　　　　　B.?a∥bC.?b∥α  D.?b⊥α解析：選AB　由性質(zhì)定理可得A、B正確．故選A、B.4.如圖，?ADEF的邊AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，則CE＝(　　)A．2  B．3C.   D.解析：選D　因?yàn)樗倪呅?/span>ADEF為平行四邊形，所以AF∥DE且AF＝DE. 因?yàn)?/span>AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因?yàn)?/span>AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝ ＝＝.故選D.5．如圖，α∩β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是(　　)A．異面  B．平行C．垂直  D．不確定解析：選C　∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC?平面ABC，∴l⊥AC.故選C.  6．線段AB在平面α的同側(cè)，A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點(diǎn)到α的距離為________．解析：如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，分別過(guò)A，M，B向α作垂線，垂足分別為A1，M1，B1，則由線面垂直的性質(zhì)可知，AA1∥MM1∥BB1，四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1為其中位線，∴MM1＝4.答案：4 7.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，D是側(cè)面PBC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作平面ABC的垂線DE，其中D?PC，則DE與平面PAC的位置關(guān)系是________. 解析：因?yàn)?/span>DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，所以DE∥PA. 又DE?平面PAC，PA?平面PAC，所以DE∥平面PAC.答案：平行8．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．①若m∥α，m⊥n，則n⊥α；②若m⊥α，n∥α，則m⊥n；③若m?α，n?β，且α∥β，則m∥n；④若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面．其中為真命題的是________．(填序號(hào))解析：①若m∥α，m⊥n，則n與α位置關(guān)系不確定，故為假命題．②若n∥α，則α內(nèi)存在直線l與n平行．因?yàn)?/span>m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n.故為真命題．③若m?α，n?β，且α∥β，則m，n可能異面．故為假命題．④原命題的逆否命題為“若m與n垂直于同一平面，則m，n平行”，為真命題，所以原命題為真命題，所以②④為真命題．答案：②④9．已知直線l，m，a，b，l⊥a，l⊥b，m⊥a，m⊥b，且a，b是異面直線，求證：l∥m.證明：如圖，在直線b上任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作a′∥a，則直線b，a′確定一個(gè)平面α.∵a′∥a，l⊥a，∴l⊥a′.∵l⊥b，a′∩b＝O，∴l⊥α.同理可證m⊥α，∴l∥m.   10.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.求證：A1C⊥平面BB1D1D.證明：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.又底面ABCD是正方形∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.又OA1是AC的中垂線∴A1A＝A1C＝，且AC＝2，∴AC2＝AA＋A1C2∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B，∴A1C⊥平面BB1D1D.B級(jí)——面向全國(guó)卷高考高分練1.PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是(　　)A．PA⊥BC　　  B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB  D．PC⊥BC解析：選C　PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正確；又BC⊥AC，所以BC⊥面PAC，所以BC⊥PC，B、D均正確．故選C.2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，給定下列四個(gè)命題，其中的真命題是(　　)①若m⊥n，n?α，則m⊥α；②若m⊥α，n?α，則m⊥n；③若m⊥α，n⊥α，則m∥n；④若m?α，n?β，α∥β，則m∥n.A．①和②　　　　　　　 B．②和③C．③和④  D．①和④解析：選B　①中，直線m垂直于平面α內(nèi)的一條直線n，則直線m與平面α不一定垂直，所以①不是真命題；②是直線與平面垂直的定義的應(yīng)用，所以②是真命題；③是直線與平面垂直的性質(zhì)定理，所以③是真命題；④中，分別在兩個(gè)平行平面α，β內(nèi)的直線m，n平行或異面，所以④不是真命題．故選B.3．已知直線l∩平面α＝點(diǎn)O，A∈l，B∈l，A?α，B?α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足為C，BD⊥平面α，垂足為D，AC＝1，則BD＝(　　)A．2  B．1C.   D.解析：選A　因?yàn)?/span>AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.連接OD，所以＝. 因?yàn)?/span>OA＝AB，所以＝. 因?yàn)?/span>AC＝1，所以BD＝2.故選A.4．如圖，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個(gè)條件是(　　)A．EF⊥平面α  B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE  D．PQ⊥FH解析：選B　因?yàn)?/span>EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.故選B.5．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四邊形ABCD一定是________．解析：易知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC.又四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD一定是菱形．答案：菱形6．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?/span>ABCD滿足條件___________時(shí)，有A1C⊥B1D1(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況)．解析：當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD⊥AA1，所以BD⊥平面AA1C，從而BD⊥A1C，又B1D1∥BD，所以A1C⊥B1D1.答案：BD⊥AC7.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點(diǎn)E，l⊥平面PCD.求證：l∥AE.證明：因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.又四邊形ABCD是矩形，所以CD⊥AD.因?yàn)?/span>PA∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又AE?平面PAD，所以AE⊥DC.因?yàn)?/span>AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因?yàn)?/span>l⊥平面PCD，所以l∥AE. C級(jí)——拓展探索性題目應(yīng)用練如圖，直升機(jī)上一點(diǎn)P在地面α上的正射影是點(diǎn)A(即PA⊥α)，從點(diǎn)P看地平面上一物體B(不同于A)，直線PB垂直于飛機(jī)玻璃窗所在的平面β.求證：平面β必與平面α相交．證明：假設(shè)平面α與平面β平行．因?yàn)?/span>PA⊥平面α，所以PA⊥平面β.因?yàn)?/span>PB⊥平面β，由線面垂直的性質(zhì)定理，可得PA∥PB，與已知PA∩PB＝P矛盾，所以平面β必與平面α相交． 

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