午練9　圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題1.直線(xiàn)y＝x＋1被橢圓x2＋2y2＝4所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)A.  B.C.  D.答案　B解析　由得x2＋2(x＋1)2－4＝0，即3x2＋4x－2＝0，則弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為×＝－，縱坐標(biāo)為－＋1＝，即，故選B.2.方程＋＝1所表示的曲線(xiàn)是(　　)A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)D.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)答案　D解析　∵sin θ－1<0，2sin θ＋3>0，∴方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn).3.已知M(x0，y0)是雙曲線(xiàn)C：－y2＝1上的一點(diǎn)，F1，F2分別是C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若·<0，則y0的取值范圍是(　　)A.  B.C.  D.答案　A解析　因?yàn)?/span>F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3＜0，即3y－1＜0，解得－＜y0＜.4.已知雙曲線(xiàn)C：－＝1(a>0，b>0)的焦距為2，拋物線(xiàn)y＝x2＋與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)相切，則雙曲線(xiàn)C的方程為(　　)A.－＝1  B.－＝1C.x2－＝1  D.－y2＝1答案　D解析　由題意可得c＝，即a2＋b2＝5，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±x.將漸近線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程y＝x2＋聯(lián)立，可得x2±x＋＝0.由拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)相切，可得Δ＝－4××＝0，即a2＝4b2，解得a＝2，b＝1，所以雙曲線(xiàn)C的方程為－y2＝1.5.(多選)已知直線(xiàn)l：y＝kx＋2過(guò)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F，且被圓x2＋y2＝4截得的弦長(zhǎng)為L，若L≥，則橢圓離心率e的取值可能是(　　)A.  B.C.  D.答案　ABC解析　依題意，知b＝2，kc＝2.設(shè)圓心到直線(xiàn)l的距離為d，則L＝2≥，解得d2≤.又因?yàn)?/span>d＝，所以≤，于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，解得0＜e≤.故選ABC.6.已知拋物線(xiàn)y＝2px2(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)P作PQ垂直于拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為點(diǎn)Q，若拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)M，則四邊形PQMF的面積為________.答案　解析　由P在拋物線(xiàn)上，得p＝，故拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y，焦點(diǎn)F(0，1)，準(zhǔn)線(xiàn)為y＝－1，∴FM＝2，PQ＝1＋＝，MQ＝1，則直角梯形PQMF的面積為××1＝.7.橢圓＋＝1上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F2的距離之積最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是________，此時(shí)積的最大值為________.答案　(±3，0)　25解析　由橢圓的定義可知PF1＋PF2＝2a＝10，所以PF1·PF2≤＝＝25，當(dāng)且僅當(dāng)PF1＝PF2時(shí)取等號(hào).由解得PF1＝PF2＝5＝a，此時(shí)點(diǎn)P恰好是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(±3，0).8.已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線(xiàn)l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn).若AF＋BF＝4，點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是________.答案　解析　如圖所示，設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，∴4＝AF＋BF＝AF′＋AF＝2a，∴a＝2.取M(0，b)，∵點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離不小于，∴≥，解得b≥1.∴e＝＝≤＝.∴橢圓E的離心率的取值范圍是.9.已知F為拋物線(xiàn)y2＝x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線(xiàn)上且位于x軸的兩側(cè)，·＝2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是________.答案　3解析　如圖，可設(shè)A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，則＝(m2，m)，＝(n2，n)，·＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)·(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)C，則C(2，0).S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2·m＋×2·(－n)＝m－n，S△AOF＝×·m＝m，則S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)m＝，即m＝時(shí)等號(hào)成立.故△ABO與△AFO面積之和的最小值為3.10.已知△AOB的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線(xiàn)y2＝2x的頂點(diǎn)O，A，B兩點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，且∠AOB＝90°.(1)求證：直線(xiàn)AB必過(guò)一定點(diǎn)；(2)求△AOB面積的最小值.(1)證明　設(shè)OA所在直線(xiàn)的方程為y＝kx(k≠0)，則直線(xiàn)OB的方程為y＝－x.由得A，由得B(2k2，－2k).∴直線(xiàn)AB所在直線(xiàn)方程為(y＋2k)＝(x－2k2)，化簡(jiǎn)得x－y－2＝0，∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P(2，0).(2)解　由于直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)P(2，0)，所以可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2).由得y2－2my－4＝0.∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4，∴|y1－y2|＝＝＝.∴S△AOB＝|y1|·OP＋|y2|·OP＝OP·|y1－y2|＝|y1－y2|＝≥4(當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時(shí)取“＝”).∴當(dāng)m＝0時(shí)，△AOB面積的最小值為4. 

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