午練8　拋物線1.已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與曲線x2＋y2－4x－5＝0相切，則p的值為(　　)A.2  B.1  C.  D.答案　A解析　曲線的方程可化為(x－2)2＋y2＝9，其表示圓心為(2，0)，半徑為3的圓，又拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，∴由拋物線的準(zhǔn)線與圓相切得2＋＝3，解得p＝2.2.已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，AF＋BF＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y軸的距離為(　　)A.  B.1C.  D.答案　C解析　拋物線y2＝x的準(zhǔn)線方程為x＝－，由拋物線定義，知AF＋BF＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.∴線段AB的中點(diǎn)到y軸的距離為＝.3.過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則∠A1FB1等于(　　)A.45°  B.90°C.60°  D.120°答案　B解析　如圖，由拋物線定義知AA1＝AF，BB1＝BF，所以∠AA1F＝∠AFA1，又∠AA1F＝∠A1FO，∴∠AFA1＝∠A1FO，同理∠BFB1＝∠B1FO，于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.4.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，－2)到焦點(diǎn)的距離為4，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)A.4  B.－2C.4或－4  D.2或－2答案　C解析　由題可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)，由點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為4，得＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.將點(diǎn)P(m，－2)代入x2＝－8y，得m＝±4.5.(多選)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)P為C上異于O的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在l上的射影為點(diǎn)E，∠EPF的外角平分線交x軸于點(diǎn)Q，過Q作QM⊥PF于點(diǎn)M，過Q作QN⊥PE，交線段EP的延長線于點(diǎn)N，則(　　)A.PE＝PF  B.PF＝QFC.PN＝MF  D.PN＝KF答案　ABD解析　由拋物線的定義知A正確；∵∠FQP＝∠QPN＝∠QPF，∴PF＝QF，B正確；由題意，可得PM＝PN，又PM與MF不一定相等，∴PN與MF不一定相等，C錯(cuò)誤；由題意知四邊形QKEN為矩形，∴PN＝NE－PE＝QK－QF＝KF，D正確.6.已知拋物線y2＝2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)A(4，4)，則準(zhǔn)線方程為________，點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為________.答案　x＝－1　5解析　由拋物線y2＝2px經(jīng)過點(diǎn)A(4，4)，可得42＝8p，解得p＝2，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x，則準(zhǔn)線方程為x＝－1，點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為4－(－1)＝5.7.直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為________.答案　48解析　由消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即或所以AP＝10，BQ＝2或BQ＝10，AP＝2，PQ＝8，所以梯形APQB的面積S＝×8＝48.8.設(shè)拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與拋物線交于P，Q兩點(diǎn).若PQ＝，且PF>QF，則＝________.答案　3解析　因?yàn)?/span>PQ＝，所以PF＝－QF.由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知p＝4，因?yàn)橹本€l過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，由過拋物線焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)可知＋＝＝，將PF＝－QF代入得＋＝，解得QF＝或8.因?yàn)?/span>PF>QF，所以QF＝，PF＝8.所以＝3.9.已知直線y＝kx＋1與拋物線x2＝4y相交于A，B兩點(diǎn)，F為拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若AF＝3，則△AOF與△BOF的面積之比為________.答案　2解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>x2)，由x2＝4y，得拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－1，又AF＝3，∴y1＋1＝3，∴y1＝2，∴x1＝2，則點(diǎn)A(2，2).又點(diǎn)A在直線y＝kx＋1上，∴2＝2k＋1，則k＝＝，∴直線方程為y＝x＋1.聯(lián)立消y，得x2－x－4＝0，∴x1x2＝－4，∴x2＝－，則＝＝2.10.已知點(diǎn)A(2，8)在拋物線y2＝2px(p>0)上，直線l和拋物線交于B，C兩點(diǎn)，焦點(diǎn)F是△ABC的重心，M是BC的中點(diǎn)(不在x軸上).(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)求直線l的方程.解　(1)由點(diǎn)A(2，8)在拋物線y2＝2px(p>0)上，有82＝2p·2，解得p＝16.所以拋物線方程為y2＝32x，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(8，0).設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，則＝，則(6，－8)＝(x0－2，y0－8)，所以x0＝11，y0＝－4.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(11，－4).(2)由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，所以BC所在直線不垂直于x軸.設(shè)BC所在直線的方程為y＋4＝k(x－11)(k≠0).由消去x得ky2－32y－32(11k＋4)＝0，設(shè)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，所以y1＋y2＝.由M為BC中點(diǎn)得＝－4，解得k＝－4.因此直線l的方程為4x＋y－40＝0. 

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