教 案教學(xué)基本信息課題向量的數(shù)乘運(yùn)算學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段： 高中年級一年級教材書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊A版     出版社：人民教育出版社            出版日期：2019年6月  教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)本節(jié)課類比數(shù)的乘法，定義向量的數(shù)乘運(yùn)算，驗(yàn)證向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律．在這個過程中，體會類比研究的方法，從數(shù)與形兩方面對向量的數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行認(rèn)識，感受向量數(shù)與形的雙重屬性，同時體會研究運(yùn)算的一般過程，提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)． 教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖引入這節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)向量的數(shù)乘運(yùn)算．前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法和減法運(yùn)算．我想一定有同學(xué)思考過，向量有沒有乘法運(yùn)算呢？如果你也考慮過這樣的問題，說明你已經(jīng)有了類比的意識．在向量的學(xué)習(xí)中，我們不止一次與數(shù)量進(jìn)行類比或?qū)Ρ?，今天我們也不妨從?shù)量的乘法說起． 新課環(huán)節(jié)1  類比數(shù)量乘法定義向量的數(shù)乘運(yùn)算1．   以特殊的數(shù)量乘法為例：3a＝a＋a＋a；－3a＝(－a)＋(－a)＋(－a)．類比到向量：3a＝a＋a＋a；－3a＝(－a)＋(－a)＋(－a)．由于向量加法運(yùn)算的結(jié)果仍為向量，進(jìn)而分別作出對應(yīng)的有向線段，觀察結(jié)果的長度和方向．再將類比得到的結(jié)論，由特殊推廣到一般，給出向量數(shù)乘運(yùn)算的定義．一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)  | λa |＝| λ || a |；(2)  當(dāng)λ＞0時，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0 時，λa與a的方向相反． 這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘．2．   特例的點(diǎn)明(1)    當(dāng)λ＝0時，，所以，0a＝0．這說明0與任意向量數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果均為零向量．(2)    當(dāng)a＝0時，，所以，λ0＝0．這說明零向量與任意實(shí)數(shù)數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果均為零向量．3．   小練習(xí)：已知向量a如圖所示，求作向量   b＝0.5a，向量c＝－2a． 1．   (1) 通過類比，使學(xué)生更容易理解，也更容易接受向量數(shù)乘運(yùn)算的定義方式．(2) 從給定實(shí)數(shù)與向量數(shù)乘，到任意實(shí)數(shù)與向量數(shù)乘的定義，從特殊過渡到一般，學(xué)生更容易接受和理解．(3) 了解對該運(yùn)算的命名原因也有助于學(xué)生對定義的理解，同時為后面數(shù)量積運(yùn)算的學(xué)習(xí)做了鋪墊．2．   這兩個特殊情況在數(shù)乘相關(guān)辨析以及定理的推倒過程都有著重要的作用．3．   這個練習(xí)一方面是對定義的直接應(yīng)用．另一方面也為后面對幾何意義進(jìn)行理解所做的鋪墊．環(huán)節(jié)2  加深向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義的理解1．   給定非零向量a，并分別對λ＞1，λ＝1，λ∈(0,1)， λ＝0， λ∈(－1,0)， λ＝－1，    λ＜－1幾種情況下，λa的長度與方向進(jìn)行分析．     2．   模擬λ連續(xù)變化時，數(shù)乘向量隨λ變化而變化的情況，從幾何直觀上感受數(shù)乘運(yùn)算的效果：非零向量的數(shù)乘運(yùn)算，相當(dāng)于對向量a，延其所在直線方向的拉伸或壓縮，其中，當(dāng)  λ＜0時，可以看作是反向的伸縮．本環(huán)節(jié)的意圖是幫助學(xué)生從形上加深對向量數(shù)乘運(yùn)算的理解．其中第2小部分如果用動畫展示，更容易看出“伸縮”．環(huán)節(jié)3  猜想并驗(yàn)證向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律1．   類比數(shù)量乘法的運(yùn)算律，寫出向量數(shù)乘運(yùn)算可能滿足的運(yùn)算律．2．   通過幾何作圖的方式逐一驗(yàn)證上述運(yùn)算律．3．   總結(jié)3條運(yùn)算律并點(diǎn)明特例向量數(shù)乘運(yùn)算律：(1)    λ(μa)＝(λμ)a＝(μλ)a＝μ(λa)；(2)    (λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)    λ(a＋b)＝λa＋λb．特別的，λ(－a)＝(－λ)a＝－(λa)；(λ－μ)a＝λa＋(－μ)a＝λa－μa；λ(a－b)＝λa＋λ(－b)＝λa－λb．定義了新的運(yùn)算以后，考察它的運(yùn)算律是一個自然的問題．希望學(xué)生經(jīng)歷并內(nèi)化研究運(yùn)算的一般過程．1．   通過類比的方式猜想向量數(shù)乘的運(yùn)算律，類比是發(fā)現(xiàn)和提出問題的重要方法．2．   運(yùn)算律的證明難度較大，故本課只對運(yùn)算律進(jìn)行簡單的作圖驗(yàn)證．這也相當(dāng)于運(yùn)算律的幾何意義．作圖驗(yàn)證的過程也是對向量數(shù)乘運(yùn)算定義的再鞏固．3．   驗(yàn)證運(yùn)算律之后，還需要對運(yùn)算律進(jìn)行再認(rèn)識．“特別的”是從一般再到特殊的過程，特殊的結(jié)論也有特殊的價值．第一條結(jié)論使得我們對負(fù)號的處理更加靈活，最后兩條說明向量數(shù)乘運(yùn)算對于數(shù)量和向量的減法也都滿足分配律．這些都與數(shù)量的乘法類似．環(huán)節(jié)4  定義向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．向量的線性運(yùn)算的結(jié)果仍為向量．對于任意向量a與b，以及任意實(shí)數(shù)λ, μ1, μ2，λ(μ1a ± μ2b)＝λμ1a ± λμ2b .體會向量線性運(yùn)算與數(shù)量運(yùn)算之間的相似性．例題例1        點(diǎn)C在線段 AB 上，且，則，． 