培優(yōu)課　數(shù)列求和研究數(shù)列求和的關(guān)鍵是研究通項(xiàng)，然后根據(jù)通項(xiàng)的形式選擇合適的求和方法.常用方法除公式法外，還有分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯位相減法、倒序相加法等.類型一　分組法求和例1 已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝24.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝log2an，求數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和.解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，則解得∴an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n.(2)由(1)知bn＝log22n＝n.設(shè){an＋bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn)＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋＝2n＋1－2＋n2＋n.思維升華　(1)分組求和法適用于解決數(shù)列通項(xiàng)公式可以寫成cn＝an＋bn的形式的數(shù)列求和問題，其中數(shù)列{an}與{bn}是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可以直接求和的數(shù)列.其基本的解題步驟為：①準(zhǔn)確拆分，根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，將其分解為可以直接求和的一些數(shù)列的和.②分組求和，分別求出各個數(shù)列的和.③得出結(jié)論，對拆分后每個數(shù)列的和進(jìn)行組合，解決原數(shù)列的求和問題.(2)分組法求和的常見類型①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組法求{an}的前n項(xiàng)和.②通項(xiàng)公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比或等差數(shù)列，可采用分組法求和.類型二　裂項(xiàng)相消法求和例2 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若an>0，設(shè)bn＝log2(3an＋3)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an＋1}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Tn，因?yàn)?/span>S2＝2，S4＝16，所以T2＝4，T4＝20，易知q≠1，所以T2＝＝4①，T4＝＝20②，由得1＋q2＝5，解得q＝±2.當(dāng)q＝2時，a1＝，所以an＋1＝×2n－1＝；當(dāng)q＝－2時，a1＝－5，所以an＋1＝(－4)×(－2)n－1＝－(－2)n＋1.所以an＝－1或an＝－(－2)n＋1－1.(2)因?yàn)?/span>an>0，所以an＝－1，所以bn＝log2(3an＋3)＝n＋1，所以＝＝－，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為＋＋…＋＝－＝.思維升華　若數(shù)列的通項(xiàng)可拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，則數(shù)列的前n項(xiàng)和可由裂項(xiàng)相消法求解.使用此方法時必須注意消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，一般未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn).常用的裂項(xiàng)技巧有：①＝－，＝，＝(t≠0)；②loga＝loga(n＋1)－logan(a>0，且a≠1)；③＝－，＝(－)；④＝；⑤若{an}為等差數(shù)列，d為公差，其中an≠0且d≠0，則＝.類型三　錯位相減法求和例3 已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解　(1)設(shè){an}的公比為q，由題意知：a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，又an>0，解得：a1＝2，q＝2，所以an＝2n.(2)由題意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.令cn＝，則cn＝，因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，兩式相減得Tn＝＋－＝＋－＝－，所以Tn＝5－.思維升華　1.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時，可采用錯位相減法.2.用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.類型四　倒序相加法例4 已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為(1 011，2)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＝f(n)，n∈N*，則S2 021＝________.答案　4 042解析　由條件得f(2×1 011－x)＋f(x)＝2×2，即f(2 022－x)＋f(x)＝4，于是有a2 022－n＋an＝4(n∈N*).又S2 021＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＋a2 021，S2 021＝a2 021＋a2 020＋…＋a2＋a1，兩式相加得2S2 021＝(a1＋a2 021)＋(a2＋a2 020)＋…＋(a2 020＋a2)＋(a2 021＋a1)＝2 021(a1＋a2 021)＝2 021×4.故S2 021＝2 021×2＝4 042.思維升華　如果一個數(shù)列的前n項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 

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