課時跟蹤檢測（三十一） 直線與平面垂直的判定

這是一份課時跟蹤檢測（三十一） 直線與平面垂直的判定，共6頁。

1．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能( )
A．平行 B．相交
C．異面 D．垂直
解析：選A ∵直線l⊥平面α，∴l(xiāng)與α相交，又∵m?α，∴l(xiāng)與m相交或異面，由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m.故l與m不可能平行．故選A.
2．正方體ABCD-A1B1C1D1中與AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB1
解析：選D ∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1. 故選D.
3.如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
解析：選A ∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cs∠ABO＝eq \f(1,2)， 即∠ABO＝60°.故選A.
4．直線l與平面α內的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關系是( )
A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α內 D．不能確定
解析：選D 如下圖所示，直線l和平面α相互平行，或直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內都有可能．故選D.
5．直線l與平面α所成的角為70°，直線l∥m，則m與α所成的角等于( )
A．20° B．70°
C．90° D．110°
解析：選B ∵l∥m，∴直線l與平面α所成的角等于m與α所成的角，又直線l與平面α所成的角為70°，∴m與α所成的角為70°.故選B.
6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，則圖中共有直角三角形的個數(shù)為________．
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.
∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4個直角三角形．
答案：4
7．長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝eq \r(2)，BC＝AA1＝1，則BD1與平面A1B1C1D1所成的角的大小為________．
解析：如圖所示，連接B1D1.
則B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，則∠BD1B1是BD1與平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝eq \f(BB1,B1D1)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，則∠BD1B1＝30°.
答案：30°
8.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E，要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________．
解析：設B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1∥DF.由已知可得A1B1＝eq \r(2)，
設Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq \f(1,2)h.
又2×eq \r(2)＝h eq \r(22＋?\r(2)?2)，所以h＝eq \f(2 \r(3),3)，DE＝eq \f(\r(3),3).
在Rt△DB1E中，B1E＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2)＝eq \f(\r(6),6).
在Rt△DB1F中，由面積相等得eq \f(\r(6),6)×eq \r( x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(2),2)x，
解得x＝eq \f(1,2).
即線段B1F的長為eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
9.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq \r(2)，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．證明：PC⊥平面BEF.
證明：如圖，連接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，
所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中點，所以EF⊥PC.
又BP＝ eq \r(AP2＋AB2)＝2eq \r(2)＝BC，
F是PC的中點，所以BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，BF，EF?平面BEF，
所以PC⊥平面BEF.
10.如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C點到AB1的距離為CE，D為AB的中點．
求證：(1)CD⊥AA1；
(2)AB1⊥平面CED.
證明：(1)由題意知AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，
所以CD⊥AA1.
(2)因為D是AB的中點，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB，A1A?平面A1B1BA，
所以CD⊥平面A1B1BA.因為AB1?平面A1B1BA，
所以CD⊥AB1.
又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD，CE?平面CED，
所以AB1⊥平面CED.
B級——面向全國卷高考高分練
1．設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是( )
A．若l⊥m，m?α，則l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α
C．若l∥α，m?α，則l∥m
D．若l∥α，m∥α，則l∥m
解析：選B 根據兩條平行線中的一條直線垂直于一個平面，則另一條直線也垂直于這個平面，知選項B正確．故選B.
2.如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關系是( )
A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
解析：選C 如圖，連接AC.因為ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC.因為AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關系是垂直但不相交．故選C.
3.如圖，O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是( )
A．A1D B．AA1
C．A1D1 D．A1C1
解析：選D 由題易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1?平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O.故選D.
4．如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有( )
A．AH⊥△EFH所在平面
B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
解析：選A 原圖中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，F(xiàn)H∩EH＝H，所以AH⊥△EFH所在平面．故選A.
5．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中點，F(xiàn)是BB1的中點，則直線EF與平面ABCD所成角的正切值為________．
解析：如圖，連接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直線EF與平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝eq \r(5)，則tan∠FEB＝eq \f(\r(5),5).
答案：eq \f(\r(5),5)
6．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是______________．
解析：BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，所以P為B1C上任何一點時，均有AP⊥BD1.
答案：線段B1C
7.如圖所示，AB是圓柱的母線，BD是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上一點，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直線BD與平面ACD所成角的大?。?br>解：取AC的中點E，連接BE，DE.由題意知AB⊥平面BCD，故AB⊥CD.又BD是底面圓的直徑，
∴∠BCD＝90°，即CD⊥BC.
∵AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，又∵BE?平面ABC，∴CD⊥BE.
∵AB＝BC＝2，AB⊥BC，∴BE⊥AC且BE＝eq \r(2)，
又AC∩CD＝C，AC，CD?平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，
∴∠BDE即為BD與平面ACD所成的角，
又BD＝eq \r(2)BC＝2eq \r(2)，
∴sin∠BDE＝eq \f(BE,BD)＝eq \f(\r(2),2\r(2))＝eq \f(1,2)，
∴∠BDE＝30°，即BD與平面ACD所成的角為30°.
C級——拓展探索性題目應用練
如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點．試確定點F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
解：如圖，連接A1B，CD1，則A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，
又A1D1∩A1B＝A1，
∴AB1⊥平面A1BCD1.
又D1E?平面A1BCD1，
∴AB1⊥D1E.
于是D1E⊥平面AB1F?D1E⊥AF.
連接DE，則DE是D1E在底面ABCD內的射影．
∴D1E⊥AF?DE⊥AF.
∵ABCD是正方形，E是BC的中點，
∴當且僅當F是CD的中點時，DE⊥AF，
即當點F是CD的中點時，D1E⊥平面AB1F.