分析：作出圖形，依照向量數(shù)乘運(yùn)算的定義，即可得到答案．第一個空應(yīng)填，第二個空應(yīng)填．   例1本題是對定義的逆向應(yīng)用，通過兩向量長度和方向的關(guān)系，找到二者的運(yùn)算關(guān)系． 例2        判斷下列結(jié)論的正誤：① 0a＝0；② 若 λa＝0，則λ＝0或a＝0；③ 若 λa＝λb，則a＝b；④ 若 λa＝μa，則λ＝μ．分析：① 題目是數(shù)量0乘以向量a，屬于數(shù)乘運(yùn)算，結(jié)果應(yīng)為向量，而等號右邊卻是數(shù)量0，因此是錯誤的．② λa＝0說明| λa |＝0，即| λ || a |＝0，因此λ＝0或a＝0．本小題結(jié)論正確．③ 本小題結(jié)論錯誤．反例：λ＝0．④ 本小題結(jié)論錯誤．反例：a＝0．例2第1小題的設(shè)計(jì)意圖是使學(xué)生明確兩件事：一是向量數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是一個向量；二是數(shù)量0與向量0在表示上的區(qū)別．后三個小題，一方面加深對數(shù)乘運(yùn)算的理解，另一方面可以與數(shù)量乘法運(yùn)算的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行對比．總的來說，向量的運(yùn)算與數(shù)量的運(yùn)算之間有著很多相似的性質(zhì)，但也有差別．遇到具體問題的時候，需要準(zhǔn)確把握相關(guān)概念，具體嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤治?，不能直接套用?shù)量問題的結(jié)論．例3        (1)  (－3)×4a；(2)  3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)  (x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)．解： (1)  (－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；     (2)  3(a＋b)－2(a－b)－a       ＝3a＋3b－2a＋2b－a       ＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b)       ＝(3－2－1)a＋(3＋2)b       ＝0a＋5b       ＝5b；      (3)  解法1：(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)      ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b      ＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb      ＝ －2ya＋2xb．          解法2：(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)      ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b      ＝ [(x－y)－(x＋y)]a＋[(x－y)＋(x＋y)]b      ＝ －2ya＋2xb． 例3本題是從代數(shù)運(yùn)算的角度對向量線性運(yùn)算進(jìn)行應(yīng)用．具體來說，第1小題是對結(jié)合律的應(yīng)用．后兩個小題是對向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用，但也各有側(cè)重．通過第2小題的解答過程，說明在向量的線性運(yùn)算中，“合并同類項(xiàng)”和“提取公因式”的方法都是有據(jù)可依的．通過第3小題的解法1，說明數(shù)量和與向量和相乘，可以類比多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的方法進(jìn)行，展開式的結(jié)構(gòu)也與多項(xiàng)式運(yùn)算中的對應(yīng)結(jié)論相似．通過第3小題的解法2，說明在運(yùn)算的過程中要注意觀察，才能恰當(dāng)?shù)厥褂眠\(yùn)算律，從而簡化計(jì)算．    這3個題目的解題過程，嚴(yán)格遵照向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律進(jìn)行，說明向量的線性運(yùn)算，與數(shù)和代數(shù)式的運(yùn)算非常相似，去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等方法同樣適用．使學(xué)生在體會這種相似性帶來的便利的同時，理解其中的算理．例4        如圖，□ABCD的兩條對角線相交        于點(diǎn) M，且，，(1)       用a，b表示向量和． (2)       點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別在線段BD和AC上，且DB＝6DP，AQ＝2QC，用a，b表示向量和．解：(1) 在□ABCD中， ， ．  ．     (2) 在△ADP中， 在△APQ中，  例4本題中的兩個小問，由易到難，層層遞進(jìn)，目的是使學(xué)生體會借助幾何圖形，用兩個已知向量的線性運(yùn)算表示同一平面內(nèi)待求向量的一般方法，即把待求向量放在三角形或平行四邊形中，利用三角形法則、平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的定義，逐步完成對待求向量的表示．本題也是為后面平面向量基本定理的學(xué)習(xí)進(jìn)行的鋪墊．總結(jié)這節(jié)課，我們類比數(shù)量的乘法定義了向量的數(shù)乘運(yùn)算，驗(yàn)證了數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)合律及分配律，并對向量的線性運(yùn)算進(jìn)行了應(yīng)用．通過這節(jié)課，希望同學(xué)們體會研究一種運(yùn)算的基本過程，即從運(yùn)算法則（也可以說是定義），到運(yùn)算律，再到運(yùn)算的應(yīng)用．感受向量數(shù)與形的雙重屬性，嘗試從數(shù)與形兩個角度認(rèn)識向量的問題．同時，還要體會類比的研究方法，在類比時既要關(guān)注共性，又要關(guān)注區(qū)別．對知識和方法進(jìn)行總結(jié)提升．作業(yè)1. 化簡：    (1) 6 (a －3b＋c)－4 (－a＋b－c)；    (2) (x－y)(a＋b)－(x－y)(a－b)． 2. 在△ABC中，，DE∥BC，且與邊 AC 相交于點(diǎn) E，△ ABC 的中線 AM 與 DE 相交于點(diǎn) N．設(shè)＝a，＝b，用a，b分別表示向量，，，，，，．這兩道作業(yè)題是選自教材的練習(xí)題，分別是對課上例3和例4的鞏固練習(xí)． 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.2 平面向量的運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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