注意：兩個(gè)向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量.
已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|csθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a?b,即a?b?=?|a||b|csθ?.
兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算.既然是一種運(yùn)算，該遵循什么樣的運(yùn)算律呢?
乘法交換律？乘法結(jié)合律？乘法分配律？
證明：a·b= |a||b|?cs?θ b·a=|b|?|a|csθ 則a·b=b·a
證明：(a·b) ·c?表示一個(gè)與c共線的向量， 而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的自量， c與a不一定共線， 則(a·b) ·c=a·(b·c)，一般情況下不 會(huì)成立.
證明:任取一點(diǎn)O,作OA=a,?OB=?b,OC=c,?OD=a+?b. 設(shè)向量a,b,a+b與c的夾角分別為θ1，θ2,?θ,它們?cè)谙蛄縞上的投影向量分別為OA，OB，OD，設(shè)與c方向相同的單位向量為e,
則OA=|a|cseθ1e
OB=|b?|?csθ2e,OD=|a+b|csθe. 因?yàn)閍=BD，所以O(shè)A1=?B1D1 OD1=?OB1+B1D.?=OB1?+OA1 即|a+b|csθe=|a|csθ1e+|b|csθ2e整理得(|?a+b?|csθ?-|?a|csθ1?-|b|csθ2)e=0
|?a+b?|csθ?-|a|csθ1?-|b|csθ2=0 即|?a+b|csθ?=?|?a|csθ?1+|?b|?csθ2. 所以 |?a+b||c|csθ?=?|a||c|csθ1?+|b||c|?csθ2.因此（a+b）·c= a·c +b·c
向量結(jié)合律與數(shù)乘運(yùn)算及向量數(shù)量積的混合運(yùn)算有什么關(guān)系？
(λa) ·b=λ(a·b)=a·(λ? b)? ? (λ?為實(shí)數(shù))
分（λ=0，λ＜0，λ＞0三種情況討論）
證明：設(shè)向量a與b的夾角カθ. (1)?當(dāng)λ=0吋，0·b=0·(a·b)=a·0=0. (2)?當(dāng)λ>0時(shí)， λa與b，a與λb的夾角都為θ. 所以(λa) ·?b=?|λa||b|csθ =λ?| a||b|csθλ (a·?b)= λ?| a||b|csθ = a·?(λb) =?|a||λb|csθ=λ?| a||b|csθ則(λa) ·?b=?λ (a·?b)= a·?(λb)
(3)當(dāng)λ

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.2 平面向量的運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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