午練6　橢圓1.設(shè)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，P到兩焦點(diǎn)F1，F2的距離之差為2，則△PF1F2是(　　)A.銳角三角形  B.直角三角形C.鈍角三角形  D.等腰直角三角形答案　B解析　根據(jù)橢圓的定義知PF1＋PF2＝8.不妨假設(shè)PF1>PF2，則PF1－PF2＝2，所以PF1＝5，PF2＝3.而F1F2＝4，所以F1F＋PF＝PF，所以△PF1F2是直角三角形，故選B.2.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案　C解析　方程可化為＋＝1.若m>n>0，則0<<，可得方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則>>0，可得m>n>0.故選C.3.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，上、下頂點(diǎn)分別為A，B.若四邊形AF2BF1是正方形且面積為4，則橢圓C的方程為(　　)A.＋＝1  B.＋y2＝1C.＋＝1  D.＋＝1答案　A解析　由四邊形AF2BF1是正方形可得b＝c，再由四邊形AF2BF1的面積為4可得·2c·2b＝4，即bc＝2，∴b2＝c2＝2.又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，∴橢圓的方程為＋＝1.4.已知橢圓＋＝1上有一點(diǎn)P，F1，F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若△F1PF2為直角三角形，則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為(　　)A.3  B.4  C.6  D.8答案　C解析　當(dāng)∠PF1F2為直角時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，這樣的點(diǎn)P有2個(gè)；同理當(dāng)∠PF2F1為直角時(shí)，這樣的點(diǎn)P有2個(gè)；當(dāng)P點(diǎn)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2最大，且為直角，此時(shí)這樣的點(diǎn)P有2個(gè).故符合要求的點(diǎn)P有6個(gè).5.(多選)設(shè)橢圓的方程為＋＝1，斜率為k的直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　)A.kAB·kOM＝－1B.若點(diǎn)M坐標(biāo)為(1，1)，則直線(xiàn)l的方程為2x＋y－3＝0C.若直線(xiàn)l的方程為y＝x＋1，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為D.若直線(xiàn)l的方程為y＝x＋2，則AB＝答案　BD解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則兩式相減，得＋＝0，即·＝－2，即kAB·kOM＝－2.對(duì)于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正確；對(duì)于B，由kAB·kOM＝－2，M(1，1)，得kAB＝－2，所以直線(xiàn)l的方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正確；對(duì)于C，若直線(xiàn)l的方程為y＝x＋1，M，則kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正確；對(duì)于D，由得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－，所以AB＝·＝，所以D正確.故選BD.6.若橢圓＋＝1(m>0)上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為m－3，則實(shí)數(shù)m的值為________，焦點(diǎn)坐標(biāo)為________.答案　9　(0，±)解析　若0<m<4，則m－3＝4，得m＝7(舍去)；若m>4，則m－3＝2，解得＝3或－1(舍去)，所以m＝9，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±).7.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(m>0)，且焦距為6，則實(shí)數(shù)m的值為________.答案　4或解析　若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則a2＝25，b2＝m2.∵a2＝b2＋c2，即25＝m2＋9，∴m2＝16.∵m>0，∴m＝4.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則a2＝m2，b2＝25，由a2＝b2＋c2，∴m2＝25＋9，∴m2＝34.∵m>0，∴m＝.綜上可得m＝4或.8.橢圓具有如下的光學(xué)性質(zhì)：從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)壁反射后恰好穿過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)從橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)F發(fā)出的一條光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)壁兩次反射后，回到點(diǎn)F，則光線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的總路程為________.答案　12解析　依題意可知光線(xiàn)經(jīng)兩次橢圓壁反射后回到F點(diǎn)，故根據(jù)橢圓的定義可知所走的路程正好是4a＝4×3＝12.9.已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一條弦所在直線(xiàn)方程是x－y＋5＝0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(－4，1)，則橢圓的離心率是________.答案　解析　設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程，由點(diǎn)差法可得yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，所以e＝＝.10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P(2，1)，且離心率e＝.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線(xiàn)l的斜率為，直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△PAB的面積的最大值.解　(1)因?yàn)?/span>e2＝＝＝，所以a2＝4b2.又橢圓C：＋＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P(2，1)，所以＋＝1.所以a2＝8，b2＝2.故所求橢圓方程為＋＝1.(2)設(shè)l的方程為y＝x＋m，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.又直線(xiàn)l與橢圓相交，所以Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.則AB＝×＝.點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d＝＝.所以S△PAB＝d·AB＝××＝≤＝2.當(dāng)且僅當(dāng)m2＝2，即m＝±時(shí)，△PAB的面積取得最大值為2.  

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