教 案教學(xué)基本信息課題向量的數(shù)乘運(yùn)算的應(yīng)用學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高中 年級高一教材書名：  普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊  出版社：人教社A版            出版日期：    2019年  6月  教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)本節(jié)課由向量數(shù)乘運(yùn)算的定義出發(fā)，探究非零向量a與向量b共線的充要條件，即向量共線定理，并對該定理的應(yīng)用進(jìn)行探究和練習(xí)。在這個過程中，體會數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，以及向量在解決幾何問題中的工具性，提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖引入    上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了向量的數(shù)乘運(yùn)算，這節(jié)課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量數(shù)乘運(yùn)算的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)之前，我們先復(fù)習(xí)一下向量的數(shù)乘的定義：    一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λ倍向量a，它的長度與方向規(guī)定如下：  (1)  | λa | ＝ | λ | | a | ；            (2)  當(dāng) λ > 0 時(shí)，λa 與 a 的方向相同；                  當(dāng) λ < 0 時(shí)，λa 與 a 的方向相反.特別地，當(dāng) λ ＝ 0 時(shí)，λa ＝ 0. 承上啟下，為本節(jié).課的學(xué)習(xí)做好鋪墊。新課探究1若 b ＝ λa，那么 b 與 a 有怎樣的位置關(guān)系？當(dāng) λ > 0 時(shí)，λa 與 a 的方向相同；   當(dāng) λ < 0 時(shí)，λa 與 a 的方向相反.當(dāng) λ ＝ 0 時(shí)，λa ＝ 0.?       方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.?       規(guī)定零向量與任意向量平行.?       平行向量也叫共線向量.結(jié)論： b = λa        b // a .a λa 探究2若b//a ，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得b=λa？(1)當(dāng)a≠0， b≠0時(shí)，存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.(2)當(dāng)a≠0， b=0時(shí)，存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.(3)當(dāng)a=0， b≠0時(shí)，不存在這樣的實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.(4)當(dāng)a=0， b=0時(shí)，λ取任意實(shí)數(shù)，都使得b=λa. 結(jié)論：所以當(dāng)b//a ，a≠0時(shí)，存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使得b=λa. 問題：若存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使得b=λa能推出 b//a ，a≠0嗎？分析：若a=0，則b=λa=0，此時(shí)，λ可以取任意實(shí)數(shù)，不唯一.定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使b=λa.   判斷：(1)  向量a(a≠0)與b共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb；   (         )(2) b//a的充要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù)λ和μ，使得λa=μb； (         )(3)若向量a與b不共線，且λa=μb，則實(shí)數(shù)λ=μ=0.(         ) 應(yīng)用1若存在實(shí)數(shù)λ，使b=λa，則向量a與b共線。1．證明向量共線例如：已知，試證向量a，b共線。2．證明兩直線平行   ，且直線AB與CD不重合       直線 AB//CD  3．證明三點(diǎn)共線A,B,C三點(diǎn)共線或 或 ……   引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量的數(shù)乘運(yùn)算中其實(shí)就蘊(yùn)含了向量的平行，并從幾何角度進(jìn)行了適當(dāng)?shù)年U述，希望學(xué)生能直觀地角度加以理解。進(jìn)而得出要推證的定理。       提出探究問題通過對不同情形的分析，培養(yǎng)學(xué)生思考問題的嚴(yán)密性，邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性 推理得出結(jié)論是正確的 進(jìn)一步提出要探究的問題引發(fā)學(xué)生的思考 學(xué)生體會反證法在證明中的作用 師生一起歸納得出定理的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力，語言表達(dá)能力  通過辨析題，讓學(xué)生加深對定理的理解與認(rèn)識     引導(dǎo)學(xué)生從多方面發(fā)現(xiàn)定理的運(yùn)用必要性解決問題的常見類型： （1）證明向量共線，并舉例說明，(2) 證明兩直線平行,(3) 證明三點(diǎn)共線培養(yǎng)學(xué)生善于思考，勇于探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣    例題例1   已知任意兩個非零向量a，b，試作  ，．猜想 A，B，C三點(diǎn)之         間的位置關(guān)系，并證明你的猜想．猜想：A，B，C三點(diǎn)共線.證明：∴ A，B，C三點(diǎn)共線.  通過學(xué)生操作、觀察，掌握利用向量共線判斷三點(diǎn)共線的方法，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用向量知識解決問題的能力，發(fā)展直觀相象和邏輯推理素養(yǎng)。新課應(yīng)用2若向量a(a≠0)與b共線，則 存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使b=λa.與非零向量a同向的單位向量為_______ .與非零向量a共線的單位向量為_____. 進(jìn)一步提出定理的用法，加深對定理的理解例題例2   已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，共線，求實(shí)數(shù)t的值．解：∵  a，b不共線，，∵  a，b不共線，∴a // b .與已知矛盾.  讓學(xué)生熟練運(yùn)用向量共線定理，體會知識之間的聯(lián)系。總結(jié)本節(jié)課從復(fù)習(xí)向量數(shù)乘運(yùn)算的定義出發(fā)，探究了非零向量a與向量b共線的充要條件（定理），并對該定理的應(yīng)用進(jìn)行了探究和練習(xí)。在這個過程中，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，向量在解決幾何問題中的工具性，讓我們的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以提升。  總結(jié)概況所學(xué)內(nèi)容，方法，讓學(xué)生形成反思的習(xí)慣，提升分析問題解決問題的能力。業(yè)1．已知a，b是不共線的向量，且 ，，    ，則(           )．(A)  A，B，D三點(diǎn)共線(B)  A，B，C三點(diǎn)共線(C)  B，C，D三點(diǎn)共線(D)  A，C，D三點(diǎn)共線2．已知若 ，  是不共線的向量，且， ，若a與b是共線向量，求實(shí)數(shù)k的值． 鞏固所學(xué)內(nèi)容 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.2 平面向量的運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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